同底数幂的乘法法则：
$a^{m}\cdot a^{n}=$($m,n$都是正整数).
即同底数幂相乘,底数不变,相加.
思考 ①底数可以是多项式吗? ②$a^{m}\cdot$
$a^{n}\cdot a^{p}$应该等于什么?
填空 $(-a)^{2}\cdot (-a)^{5}=$.

$a^{m + n}$，指数；①底数可以是多项式；②$a^{m + n + p}$；$-a^{7}$（按题目顺序对应填空答案）。

同底数幂的乘法法则：$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$（$m,n$都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
①底数可以是单项式，也可以是多项式，例如$(a + b)^{2}\cdot(a + b)^{3}=(a + b)^{5}$。
②$a^{m}\cdot a^{n}\cdot a^{p}=a^{m + n + p}$（$m,n,p$都是正整数）。
对于$(-a)^{2}\cdot(-a)^{5}$，根据同底数幂的乘法法则，底数$-a$不变，指数$2$与$5$相加，可得$(-a)^{2 + 5}=(-a)^{7}=-a^{7}$。

例1 计算:
(1)$a^{7}\cdot a$; (2)$(-2)^{2}× (-2)^{3}× (-2)^{5}$;
(3)$(a-2b)^{3}\cdot (a-2b)^{2}$.

(1)根据同底数幂的乘法法则，有：
$a^{7} \cdot a = a^{7+1} = a^{8}$
(2)根据同底数幂的乘法法则，有：
$(-2)^{2} × (-2)^{3} × (-2)^{5} = (-2)^{2+3+5} = (-2)^{10} = 1024$
(3)根据同底数幂的乘法法则，有：
$(a-2b)^{3} \cdot (a-2b)^{2} = (a-2b)^{3+2} = (a-2b)^{5}$

变式训练 计算:
(1)$(-m)\cdot (-m)^{2}\cdot (-m)^{5}= $______;
(2)$(m-2n)^{2}(m-2n)^{3}= $______.

(1) $m^{8}$
(2) $(m - 2n)^{5}$

(1) 根据同底数幂的乘法法则，有 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
所以，$(-m)\cdot (-m)^{2}\cdot (-m)^{5}$
$= (-m)^{1+2+5}$
$= (-m)^{8}$
$= m^{8}$
(2) 同样根据同底数幂的乘法法则，
$(m-2n)^{2}(m-2n)^{3}$
$= (m-2n)^{2+3}$
$= (m-2n)^{5}$

例2 计算:
(1)$7^{3}\cdot (-7)^{7}$; (2)$\frac{1}{8}× (-\frac{1}{2})^{2023}$;
(3)$(m-n)^{3}\cdot (n-m)^{4}\cdot (m-n)^{5}$;
(4)$a\cdot (-a^{2})\cdot (-a^{3})$.
名师导引 把不同底数转化为相同底数时,要注意可能出现的符号变化.当$n$为奇数时,$(-a)^{n}= -a^{n}$;当$n$为偶数时,$(-a)^{n}= a^{n}$.

(1)
解：
$7^{3} \cdot (-7)^{7}$
$= 7^{3} \cdot (-1)^{7} \cdot 7^{7}$
$= -7^{3} \cdot 7^{7}$
$= -7^{3+7}$
$= -7^{10}$
(2)
解：
$\frac{1}{8} × (-\frac{1}{2})^{2023}$
$= \frac{1}{2^{3}} × (-\frac{1}{2})^{2023}$
$= (-1)^{2023} × 2^{-3} × 2^{-2023}$
$= -2^{-3-2023}$
$= -2^{-2026}$
$= - \frac{1}{2^{2026}}$
或写作
$= - \frac{1}{7^{（无关，应为2的幂次）} 2^{2026}}$（此处7为无关修改，直接保留$ - \frac{1}{2^{2026}}$）
(3)
解：
注意到$(n-m) = -(m-n)$，
$(m-n)^{3} \cdot (n-m)^{4} \cdot (m-n)^{5}$
$= (m-n)^{3} \cdot (-1)^{4} \cdot (m-n)^{4} \cdot (m-n)^{5}$
$= (m-n)^{3+4+5}$
$= (m-n)^{12}$
(4)
解：
$a \cdot (-a^{2}) \cdot (-a^{3})$
$= -a^{1+2} \cdot (-a^{3})$
$= a^{3} \cdot a^{3}$
$= a^{3+3}$
$= a^{6}$

(1) $7^{3} \cdot (-7)^{7} = 7^{3} \cdot (-7^{7}) = -7^{3 + 7} = -7^{10}$
(2) $\frac{1}{8} × (-\frac{1}{2})^{2023} = (\frac{1}{2})^{3} × (-\frac{1}{2})^{2023} = -(\frac{1}{2})^{3 + 2023} = -(\frac{1}{2})^{2026}$
(3) $(m - n)^{3} \cdot (n - m)^{4} \cdot (m - n)^{5} = (m - n)^{3} \cdot (m - n)^{4} \cdot (m - n)^{5} = (m - n)^{3 + 4 + 5} = (m - n)^{12}$
(4) $a \cdot (-a^{2}) \cdot (-a^{3}) = a \cdot a^{2} \cdot a^{3} = a^{1 + 2 + 3} = a^{6}$