7. 已知$x - \frac{1}{x} = 5$,求下列代数式的值：
(1)$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$；
(2)$x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$.

(1)27；(2)727。

(1)
∵ $x - \frac{1}{x} = 5$，
∴ $\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 5^2$，
即 $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25$，
化简得 $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 25$，
∴ $x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 + 2 = 27$。
(2)
由(1)知 $x^2 + \frac{1}{x^2} = 27$，
∴ $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 27^2$，
即 $x^4 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 729$，
化简得 $x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 729$，
∴ $x^4 + \frac{1}{x^4} = 729 - 2 = 727$。

例1 计算：
(1) $6x^{3}\cdot \frac{3}{2}x^{2}$；
(2) $(2x^{2})^{3}\cdot (-3x^{2}\cdot x)$；
(3) $(-2a^{3})^{4}÷ (4a^{6})$。
名师导引 幂的运算除了熟练掌握公式外,还要注意符号的处理以及整体法的应用。

(1)
$6x^{3}\cdot\frac{3}{2}x^{2}=(6×\frac{3}{2})x^{3 + 2}=9x^{5}$
(2)
先计算$(2x^{2})^{3}=2^{3}\cdot(x^{2})^{3}=8x^{6}$，$-3x^{2}\cdot x=-3x^{3}$
则$(2x^{2})^{3}\cdot(-3x^{2}\cdot x)=8x^{6}\cdot(-3x^{3})=[8×(-3)]x^{6 + 3}=-24x^{9}$
(3)
先计算$(-2a^{3})^{4}=(-2)^{4}\cdot(a^{3})^{4}=16a^{12}$
则$(-2a^{3})^{4}÷(4a^{6})=\frac{16a^{12}}{4a^{6}}=\frac{16}{4}a^{12-6}=4a^{6}$
答案依次为：(1)$9x^{5}$；(2)$-24x^{9}$；(3)$4a^{6}$。

巩固提升 计算：
(1) $(-a^{3}b^{4})÷ (-\frac{1}{2}ab)^{2}=$；
(2) $(a - b)^{4}\cdot (a - b)^{3}÷ (b - a)^{2}=$。

(1) $- 4ab^{2}$；(2) $(a - b)^{5}$。

(1) 首先计算 $(-\frac{1}{2}ab)^{2}$：
$(-\frac{1}{2}ab)^{2} = \frac{1}{4}a^{2}b^{2}$
接着，将原式 $(-a^{3}b^{4}) ÷ (-\frac{1}{2}ab)^{2}$ 代入上述结果，得：
$(-a^{3}b^{4}) ÷ \frac{1}{4}a^{2}b^{2} = -a^{3}b^{4} × \frac{4}{a^{2}b^{2}} = -4ab^{2}$
(2) 首先，注意到 $(b - a) = -(a - b)$，所以 $(b - a)^{2} = (a - b)^{2}$。
然后，将原式 $(a - b)^{4} \cdot (a - b)^{3} ÷ (b - a)^{2}$ 代入上述结果，得：
$(a - b)^{4} \cdot (a - b)^{3} ÷ (a - b)^{2} = (a - b)^{4+3-2} = (a - b)^{5}$

例2 计算：
(1) $2a(a^{2}-a + 2)-3a^{2}(a - 1)$；
(2) $(3x^{3}-9x)÷ (3x)-(x + 1)(x - 3)$。

(1)
$2a(a^{2}-a + 2)-3a^{2}(a - 1)$
$=2a^{3}-2a^{2}+4a - 3a^{3}+3a^{2}$
$=(2a^{3}-3a^{3})+(-2a^{2}+3a^{2}) + 4a$
$=-a^{3}+a^{2}+4a$
(2)
$(3x^{3}-9x)÷(3x)-(x + 1)(x - 3)$
$=3x^{3}÷(3x)-9x÷(3x)-(x^{2}-3x+x - 3)$
$=x^{2}-3-(x^{2}-2x - 3)$
$=x^{2}-3 - x^{2}+2x + 3$
$=2x$

巩固提升 计算：
(1) $(x - y)(3x + y)-(2x + 3y)(x - 2y)=$；
(2) 若$(x - 3)(x + n)= x^{2}-mx - 12$,则$mn=$。

(1)$x^{2}-xy + 5y^{2}$；
(2)$-4$。

(1)
首先，根据多项式乘多项式法则将$(x - y)(3x + y)$展开：
$(x - y)(3x + y)=x(3x)+x\cdot y - y\cdot3x - y\cdot y=3x^{2}+xy - 3xy - y^{2}=3x^{2}-2xy - y^{2}$
接着，将$(2x + 3y)(x - 2y)$展开：
$(2x + 3y)(x - 2y)=2x\cdot x+2x\cdot(-2y)+3y\cdot x + 3y\cdot(-2y)=2x^{2}-4xy + 3xy - 6y^{2}=2x^{2}-xy - 6y^{2}$
然后，计算$(x - y)(3x + y)-(2x + 3y)(x - 2y)$：
$(3x^{2}-2xy - y^{2})-(2x^{2}-xy - 6y^{2})=3x^{2}-2xy - y^{2}-2x^{2}+xy + 6y^{2}=x^{2}-xy + 5y^{2}$
(2)
先将$(x - 3)(x + n)$展开：
$(x - 3)(x + n)=x^{2}+nx-3x - 3n=x^{2}+(n - 3)x - 3n$
因为$(x - 3)(x + n)=x^{2}-mx - 12$，所以可得：
$\begin{cases}-3n=-12\\n - 3=-m\end{cases}$
由$-3n=-12$，解得$n = 4$。
把$n = 4$代入$n - 3=-m$，得$4-3=-m$，解得$m=-1$。
所以$mn=(-1)×4=-4$。

例3 计算：
(1) $(\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y)(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}x)$；
(2) $(a - b + 3)^{2}$；
(3) $12.2^{2}-4.88 + 0.2^{2}$。
名师导引 明确平方差公式与完全平方公式的结构特点,并注意区分。

(1)原式$=(\frac{1}{2}x)^2-(\frac{2}{3}y)^2=\frac{1}{4}x^2-\frac{4}{9}y^2$
(2)原式$=(a - b)^2+6(a - b)+9=a^2-2ab+b^2+6a-6b+9$
(3)原式$=12.2^2-2×12.2×0.2+0.2^2=(12.2 - 0.2)^2=12^2=144$