变式训练 解方程：
(1)$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^2 - 4x + 4}$；
(2)$\frac{x - 2}{x - 1} - \frac{3}{(x - 1)(x + 2)} = 1$。

(1)
方程$\frac{x}{x - 2}-1=\frac{4}{x^{2}-4x + 4}$，
因为$x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$，
给方程两边同乘$(x - 2)^{2}$得：
$x(x - 2)-(x - 2)^{2}=4$
$x^{2}-2x-(x^{2}-4x + 4)=4$
$x^{2}-2x - x^{2}+4x - 4 = 4$
$2x=8$
$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$(x - 2)^{2}=(4 - 2)^{2}=4\neq0$，
所以原分式方程的解为$x = 4$。
(2)
方程$\frac{x - 2}{x - 1}-\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}=1$，
给方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$得：
$(x - 2)(x + 2)-3=(x - 1)(x + 2)$
$x^{2}-4 - 3=x^{2}+2x-x - 2$
$x^{2}-7=x^{2}+x - 2$
$x=-5$
检验：当$x = - 5$时，$(x - 1)(x + 2)=(-5 - 1)×(-5 + 2)=(-6)×(-3)=18\neq0$，
所以原分式方程的解为$x=-5$。

例3 若关于x的分式方程$\frac{2x}{x - 1} - 3 = \frac{m}{x - 1}$有增根,则m的值为()
A.-2
B.1
C.2
D.-1
名师导引 解含参分式方程要特别注意验根。

C

首先，将分式方程 $\frac{2x}{x - 1} - 3 = \frac{m}{x - 1}$ 两边乘以 $x - 1$ 以消去分母，得到：
$2x - 3(x - 1) = m$，
化简得：
$2x - 3x + 3 = m$，
$-x + 3 = m$，
$x = 3 - m$，
由于增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以增根为 $x = 1$。
将 $x = 1$ 代入 $x = 3 - m$，得到：
$3 - m = 1$，
解得：
$m = 2$。

变式训练 若关于x的分式方程$1 - \frac{2 - k}{x - 2} = \frac{2}{2 - x}$的解是正数,则k的取值范围是。

k ＜ 2且k ≠ 0

方程两边同乘(x - 2)得：x - 2 - (2 - k) = -2，化简得x = 2 - k。
∵解是正数，∴2 - k ＞ 0，解得k ＜ 2。
∵x ≠ 2（分母不为0），∴2 - k ≠ 2，解得k ≠ 0。
综上，k ＜ 2且k ≠ 0。

1. 下列各式中,是分式方程的有()
①$\frac{y - 3}{x} = 0$；②$\frac{x + 3}{2} = \frac{x - 1}{3}$；③$3x - y = 7$；④$\frac{6}{x}$；⑤$\frac{1}{m} - 2m = 3$；⑥$\frac{1}{\sqrt{x + 3}} = \frac{2}{x}$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

分式方程是分母中含有未知数的方程。①分母含未知数x、y，是分式方程；②分母为常数，是整式方程；③是整式方程；④不是方程；⑤分母含未知数m，是分式方程；⑥分母含根号，不是分式方程。综上，①⑤是分式方程，共2个。

2. 解分式方程$\frac{1}{x - 1} + \frac{x + 3}{1 - x} = 2$时,去分母变形正确的是()
A.$1 + (x + 3) = 2(x - 1)$
B.$1 - x + 3 = 2(x - 1)$
C.$1 - (x + 3) = 2$
D.$1 - (x + 3) = 2(x - 1)$

D

原方程为 $\frac{1}{x - 1} + \frac{x + 3}{1 - x} = 2$，
注意到 $1 - x = -(x - 1)$，可将方程改写为：
$\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 3}{x - 1} = 2$。
两边同乘 $x - 1$（需保证 $x \neq 1$）去分母得：
$1 - (x + 3) = 2(x - 1)$。

3. 若关于x的分式方程$\frac{x + 4}{x - 4} - 2 = \frac{4m}{x - 4}$有增根,则m的值是()
A.1
B.2
C.4
D.-4

B

首先，将分式方程去分母，化为整式方程。
方程两边同乘以$x - 4$，得到：
$x + 4 - 2(x - 4) = 4m$，
展开并整理得：
$x + 4 - 2x + 8 = 4m$，
$-x + 12 = 4m$，
$x = 12 - 4m$，
由于分式方程有增根，那么增根应为使分母为0的$x$值，即$x = 4$。
将$x = 4$代入整式方程的结果中，得到：
$4 = 12 - 4m$，
解得：
$m = 2$。

4. 对于实数a,b,定义一种新运算“⊗”：$a⊗b = \frac{1}{a - b^2}$,这里等式右边是实数运算。如：$1⊗3 = \frac{1}{1 - 3^2} = - \frac{1}{8}$。则方程$x⊗(-2) = \frac{2}{x - 4} - 1$的解是。

$x = 5$

根据新运算定义，$x⊗(-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$。
方程可化为：$\frac{1}{x - 4} = \frac{2}{x - 4} - 1$
两边同乘$x - 4$（$x≠4$）：$1 = 2 - (x - 4)$
去括号：$1 = 2 - x + 4$
移项：$x = 2 + 4 - 1$
计算：$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x - 4 = 1 ≠ 0$，所以$x = 5$是原方程的解。

5. 解下列分式方程：
(1)$\frac{x - 1}{x} - \frac{3}{x + 1} = 1$；
(2)$\frac{1}{x - 2} - 3 = \frac{x - 1}{2 - x}$；
(3)$\frac{m}{x} - \frac{3}{x + 1} = 0(m ≠ 0, 3)$；
(4)$\frac{x}{x - 3} + \frac{2}{x + 3} = \frac{x^2 + 9}{x^2 - 9}$。

(1)方程两边乘$x(x + 1)$，得$(x - 1)(x + 1)-3x=x(x + 1)$，展开得$x^2-1-3x=x^2 + x$，移项合并得$-4x=1$，解得$x=-\frac{1}{4}$。检验：当$x=-\frac{1}{4}$时，$x(x + 1)=-\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=-\frac{3}{16}\neq0$，所以$x=-\frac{1}{4}$是原方程的解。
(2)方程变形为$\frac{1}{x - 2}-3=-\frac{x - 1}{x - 2}$，两边乘$x - 2$，得$1-3(x - 2)=-(x - 1)$，展开得$1-3x + 6=-x + 1$，移项合并得$-2x=-6$，解得$x=3$。检验：当$x=3$时，$x - 2=1\neq0$，所以$x=3$是原方程的解。
(3)方程两边乘$x(x + 1)$，得$m(x + 1)-3x=0$，展开得$mx + m-3x=0$，合并得$(m - 3)x=-m$，因为$m\neq3$，解得$x=\frac{m}{3 - m}$。检验：当$x=\frac{m}{3 - m}$时，$x=\frac{m}{3 - m}\neq0$（$m\neq0$），$x + 1=\frac{3}{3 - m}\neq0$，所以$x=\frac{m}{3 - m}$是原方程的解。
(4)方程两边乘$(x - 3)(x + 3)$，得$x(x + 3)+2(x - 3)=x^2 + 9$，展开得$x^2 + 3x + 2x - 6=x^2 + 9$，移项合并得$5x=15$，解得$x=3$。检验：当$x=3$时，$(x - 3)(x + 3)=0$，所以$x=3$是增根，原方程无解。