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1. $(y^{m})^{3}$的运算结果是(
A.$y^{m^{3}}$
B.$y^{3m}$
C.$y^{m + 3}$
D.$3y^{m}$
B
)A.$y^{m^{3}}$
B.$y^{3m}$
C.$y^{m + 3}$
D.$3y^{m}$
答案
B
解析
根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$，所以$(y^{m})^{3} = y^{m \cdot 3} = y^{3m}$。
2. 下列计算结果为$x^{8}$的是(
A.$x^{9}-x$
B.$x^{2}\cdot x^{4}$
C.$x^{2}+x^{6}$
D.$(x^{2})^{4}$
D
)A.$x^{9}-x$
B.$x^{2}\cdot x^{4}$
C.$x^{2}+x^{6}$
D.$(x^{2})^{4}$
答案
D
解析
A. $x^{9}-x$ 由于 $x^{9}$ 与 $x$ 不是同类项，因此不能合并，所以A选项错误；
B. $x^{2} \cdot x^{4}$ 根据同底数幂的乘法法则，结果为 $x^{6}$，所以B选项错误；
C. $x^{2} + x^{6}$ 由于 $x^{2}$ 与 $x^{6}$ 不是同类项，因此不能合并，所以C选项错误；
D. $(x^{2})^{4}$ 根据幂的乘方法则，结果为 $x^{8}$，所以D选项正确。
B. $x^{2} \cdot x^{4}$ 根据同底数幂的乘法法则，结果为 $x^{6}$，所以B选项错误；
C. $x^{2} + x^{6}$ 由于 $x^{2}$ 与 $x^{6}$ 不是同类项，因此不能合并，所以C选项错误；
D. $(x^{2})^{4}$ 根据幂的乘方法则，结果为 $x^{8}$，所以D选项正确。
3. 如果$(3^{n})^{2}= 3^{16}$,那么$n$的值为(
A.$3$
B.$4$
C.$8$
D.$2$
C
)A.$3$
B.$4$
C.$8$
D.$2$
答案
C
解析
根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(3^{n})^{2} = 3^{n × 2} = 3^{2n}$。
已知$(3^{n})^{2} = 3^{16}$，则$3^{2n} = 3^{16}$。
由于底数相同，指数必须相等，即$2n = 16$。
解得$n = 8$。
已知$(3^{n})^{2} = 3^{16}$，则$3^{2n} = 3^{16}$。
由于底数相同，指数必须相等，即$2n = 16$。
解得$n = 8$。
4. 下列计算正确的是(
A.$x^{3}\cdot x^{4}= x^{12}$
B.$(x^{3})^{4}= x^{7}$
C.$(-x^{3})^{4}= -x^{12}$
D.$(-x^{4})^{3}= -x^{12}$
D
)A.$x^{3}\cdot x^{4}= x^{12}$
B.$(x^{3})^{4}= x^{7}$
C.$(-x^{3})^{4}= -x^{12}$
D.$(-x^{4})^{3}= -x^{12}$
答案
D
解析
A. 根据同底数幂的乘法法则，$x^{3} \cdot x^{4} = x^{3+4} = x^{7}$，与选项A中的$x^{12}$不符，故A错误。
B. 根据幂的乘方法则，$(x^{3})^{4} = x^{3 × 4} = x^{12}$，与选项B中的$x^{7}$不符，故B错误。
C. 根据幂的乘方法则和负数的偶数次幂为正，$(-x^{3})^{4} = x^{12}$，与选项C中的$-x^{12}$不符，故C错误。
D. 根据幂的乘方法则和负数的奇数次幂为负，$(-x^{4})^{3} = -x^{12}$，与选项D中的$-x^{12}$相符，故D正确。
B. 根据幂的乘方法则，$(x^{3})^{4} = x^{3 × 4} = x^{12}$，与选项B中的$x^{7}$不符，故B错误。
C. 根据幂的乘方法则和负数的偶数次幂为正，$(-x^{3})^{4} = x^{12}$，与选项C中的$-x^{12}$不符，故C错误。
D. 根据幂的乘方法则和负数的奇数次幂为负，$(-x^{4})^{3} = -x^{12}$，与选项D中的$-x^{12}$相符，故D正确。
5. 已知$a^{m}= 2$,则$a^{3m}$的值为(
A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
C
)A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
答案
C
解析
根据题意，已知 $a^m = 2$，需要求 $a^{3m}$ 的值。
根据幂的乘方运算法则，$a^{3m} = (a^m)^3$。
将 $a^m = 2$ 代入，得到 $a^{3m} = 2^3 = 8$。
根据幂的乘方运算法则，$a^{3m} = (a^m)^3$。
将 $a^m = 2$ 代入，得到 $a^{3m} = 2^3 = 8$。
6. 计算$-a^{2}\cdot (a^{2})^{3}$的结果是(
A.$a^{8}$
B.$-a^{8}$
C.$a^{7}$
D.$-a^{7}$
B
)A.$a^{8}$
B.$-a^{8}$
C.$a^{7}$
D.$-a^{7}$
答案
B
解析
根据幂的乘方运算法则，$(a^{m})^{n}=a^{m× n}$，
所以$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$。
原式$-a^{2}\cdot(a^{2})^{3}$可化为$-a^{2}\cdot a^{6}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，
则$-a^{2}\cdot a^{6}=-a^{2 + 6}=-a^{8}$。
所以$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$。
原式$-a^{2}\cdot(a^{2})^{3}$可化为$-a^{2}\cdot a^{6}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，
则$-a^{2}\cdot a^{6}=-a^{2 + 6}=-a^{8}$。
7. 幂的乘方底数
不变
,指数______相乘
,即$(a^{m})^{n}= $______$a^{mn}$
($m$,$n$都是正整数)。答案
不变；相乘；$a^{mn}$
解析
幂的乘方运算中，底数保持不变，指数进行相乘运算，数学表达式为$(a^{m})^{n}=a^{mn}$（其中$m$，$n$均为正整数）。
8. 计算：(1)$-(a^{3})^{4}=$
$-a^{12}$
；(2)$(-3^{2})^{3}\cdot (3^{5})^{2}=$$-3^{16}$
。答案
(1) $-a^{12}$
(2) $-3^{16}$
(2) $-3^{16}$
解析
(1) 根据幂的乘方运算法则 $(a^m)^n = a^{m × n}$，计算 $-(a^{3})^{4}$：
$-(a^{3})^{4} = -a^{3 × 4} = -a^{12}$
(2) 首先计算 $(-3^{2})^{3}$：
$\;\;\;\;(-3^{2})^{3} $
$=(-9)^{3} $
$= -729× 3（即-9× -9× -9）$
$=-59049（即-3^6，因为负数的奇次方还是负数，且 9× 9× 9=729,729× 9=6561× 9（这里只需知道是3^6）=-59049，同时(3^{5})^{2}=3^{10}$
然后，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，以及结合上述计算，所以$(-3^{2})^{3}\cdot (3^{5})^{2}$
$=-3^{6} \cdot 3^{10}$
$=-3^{16}$
$-(a^{3})^{4} = -a^{3 × 4} = -a^{12}$
(2) 首先计算 $(-3^{2})^{3}$：
$\;\;\;\;(-3^{2})^{3} $
$=(-9)^{3} $
$= -729× 3（即-9× -9× -9）$
$=-59049（即-3^6，因为负数的奇次方还是负数，且 9× 9× 9=729,729× 9=6561× 9（这里只需知道是3^6）=-59049，同时(3^{5})^{2}=3^{10}$
然后，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，以及结合上述计算，所以$(-3^{2})^{3}\cdot (3^{5})^{2}$
$=-3^{6} \cdot 3^{10}$
$=-3^{16}$
9. (1)已知$3^{m}= 2$,则$9^{m}= $
(2)已知$a^{2x}= 2$,则$a^{6x}= $
(3)已知$a + 2b = 2$,则$3^{a}\cdot 9^{b}$的值为
(4)已知$(2^{x})^{2}= 2^{3x - 2}$,则$x$的值为
4
；(2)已知$a^{2x}= 2$,则$a^{6x}= $
8
；(3)已知$a + 2b = 2$,则$3^{a}\cdot 9^{b}$的值为
9
；(4)已知$(2^{x})^{2}= 2^{3x - 2}$,则$x$的值为
2
。答案
(1) 4
(2) 8
(3) 9
(4) 2
(2) 8
(3) 9
(4) 2
解析
(1) 已知 $3^m = 2$，要求 $9^m$。
$9^m = (3^2)^m = 3^{2m} = (3^m)^2 = 2^2 = 4$。
(2) 已知 $a^{2x} = 2$，要求 $a^{6x}$。
$a^{6x} = (a^{2x})^3 = 2^3 = 8$。
(3) 已知 $a + 2b = 2$，要求 $3^a \cdot 9^b$。
$3^a \cdot 9^b = 3^a \cdot (3^2)^b = 3^a \cdot 3^{2b} = 3^{a + 2b} = 3^2 = 9$。
(4) 已知 $(2^x)^2 = 2^{3x - 2}$，求 $x$。
$(2^x)^2 = 2^{2x}$，所以 $2^{2x} = 2^{3x - 2}$，即 $2x = 3x - 2$，解得 $x = 2$。
$9^m = (3^2)^m = 3^{2m} = (3^m)^2 = 2^2 = 4$。
(2) 已知 $a^{2x} = 2$，要求 $a^{6x}$。
$a^{6x} = (a^{2x})^3 = 2^3 = 8$。
(3) 已知 $a + 2b = 2$，要求 $3^a \cdot 9^b$。
$3^a \cdot 9^b = 3^a \cdot (3^2)^b = 3^a \cdot 3^{2b} = 3^{a + 2b} = 3^2 = 9$。
(4) 已知 $(2^x)^2 = 2^{3x - 2}$，求 $x$。
$(2^x)^2 = 2^{2x}$，所以 $2^{2x} = 2^{3x - 2}$，即 $2x = 3x - 2$，解得 $x = 2$。
10. 若$3m + 2n - 5 = 0$,则$8^{m}\cdot 4^{n}= $(
A.$16$
B.$25$
C.$32$
D.$64$
C
)A.$16$
B.$25$
C.$32$
D.$64$
答案
C
解析
由$3m + 2n - 5 = 0$，可得$3m + 2n = 5$。
将$8^m \cdot 4^n$变形为以$2$为底的幂：
$8^m = (2^3)^m = 2^{3m}$，
$4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$，
所以$8^m \cdot 4^n = 2^{3m} \cdot 2^{2n} = 2^{3m + 2n}$。
将$3m + 2n = 5$代入，
得$2^{3m + 2n} = 2^5 = 32$。
将$8^m \cdot 4^n$变形为以$2$为底的幂：
$8^m = (2^3)^m = 2^{3m}$，
$4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$，
所以$8^m \cdot 4^n = 2^{3m} \cdot 2^{2n} = 2^{3m + 2n}$。
将$3m + 2n = 5$代入，
得$2^{3m + 2n} = 2^5 = 32$。
11. 计算$(-a^{2})^{3}\cdot (-a)^{2}-a^{8}$的结果是(
A.$0$
B.$-2a^{8}$
C.$-a^{16}$
D.$-2a^{16}$
B
)A.$0$
B.$-2a^{8}$
C.$-a^{16}$
D.$-2a^{16}$
答案
B
解析
首先计算$(-a^{2})^{3}$，根据幂的乘方规则，有：
$(-a^{2})^{3} = (-1)^{3} \cdot (a^{2})^{3} = -a^{6}$，
接着计算$(-a)^{2}$，根据幂的定义，有：
$(-a)^{2} = a^{2}$，
然后将上述两个结果相乘，根据同底数幂的乘法规则，有：
$-a^{6} \cdot a^{2} = -a^{6+2} = -a^{8}$，
最后，将上述结果与$-a^{8}$相减，即：
$-a^{8} - a^{8} = -2a^{8}$。
$(-a^{2})^{3} = (-1)^{3} \cdot (a^{2})^{3} = -a^{6}$，
接着计算$(-a)^{2}$，根据幂的定义，有：
$(-a)^{2} = a^{2}$，
然后将上述两个结果相乘，根据同底数幂的乘法规则，有：
$-a^{6} \cdot a^{2} = -a^{6+2} = -a^{8}$，
最后，将上述结果与$-a^{8}$相减，即：
$-a^{8} - a^{8} = -2a^{8}$。
