6. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是()

A.AD= BD
B.BD= CD
C.∠1= ∠2
D.∠B= ∠C

A

∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C（D成立）。
∵AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线和顶角平分线，
∴BD=CD（B成立），∠1=∠2（C成立）。AD与BD不一定相等，A不一定成立。

7. 如图,AB//CD,E为CD上一点,射线EF经过点A,EC= EA.若∠CAE= 30°,则∠BAF的度数为()
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

D

1. 由题意得 $EC=EA$，$\angle CAE=30°$，根据等腰三角形性质，$\angle ACE=\angle CAE=30°$（等边对等角），所以$\angle AEC=180° - 30° - 30° = 120°$（三角形内角和为$180°$）。
2. 由于$AB // CD$，根据平行线性质得 $\angle BAF=\angle AED$（两直线平行，同位角相等），而$\angle AED = 180° - \angle AEC = 180° - 120° = 60°$。

8. 如图,△ABC中,AB= AC,以点B为圆心,BC的长为半径画弧交AC于点C,E,再分别以点C与点E为圆心,大于$\frac{1}{2}$CE长为半径画弧,两弧交于点F,连接BF交AC于点D.若∠A= 50°,则∠CBD= ()

A.25°
B.40°
C.50°
D.65°

A

∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)/2=65°。
以B为圆心，BC为半径画弧交AC于C、E，
∴BC=BE，△BCE为等腰三角形，∠BCE=∠ACB=65°，
∴∠BEC=∠BCE=65°，∠CBE=180°-65°-65°=50°。
分别以C、E为圆心，大于1/2CE长为半径画弧交于F，连接BF，由尺规作图知BF是CE的垂直平分线。
∵△BCE是等腰三角形（BC=BE），BF是底边CE的垂直平分线，由三线合一得BF平分∠CBE，
∴∠CBD=∠CBE/2=50°/2=25°。

9. 在△ABC和△A′B′C′中,∠B= ∠B′= 30°,AB= A′B′= 6,AC= A′C′= 4,已知∠C= n°,则∠C′= ()
A.30°
B.n°
C.n°或180°-n°
D.30°或150°

C

在△ABC中，∠B=30°，AB=6，AC=4，已知两边及其中一边对角（SSA），三角形可能有两解。过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AD=AB·sin30°=3＜AC=4，故AC可在AD两侧形成两个三角形，∠C可为锐角n°或钝角180°-n°。同理△A′B′C′中∠C′也有两解，即n°或180°-n°。

10. 如图,在△ABC中,AB= AE,AC= BC,且AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E.
(1)若∠BAE= 30°,求∠C的度数；
(2)若AC= 6 cm,DC= 5 cm,求△ABC的周长.

(1)30°；(2)(12+2√3)cm。

(1)设∠C=x，
∵EF垂直平分AC，∴EA=EC，∠EAC=∠C=x，
∵∠BAE=30°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+x，
∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=30°+x，
∵AB=AE，∴∠AEB=∠B=30°+x，
∵∠AEB+∠AEC=180°，∠AEC=180°-2x，
∴(30°+x)+(180°-2x)=180°，
解得x=30°，即∠C=30°。
(2)∵AC=6cm，EF垂直平分AC，∴EA=EC，设EA=EC=x，
∵AD⊥BC，DC=5cm，∴AD²=AC²-DC²=6²-5²=11，
∵AB=AE=x，BD=BC-DC=AC-DC=6-5=1cm（AC=BC），
在Rt△ABD中，AB²=BD²+AD²，即x²=1²+11=12，x=2√3，
∴△ABC周长=AB+BC+AC=2√3+6+6=12+2√3(cm)。

11. 已知,在△ABC中,AB= AC,BD⊥AC于点D,求证：∠A= 2∠CBD.

证明：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）。
设∠ABC=∠ACB=β，则∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2β（三角形内角和为180°）。
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°（垂直定义），
在Rt△BDC中，∠CBD+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），
即∠CBD=90°-∠ACB=90°-β。
∴2∠CBD=2(90°-β)=180°-2β，
∴∠A=2∠CBD。