9. (分类讨论思想)已知线段$AB的垂直平分线上有两点C$,$D$,若$\angle ADB = 80^{\circ}$,$\angle CAD = 10^{\circ}$,则$\angle ACB$等于()
A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$60^{\circ}或100^{\circ}$
D.$40^{\circ}或90^{\circ}$

C

∵点C，D在AB的垂直平分线上，∴CA=CB，DA=DB，故△ACB和△ADB均为等腰三角形。
在△ADB中，∠ADB=80°，∴∠DAB=∠DBA=(180°-80°)/2=50°。
情况1：点C，D在AB同侧
若C在D上方，则∠CAB=∠DAB+∠CAD=50°+10°=60°。
在△ACB中，∠ACB=180°-2∠CAB=180°-2×60°=60°。
若C在D下方，则∠CAB=∠DAB-∠CAD=50°-10°=40°。
在△ACB中，∠ACB=180°-2∠CAB=180°-2×40°=100°。
情况2：点C，D在AB两侧
此时∠CAD=10°无法构成（∠CAD会大于180°-∠DAB，矛盾，舍去）。
综上，∠ACB=60°或100°。

10. 如图所示,已知点$O是\triangle ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD$,$OE$的交点,且$\angle A = 50^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为()

A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$125^{\circ}$

A

连接OA。
∵O是AB和AC的垂直平分线交点，∴OA=OB，OA=OC（线段垂直平分线上的点到两端距离相等），∴OB=OC。
设∠OAB=∠OBA=α，∠OAC=∠OCA=β，∵∠BAC=50°，∴α+β=50°。
在△OAB中，∠AOB=180°-2α；在△OAC中，∠AOC=180°-2β。
∵点O处∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°，∴∠BOC=360°-(∠AOB+∠AOC)=360°-[(180°-2α)+(180°-2β)]=2(α+β)=2×50°=100°。

11. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$DM$,$EN分别垂直平分AC和BC$,交$AB于M$,$N$两点,$DM与EN相交于点F$. 若$\angle NCM = 50^{\circ}$,则$\angle F$的度数为.

65°

∵DM垂直平分AC，∴MA=MC，∴∠A=∠MCA。同理，EN垂直平分BC，∴NB=NC，∴∠B=∠NCB。设∠A=∠MCA=x，∠B=∠NCB=y。∵∠NCM=50°，∴∠ACB=∠NCB+∠MCA+∠NCM=x+y+50°。在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，即x+y+(x+y+50°)=180°，解得x+y=65°，∴∠ACB=65°+50°=115°。∵DM⊥AC，EN⊥BC，∴∠FDC=∠FEC=90°。在四边形CDFE中，∠F+∠FDC+∠FEC+∠ACB=360°，∴∠F=360°-90°-90°-115°=65°。

12. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,$EF垂直平分AC$,交$AC于点F$,交$BC于点E$,且$BD = DE$,连接$AE$.
(1)求证：$AB = EC$；
(2)若$\triangle ABC的周长为32\mathrm{cm}$,$AC = 12\mathrm{cm}$,求$DC$的长.

(1)见证明过程；(2)10cm。

(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°。
在Rt△ABD和Rt△AED中，$\left\{\begin{array}{l} BD=DE \\ AD=AD \end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴AB=AE。
∵AE=EC，∴AB=EC。
(2)∵△ABC周长=AB+BC+AC=32cm，AC=12cm，
∴AB+BC=32-12=20cm。
由(1)知AB=EC，设BD=DE=m，EC=AB=n，则DC=DE+EC=m+n。
∵BC=BD+DE+EC=m+m+n=2m+n，
∴AB+BC=n+(2m+n)=2(m+n)=20cm，
∴m+n=10cm，即DC=10cm。

13. 如图所示,$\angle BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D$,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分别为$E$,$F$.
(1)求证：$BE = CF$；
(2)若$AF = 6$,$BC = 7$,求$\triangle ABC$的周长.

(1)
连接$BD$、$CD$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
所以$DE = DF$。
又因为$DG$是$BC$的垂直平分线，
所以$BD = CD$。
在$Rt\triangle BED$和$Rt\triangle CFD$中，
$\begin{cases}BD = CD\\DE = DF\end{cases}$
所以$Rt\triangle BED\cong Rt\triangle CFD(HL)$，
则$BE = CF$。
(2)
由(1)知$DE = DF$，$BE = CF$，
在$Rt\triangle AED$和$Rt\triangle AFD$中，
$\begin{cases}AD = AD\\DE = DF\end{cases}$
所以$Rt\triangle AED\cong Rt\triangle AFD(HL)$，
则$AE = AF = 6$。
$\triangle ABC$的周长为：
$AB + AC+BC=(AE + BE)+(AF - CF)+BC$
因为$BE = CF$，
所以$\triangle ABC$的周长$ = AE+AF + BC=6 + 6+7 = 19$。
综上，(1)已证$BE = CF$；(2)$\triangle ABC$的周长为$19$。