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1. 计算$(-x + 2)^2$的结果是(
A.$x^2 - 4x + 4$
B.$-x^2 - 4x + 4$
C.$x^2 + 4x + 4$
D.$-x^2 + 4x + 4$
A
)A.$x^2 - 4x + 4$
B.$-x^2 - 4x + 4$
C.$x^2 + 4x + 4$
D.$-x^2 + 4x + 4$
答案
A
解析
根据完全平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将 $(-x + 2)^2$ 展开：
$(-x + 2)^2 = (-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$。
$(-x + 2)^2 = (-x)^2 + 2 \cdot (-x) \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$。
2. (1)利用公式计算$(-x - 2y)^2$的结果为(
A.$-x^2 - 2xy - 4y^2$
B.$-x^2 - 4xy - 4y^2$
C.$x^2 - 4xy + 4y^2$
D.$x^2 + 4xy + 4y^2$
D
)A.$-x^2 - 2xy - 4y^2$
B.$-x^2 - 4xy - 4y^2$
C.$x^2 - 4xy + 4y^2$
D.$x^2 + 4xy + 4y^2$
答案
D
解析
$(-x - 2y)^2 = [-(x + 2y)]^2 = (x + 2y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$
(2)计算：$(y - \frac{1}{4})^2 = $
$y^{2}-\frac{1}{2}y + \frac{1}{16}$
。答案
$y^{2}-\frac{1}{2}y + \frac{1}{16}$（以填空题形式呈现的话，直接写此结果）。
解析
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，在$(y-\frac{1}{4})^2$中，$a = y$，$b=\frac{1}{4}$，则$(y - \frac{1}{4})^2=y^2-2× y×\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2=y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}$。
3. (2025·南充)已知$a - b = 1$,$a^2 + b^2 = 5$,则$ab$的值为(
A.$-4$
B.4
C.$-2$
D.2
D
)A.$-4$
B.4
C.$-2$
D.2
答案
D
解析
根据完全平方公式，有$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
已知$a - b = 1$，则$(a - b)^2 = 1^2 = 1$，
又已知$a^2 + b^2 = 5$，将$a^2 + b^2 = 5$代入$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$中，得到：
$1 = 5 - 2ab$。
移项得到：
$2ab = 5 - 1$，
$2ab = 4$，
解得：
$ab = 2$。
已知$a - b = 1$，则$(a - b)^2 = 1^2 = 1$，
又已知$a^2 + b^2 = 5$，将$a^2 + b^2 = 5$代入$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$中，得到：
$1 = 5 - 2ab$。
移项得到：
$2ab = 5 - 1$，
$2ab = 4$，
解得：
$ab = 2$。
4. 已知$a + b = 5$,$ab = 3$,则$a^2 + b^2$的值是(
A.10
B.13
C.19
D.25
C
)A.10
B.13
C.19
D.25
答案
C
解析
根据完全平方公式，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
所以$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
将已知的$a + b = 5$和$ab = 3$代入上式，得：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2 × 3 = 25 - 6 = 19$。
所以$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
将已知的$a + b = 5$和$ab = 3$代入上式，得：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2 × 3 = 25 - 6 = 19$。
5. 计算：
(1)$(2a + b)^2 = $
(2)$(-a - b)^2 = $
(3)$(m - 2n)^2 = $
(4)$(2a + b)(-2a - b) = $
(1)$(2a + b)^2 = $
$4a^{2} + 4ab + b^{2}$
；(2)$(-a - b)^2 = $
$a^{2} + 2ab + b^{2}$
；(3)$(m - 2n)^2 = $
$m^{2} - 4mn + 4n^{2}$
；(4)$(2a + b)(-2a - b) = $
$- 4a^{2} - 4ab - b^{2}$
。答案
(1) $4a^{2} + 4ab + b^{2}$
(2) $a^{2} + 2ab + b^{2}$
(3) $m^{2} - 4mn + 4n^{2}$
(4) $- 4a^{2} - 4ab - b^{2}$
(2) $a^{2} + 2ab + b^{2}$
(3) $m^{2} - 4mn + 4n^{2}$
(4) $- 4a^{2} - 4ab - b^{2}$
解析
(1) 根据完全平方公式 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，将 $2a$ 和 $b$ 代入得：
$(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
(2) 根据完全平方公式，将 $-a$ 和 $-b$ 代入得：
$(-a - b)^2 = (-a)^2 + 2(-a)(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(3) 根据完全平方公式 $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，将 $m$ 和 $2n$ 代入得：
$(m - 2n)^2 = m^2 - 2m(2n) + (2n)^2 = m^2 - 4mn + 4n^2$
(4) 首先变形为：
$(2a + b)(-2a - b) = - (2a + b)(2a + b) = - (2a + b)^2$
再根据完全平方公式得：
$- (2a + b)^2 = - (4a^2 + 4ab + b^2) = -4a^2 - 4ab - b^2$
$(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
(2) 根据完全平方公式，将 $-a$ 和 $-b$ 代入得：
$(-a - b)^2 = (-a)^2 + 2(-a)(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(3) 根据完全平方公式 $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，将 $m$ 和 $2n$ 代入得：
$(m - 2n)^2 = m^2 - 2m(2n) + (2n)^2 = m^2 - 4mn + 4n^2$
(4) 首先变形为：
$(2a + b)(-2a - b) = - (2a + b)(2a + b) = - (2a + b)^2$
再根据完全平方公式得：
$- (2a + b)^2 = - (4a^2 + 4ab + b^2) = -4a^2 - 4ab - b^2$
6. 如图,它是用4个全等的长方形拼成一个“回形”正方形。图中阴影部分面积用不同的代数式表示,可得一个等式,利用这个等式求解：若$(x - y)^2 = 9$,$(x + y)^2 = 169$,则$xy = $
40
。答案
40
解析
由图可知，大正方形边长为$a + b$，面积为$(a + b)^2$；小正方形边长为$a - b$，面积为$(a - b)^2$；4个长方形面积为$4ab$。阴影部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积，即$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$。
令$x = a + b$，$y = a - b$，则$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$。已知$(x - y)^2 = 9$，$(x + y)^2 = 169$，代入得$169 - 9 = 4xy$，$160 = 4xy$，解得$xy = 40$。
令$x = a + b$，$y = a - b$，则$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$。已知$(x - y)^2 = 9$，$(x + y)^2 = 169$，代入得$169 - 9 = 4xy$，$160 = 4xy$，解得$xy = 40$。
7. 计算：
(1)$(-\frac{2}{3}m - \frac{3}{2}n)^2$；
(2)$(2a + b)^2 - (2a - b)^2$；
(3)$(3x - 2y - 1)^2$。
(1)$(-\frac{2}{3}m - \frac{3}{2}n)^2$；
(2)$(2a + b)^2 - (2a - b)^2$；
(3)$(3x - 2y - 1)^2$。
答案
(1)
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3}m - \frac{3}{2}n)^2 \\= (-\frac{2}{3}m)^2 + 2×(-\frac{2}{3}m)×(-\frac{3}{2}n) + (-\frac{3}{2}n)^2 \\= \frac{4}{9}m^2 + 2mn + \frac{9}{4}n^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(2a + b)^2 - (2a - b)^2 \\= [(2a)^2 + 2×(2a)× b + b^2] - [(2a)^2 - 2×(2a)× b + b^2] \\= 4a^2 + 4ab + b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) \\= 8ab\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(3x - 2y - 1)^2 \\= [(3x - 2y) - 1]^2 \\= (3x - 2y)^2 - 2×(3x - 2y)×1 + 1^2 \\= 9x^2 - 12xy + 4y^2 - 6x + 4y + 1\end{aligned}$
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3}m - \frac{3}{2}n)^2 \\= (-\frac{2}{3}m)^2 + 2×(-\frac{2}{3}m)×(-\frac{3}{2}n) + (-\frac{3}{2}n)^2 \\= \frac{4}{9}m^2 + 2mn + \frac{9}{4}n^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(2a + b)^2 - (2a - b)^2 \\= [(2a)^2 + 2×(2a)× b + b^2] - [(2a)^2 - 2×(2a)× b + b^2] \\= 4a^2 + 4ab + b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) \\= 8ab\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(3x - 2y - 1)^2 \\= [(3x - 2y) - 1]^2 \\= (3x - 2y)^2 - 2×(3x - 2y)×1 + 1^2 \\= 9x^2 - 12xy + 4y^2 - 6x + 4y + 1\end{aligned}$
8. 先化简,再求值：
$(x - 3y)^2 + (3x + y)(3x - y) - 5(2x^2 - xy)$,其中$x = -\frac{4}{3}$,$y = \frac{3}{2}$。
$(x - 3y)^2 + (3x + y)(3x - y) - 5(2x^2 - xy)$,其中$x = -\frac{4}{3}$,$y = \frac{3}{2}$。
答案
化简过程：
$\begin{aligned}&(x - 3y)^2 + (3x + y)(3x - y) - 5(2x^2 - xy)\\=&x^2 - 6xy + 9y^2 + 9x^2 - y^2 - 10x^2 + 5xy\\=&(x^2 + 9x^2 - 10x^2) + (-6xy + 5xy) + (9y^2 - y^2)\\=&0 - xy + 8y^2\\=&8y^2 - xy\end{aligned}$
代入求值：
当$x = -\frac{4}{3}$，$y = \frac{3}{2}$时，
$\begin{aligned}8y^2 - xy&=8×\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(-\frac{4}{3}\right)×\frac{3}{2}\\&=8×\frac{9}{4} + \frac{4}{3}×\frac{3}{2}\\&=18 + 2\\&=20\end{aligned}$
最终结果：20
$\begin{aligned}&(x - 3y)^2 + (3x + y)(3x - y) - 5(2x^2 - xy)\\=&x^2 - 6xy + 9y^2 + 9x^2 - y^2 - 10x^2 + 5xy\\=&(x^2 + 9x^2 - 10x^2) + (-6xy + 5xy) + (9y^2 - y^2)\\=&0 - xy + 8y^2\\=&8y^2 - xy\end{aligned}$
代入求值：
当$x = -\frac{4}{3}$，$y = \frac{3}{2}$时，
$\begin{aligned}8y^2 - xy&=8×\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(-\frac{4}{3}\right)×\frac{3}{2}\\&=8×\frac{9}{4} + \frac{4}{3}×\frac{3}{2}\\&=18 + 2\\&=20\end{aligned}$
最终结果：20
9. 利用完全平方公式简便计算：
(1)$101^2$；
(2)$98^2$。
(1)$101^2$；
(2)$98^2$。
答案
(1)
$101^2$
$=(100 + 1)^2$
$=100^2 + 2× 100× 1 + 1^2$
$=10000+200 + 1$
$=10201$
(2)
$98^2$
$=(100 - 2)^2$
$=100^2-2× 100× 2 + 2^2$
$=10000 - 400+4$
$=9604$
$101^2$
$=(100 + 1)^2$
$=100^2 + 2× 100× 1 + 1^2$
$=10000+200 + 1$
$=10201$
(2)
$98^2$
$=(100 - 2)^2$
$=100^2-2× 100× 2 + 2^2$
$=10000 - 400+4$
$=9604$
