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4. (教材题变式)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形$ABCD的顶点坐标为A(-4,1)$,$B(-2,1)$,$C(-1,3)$,$D(-2,3)$。
(1) 作四边形$ABCD关于y轴对称的四边形A_1B_1C_1D_1$；
(2) 将四边形$ABCD向下平移4$个单位长度,作出平移后的四边形$A_2B_2C_2D_2$。
(1) 作四边形$ABCD关于y轴对称的四边形A_1B_1C_1D_1$；
(2) 将四边形$ABCD向下平移4$个单位长度,作出平移后的四边形$A_2B_2C_2D_2$。
答案
(1) 四边形$A_1B_1C_1D_1$的顶点坐标分别为：
$A_1(4,1)$，$B_1(2,1)$，$C_1(1,3)$，$D_1(2,3)$。
在平面直角坐标系中，分别标出$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，并依次连接$A_1 \to B_1 \to C_1 \to D_1 \to A_1$，得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 四边形$A_2B_2C_2D_2$的顶点坐标分别为：
$A_2(-4,-3)$，$B_2(-2,-3)$，$C_2(-1,-1)$，$D_2(-2,-1)$。
在平面直角坐标系中，分别标出$A_2$、$B_2$、$C_2$、$D_2$，并依次连接$A_2 \to B_2 \to C_2 \to D_2 \to A_2$，得到四边形$A_2B_2C_2D_2$。
$A_1(4,1)$，$B_1(2,1)$，$C_1(1,3)$，$D_1(2,3)$。
在平面直角坐标系中，分别标出$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，并依次连接$A_1 \to B_1 \to C_1 \to D_1 \to A_1$，得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 四边形$A_2B_2C_2D_2$的顶点坐标分别为：
$A_2(-4,-3)$，$B_2(-2,-3)$，$C_2(-1,-1)$，$D_2(-2,-1)$。
在平面直角坐标系中，分别标出$A_2$、$B_2$、$C_2$、$D_2$，并依次连接$A_2 \to B_2 \to C_2 \to D_2 \to A_2$，得到四边形$A_2B_2C_2D_2$。
5. 如图所示,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3)$,$B(-2,-2)$,$C(2,-1)$。
(1) 画出$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_1B_1C_1$；
(2) 写出点$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标；
(3) 求$\triangle ABC$的面积。
(1) 画出$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_1B_1C_1$；
(2) 写出点$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标；
(3) 求$\triangle ABC$的面积。
答案
答案略
解析
(1) 图略
(2) $A_1(-1,3)$, $B_1(2,-2)$, $C_1(-2,-1)$
(3) 解：$\triangle ABC$的面积为$4× 5 - \frac{1}{2}× 3× 5 - \frac{1}{2}× 1× 4 - \frac{1}{2}× 2× 4 = 20 - \frac{15}{2} - 2 - 4 = \frac{13}{2}$
6. 作图(不要求写作法)：如图所示,$\triangle ABC$在平面直角坐标系中,其中,点$A$,$B$,$C的坐标分别为(-2,1)$,$(-4,5)$,$(-5,2)$。
(1) 作$\triangle ABC关于直线l(x = -1)对称的\triangle A_1B_1C_1$,其中,点$A$,$B$,$C的对应点分别为点A_1$,$B_1$,$C_1$；
(2) 写出点$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标。
(1) 作$\triangle ABC关于直线l(x = -1)对称的\triangle A_1B_1C_1$,其中,点$A$,$B$,$C的对应点分别为点A_1$,$B_1$,$C_1$；
(2) 写出点$A_1$,$B_1$,$C_1$的坐标。
答案
(1) （此处需根据坐标在图中作出对称图形，因无法直接作图，故略去作图过程）
(2) $ A_1(0,1) $, $ B_1(2,5) $, $ C_1(3,2) $
(2) $ A_1(0,1) $, $ B_1(2,5) $, $ C_1(3,2) $
1. 在平面直角坐标系中,点$P(3,-1)关于x$轴对称的点的坐标是(
A.$(-3,-1)$
B.$(-3,1)$
C.$(-1,3)$
D.$(3,1)$
D
)A.$(-3,-1)$
B.$(-3,1)$
C.$(-1,3)$
D.$(3,1)$
答案
D
解析
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。点P(3,-1)关于x轴对称的点，横坐标为3，纵坐标为-(-1)=1，坐标是(3,1)。
2. 如图所示是战机在空中展示的轴对称队形。以飞机$B$,$C所在直线为x$轴、队形的对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。若飞机$E的坐标为(40,a)$,则飞机$D$的坐标为(
A.$(40,-a)$
B.$(-40,a)$
C.$(-40,-a)$
D.$(a,-40)$
B
)A.$(40,-a)$
B.$(-40,a)$
C.$(-40,-a)$
D.$(a,-40)$
答案
B
解析
由题意知队形的对称轴为y轴，所以点D与点E关于y轴对称。关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。已知飞机E的坐标为(40,a)，则飞机D的坐标为(-40,a)。
3. (2025·阜阳)在平面直角坐标系中,若点$A(-1,a + b)与点B(a - b,3)关于y$轴对称,则点$C(a,b)$在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A
解析
由于点$A(-1, a + b)$和点$B(a - b, 3)$关于$y$轴对称，根据对称性质，两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。
即：
$a - b = 1$（因为$-1$的相反数是$1$），
$a + b = 3$（因为纵坐标相等）。
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}a - b = 1,\\a + b = 3.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2a = 4 \implies a = 2$，
将两个方程相减，得到：
$2b = 2 \implies b = 1$，
所以，点$C(a, b)$的坐标为$(2, 1)$。
根据坐标系的定义，点$(2, 1)$位于第一象限。
即：
$a - b = 1$（因为$-1$的相反数是$1$），
$a + b = 3$（因为纵坐标相等）。
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}a - b = 1,\\a + b = 3.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2a = 4 \implies a = 2$，
将两个方程相减，得到：
$2b = 2 \implies b = 1$，
所以，点$C(a, b)$的坐标为$(2, 1)$。
根据坐标系的定义，点$(2, 1)$位于第一象限。
4. 在平面直角坐标系中,点$A的坐标是(-2,1)$,将点$A向右平移3$个单位长度,得到点$A_1$,再作点$A_1关于x$轴的对称点,得到点$A_2$,则点$A_2$的坐标是(
A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(-1,-1)$
C
)A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(-1,-1)$
答案
C
解析
点$A$的原始坐标是$(-2,1)$。
将点$A$向右平移3个单位长度，横坐标变为$-2+3=1$，纵坐标不变，得到点$A_1$的坐标为$(1,1)$。
作点$A_1$关于$x$轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变为$-1$，得到点$A_2$的坐标为$(1,-1)$。
将点$A$向右平移3个单位长度，横坐标变为$-2+3=1$，纵坐标不变，得到点$A_1$的坐标为$(1,1)$。
作点$A_1$关于$x$轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变为$-1$，得到点$A_2$的坐标为$(1,-1)$。
