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5. 利用因式分解计算：
(1)$34^{2}+34×32+16^{2}$；
(2)$38.9^{2}-2×38.9×48.9+48.9^{2}$。
(1)$34^{2}+34×32+16^{2}$；
(2)$38.9^{2}-2×38.9×48.9+48.9^{2}$。
答案
(1) $34^{2}+34×32+16^{2}$
$=34^{2}+2×34×16+16^{2}$
$=(34 + 16)^{2}$
$=50^{2}$
$=2500$
(2) $38.9^{2}-2×38.9×48.9+48.9^{2}$
$=(38.9 - 48.9)^{2}$
$=(-10)^{2}$
$=100$
1. 下列因式分解正确的是(
A.$3mx-6my= 3m(x-6y)$
B.$x^{2}+2x-1= (x-1)^{2}$
C.$x^{2}-2x+4= (x-2)^{2}$
D.$4x^{2}+4x+1= (2x+1)^{2}$
D
)A.$3mx-6my= 3m(x-6y)$
B.$x^{2}+2x-1= (x-1)^{2}$
C.$x^{2}-2x+4= (x-2)^{2}$
D.$4x^{2}+4x+1= (2x+1)^{2}$
答案
D
解析
A. $3mx - 6my = 3m(x - 2y) \neq 3m(x-6y)$，所以A错误；
B. 展开$(x-1)^2$得到$x^2 - 2x + 1 \neq x^2 + 2x - 1$，所以B错误；
C. 展开$(x-2)^2$得到$x^2 - 4x + 4 \neq x^2 - 2x + 4$，所以C错误；
D. 展开$(2x+1)^2$得到$4x^2 + 4x + 1$，与题目中给出的式子一致，所以D正确。
B. 展开$(x-1)^2$得到$x^2 - 2x + 1 \neq x^2 + 2x - 1$，所以B错误；
C. 展开$(x-2)^2$得到$x^2 - 4x + 4 \neq x^2 - 2x + 4$，所以C错误；
D. 展开$(2x+1)^2$得到$4x^2 + 4x + 1$，与题目中给出的式子一致，所以D正确。
2. 下列多项式中,能用完全平方公式进行因式分解的是(
A.$x^{2}-1$
B.$4x^{2}+4x+4$
C.$x^{2}+2x+1$
D.$x^{2}-2x-1$
C
)A.$x^{2}-1$
B.$4x^{2}+4x+4$
C.$x^{2}+2x+1$
D.$x^{2}-2x-1$
答案
C
解析
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
A选项$x^2 - 1$是平方差形式，不符合完全平方公式；
B选项$4x^2 + 4x + 4$，$4x^2=(2x)^2$，$4=2^2$，中间项应为$2×2x×2 = 8x$，而原式中间项是$4x$，不符合；
C选项$x^2 + 2x + 1$，$x^2=x^2$，$1=1^2$，中间项$2x=2× x×1$，符合$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，即$(x + 1)^2$；
D选项$x^2 - 2x - 1$，常数项为$-1$，完全平方公式中常数项应为正数，不符合。
A选项$x^2 - 1$是平方差形式，不符合完全平方公式；
B选项$4x^2 + 4x + 4$，$4x^2=(2x)^2$，$4=2^2$，中间项应为$2×2x×2 = 8x$，而原式中间项是$4x$，不符合；
C选项$x^2 + 2x + 1$，$x^2=x^2$，$1=1^2$，中间项$2x=2× x×1$，符合$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，即$(x + 1)^2$；
D选项$x^2 - 2x - 1$，常数项为$-1$，完全平方公式中常数项应为正数，不符合。
3. 将$y^{2}-6y+9$分解因式,结果正确的是(
A.$(y+6)^{2}$
B.$(y-3)^{2}$
C.$(y-9)^{2}$
D.$(y+3)^{2}$
B
)A.$(y+6)^{2}$
B.$(y-3)^{2}$
C.$(y-9)^{2}$
D.$(y+3)^{2}$
答案
B
解析
原式$y^{2}-6y+9$可以看作是关于$y$的二次多项式，为了分解因式，寻找完全平方的形式，完全平方公式为：
$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$，
在这里，$a=y$，$b=3$，因为：
$y^{2}-6y+9=y^{2}-2×3× y+3^{2}=(y-3)^{2}$。
$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$，
在这里，$a=y$，$b=3$，因为：
$y^{2}-6y+9=y^{2}-2×3× y+3^{2}=(y-3)^{2}$。
4. 计算$125^{2}-50×125+25^{2}$等于(
A.100
B.150
C.10 000
D.22 500
C
)A.100
B.150
C.10 000
D.22 500
答案
C
解析
原式 $125^{2} - 50 × 125 + 25^{2}$ 可以观察到它符合完全平方公式 $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ 的形式。
在这里，$a = 125$，$b = 25$，$2ab = 2 × 125 × 25 = 50 × 125/1（因为50是2乘以25）$，所以原式可以写为：
$125^{2} - 2 × 125 × 25 + 25^{2} = (125 - 25)^{2} = 100^{2} = 10000$。
在这里，$a = 125$，$b = 25$，$2ab = 2 × 125 × 25 = 50 × 125/1（因为50是2乘以25）$，所以原式可以写为：
$125^{2} - 2 × 125 × 25 + 25^{2} = (125 - 25)^{2} = 100^{2} = 10000$。
5. 若$a= b+3$,则代数式$a^{2}-2ab+b^{2}$的值等于
9
。答案
9
解析
因为$a = b + 3$，所以$a - b = 3$。代数式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，将$a - b = 3$代入，得$3^2 = 9$。
6. (易错题)已知$x^{2}-(2m+3)x+9$是一个完全平方式,则$m= $
$\frac{3}{2}$或$-\frac{9}{2}$
。答案
$\frac{3}{2}$或$-\frac{9}{2}$
解析
因为$x^{2}-(2m+3)x+9$是完全平方式，所以$9 = (\pm3)^2$。则$-(2m + 3)x = \pm 2 × x × 3$，即$-(2m + 3) = \pm 6$。
当$-(2m + 3) = 6$时，$-2m - 3 = 6$，$-2m = 9$，$m = -\frac{9}{2}$；
当$-(2m + 3) = -6$时，$-2m - 3 = -6$，$-2m = -3$，$m = \frac{3}{2}$。
综上，$m = \frac{3}{2}$或$-\frac{9}{2}$。
当$-(2m + 3) = 6$时，$-2m - 3 = 6$，$-2m = 9$，$m = -\frac{9}{2}$；
当$-(2m + 3) = -6$时，$-2m - 3 = -6$，$-2m = -3$，$m = \frac{3}{2}$。
综上，$m = \frac{3}{2}$或$-\frac{9}{2}$。
7. 分解因式：
(1)$4a^{2}-4ab+b^{2}$；(2)$m(m+2)+1$；(3)$-x^{2}+6xy-9y^{2}$；(4)$-4x^{2}+4xy-y^{2}$。
(1)$4a^{2}-4ab+b^{2}$；(2)$m(m+2)+1$；(3)$-x^{2}+6xy-9y^{2}$；(4)$-4x^{2}+4xy-y^{2}$。
答案
(1)
解：原式 $4a^{2} - 4ab + b^{2}$
= $(2a - b)^{2}$
(2)
解：原式 $m(m+2) + 1$
= $m^{2} + 2m + 1$
= $(m + 1)^{2}$
(3)
解：原式 $-x^{2} + 6xy - 9y^{2}$
= $- (x^{2} - 6xy + 9y^{2})$
= $- (x - 3y)^{2}$
(4)
解：原式 $-4x^{2} + 4xy - y^{2}$
= $- (4x^{2} - 4xy + y^{2})$
= $- (2x - y)^{2}$
解：原式 $4a^{2} - 4ab + b^{2}$
= $(2a - b)^{2}$
(2)
解：原式 $m(m+2) + 1$
= $m^{2} + 2m + 1$
= $(m + 1)^{2}$
(3)
解：原式 $-x^{2} + 6xy - 9y^{2}$
= $- (x^{2} - 6xy + 9y^{2})$
= $- (x - 3y)^{2}$
(4)
解：原式 $-4x^{2} + 4xy - y^{2}$
= $- (4x^{2} - 4xy + y^{2})$
= $- (2x - y)^{2}$
8. (2025·合肥)已知$M= 5a^{2}-2b^{2}+4a-4$,$N= 6a^{2}-b^{2}+2b+1$,则$M和N$的大小关系是(
A.$M\geq N$
B.$M\leq N$
C.$M＜N$
D.$M＞N$
B
)A.$M\geq N$
B.$M\leq N$
C.$M＜N$
D.$M＞N$
答案
B
解析
计算$N - M$，得：
$N - M=(6a^{2}-b^{2}+2b+1)-(5a^{2}-2b^{2}+4a-4)=a^{2}+b^{2}-4a+2b+5$。
配方得：$a^{2}-4a=(a-2)^{2}-4$，$b^{2}+2b=(b+1)^{2}-1$。
代入上式：$(a-2)^{2}-4+(b+1)^{2}-1+5=(a-2)^{2}+(b+1)^{2}$。
因为$(a-2)^{2}\geq0$，$(b+1)^{2}\geq0$，所以$N - M\geq0$，即$M\leq N$。
$N - M=(6a^{2}-b^{2}+2b+1)-(5a^{2}-2b^{2}+4a-4)=a^{2}+b^{2}-4a+2b+5$。
配方得：$a^{2}-4a=(a-2)^{2}-4$，$b^{2}+2b=(b+1)^{2}-1$。
代入上式：$(a-2)^{2}-4+(b+1)^{2}-1+5=(a-2)^{2}+(b+1)^{2}$。
因为$(a-2)^{2}\geq0$，$(b+1)^{2}\geq0$，所以$N - M\geq0$，即$M\leq N$。
9. (易错题)若多项式$4x^{2}+1$加上一个单项式后,能成为一个完全平方式,则加上的单项式为
$\pm 4x$，$4x^4$
。答案
$\pm 4x$，$4x^4$
解析
分情况讨论：
1. 当$4x^2$和$1$为平方项时，中间项为$\pm 2× 2x× 1 = \pm 4x$，故加上$\pm 4x$可构成$(2x\pm 1)^2$；
2. 当加上的单项式为平方项时，设为$4x^4$，则$4x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2$。
综上，加上的单项式为$\pm 4x$或$4x^4$。
1. 当$4x^2$和$1$为平方项时，中间项为$\pm 2× 2x× 1 = \pm 4x$，故加上$\pm 4x$可构成$(2x\pm 1)^2$；
2. 当加上的单项式为平方项时，设为$4x^4$，则$4x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2$。
综上，加上的单项式为$\pm 4x$或$4x^4$。
10. 因式分解：
(1)$(2a-b)^{2}+10(2a-b)+25$；
(2)$(x+y)^{2}-8(x+y)+16$。
(1)$(2a-b)^{2}+10(2a-b)+25$；
(2)$(x+y)^{2}-8(x+y)+16$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + 10(2a - b) + 25\\=&(2a - b)^2 + 2×5×(2a - b) + 5^2\\=&(2a - b + 5)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x + y)^2 - 8(x + y) + 16\\=&(x + y)^2-2×4×(x + y)+4^2\\=&(x + y - 4)^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(2a - b)^2 + 10(2a - b) + 25\\=&(2a - b)^2 + 2×5×(2a - b) + 5^2\\=&(2a - b + 5)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x + y)^2 - 8(x + y) + 16\\=&(x + y)^2-2×4×(x + y)+4^2\\=&(x + y - 4)^2\end{aligned}$
11. 已知$x^{2}+y^{2}-2x-6y= -10$,求$x-y$的值。
答案
因为$x^{2}+y^{2}-2x - 6y=-10$，
将方程进行配方：
$x^{2}-2x + 1+y^{2}-6y + 9=-10 + 1+9$
$(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=0$
因为一个数的平方为非负数，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，可得：
$\begin{cases}x - 1 = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$
当$x = 1$，$y = 3$时，$x - y=1 - 3=-2$。
综上，$x - y$的值为$-2$。
将方程进行配方：
$x^{2}-2x + 1+y^{2}-6y + 9=-10 + 1+9$
$(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=0$
因为一个数的平方为非负数，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，可得：
$\begin{cases}x - 1 = 0\\y - 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$
当$x = 1$，$y = 3$时，$x - y=1 - 3=-2$。
综上，$x - y$的值为$-2$。
