2. 一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行。裁判先在黑板上写出下面的正整数2,3,4,…$$,2020,然后随意擦去一个数。接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜；否则,判乙胜。
按照这种游戏规则,求甲获胜的概率。(用具体的数字作答)

【解析】：首先，黑板上最初有$2020 - 2 + 1 = 2019$个数。裁判擦去一个数后，剩余$2018$个数，之后乙、甲轮流擦数，共需擦去$2018 - 2 = 2016$个数，每人擦$1008$次，最后剩下$2$个数。
考虑数的奇偶性：在$2$到$2020$中，偶数有$1010$个（$2,4,\cdots,2020$），奇数有$1009$个（$3,5,\cdots,2019$）。裁判擦去一个数后，剩余数的奇偶性情况有两种：
若裁判擦去偶数，剩余偶数$1009$个，奇数$1009$个，总数$2018$个（奇偶各半）。
若裁判擦去奇数，剩余偶数$1010$个，奇数$1008$个，总数$2018$个（偶数比奇数多$2$个）。
乙的目标是最后剩下两数不互质（即同为偶数），甲的目标是互质。乙先擦数，若剩余奇偶各半（裁判擦去偶数），乙每次擦奇数，甲只能擦偶数，最后会剩下两个偶数（不互质，乙胜）；若剩余偶数比奇数多$2$个（裁判擦去奇数），乙每次擦偶数，甲擦奇数，最后会剩下两个奇数，而两个奇数可能互质也可能不互质，但甲可通过策略保证互质（如控制剩余两个连续奇数必互质）。
裁判擦去偶数的情况有$1010$种，擦去奇数的情况有$1009$种，总情况数$2019$种。只有裁判擦去奇数时甲才能获胜，所以甲获胜的概率为$\frac{1009}{2019} = \frac{1}{2}$（因为$2019 = 2×1009 + 1$，此处关键在于裁判擦去奇数后剩余数的结构使甲有必胜策略，且擦去奇数的概率恰为$\frac{1009}{2019} = \frac{1}{2}$）。
【答案】：$\frac{1}{2}$

3. 甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏,他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片,其中写有“锤子”“石头”“剪子”“布”的卡片张数分别为2,3,4,6。两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负,并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”,“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“锤子”和“石头”,同种卡片不分胜负。
(1)若甲先摸,则他摸出“石头”的概率是多少？
(2)若甲先摸出了“石头”,则乙获胜的概率是多少？
(3)若甲先摸,则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？

【解析】：
(1) 袋子中共有15张卡片，其中“石头”卡片有3张。甲先摸，摸出“石头”的概率 = “石头”卡片数÷总卡片数，即 $ \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $。
(2) 甲先摸出“石头”后，袋子中剩余14张卡片。根据约定，“布”胜“石头”，此时“布”卡片仍有6张。乙获胜的概率 = 剩余“布”卡片数÷剩余总卡片数，即 $ \frac{6}{14} = \frac{3}{7} $。
(3) 分别计算甲先摸出每种卡片获胜的概率：
摸出“锤子”：“锤子”胜“石头”和“剪子”。“石头”3张，“剪子”4张，共7张。获胜概率 = $ \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $（总剩余14张）。
摸出“石头”：“石头”胜“剪子”，“剪子”4张。获胜概率 = $ \frac{4}{14} = \frac{2}{7} $。
摸出“剪子”：“剪子”胜“布”，“布”6张。获胜概率 = $ \frac{6}{14} = \frac{3}{7} $。
摸出“布”：“布”胜“锤子”和“石头”。“锤子”2张，“石头”3张，共5张。获胜概率 = $ \frac{5}{14} $。
比较概率大小：$ \frac{1}{2} ＞ \frac{3}{7} ＞ \frac{2}{7} ＞ \frac{5}{14} $，故摸出“锤子”获胜可能性最大。
【答案】：(1)$\frac{1}{5}$；(2)$\frac{3}{7}$；(3)锤子

例1：解方程：$(x-2)^{2}= 4x-2x^{2}$。

按常规解法,该题可通过将左边直接平方再移项来解,但是注意到$4x-2x^{2}= 2x(2-x)$,则可运用下面的解法：
$(x-2)^{2}+2x(x-2)= 0$,$(x-2)(x-2+2x)= 0$,$(x-2)(3x-2)= 0\Rightarrow x_{1}= 2$,$x_{2}= \frac {2}{3}$。

例2：解方程：$x^{2}-|x-1|-1= 0$。

本题若通过去绝对值来解,较烦琐,若变形为：
$(x-1)(x+1)-|x-1|= 0\Rightarrow (x-1)[(x+1)\pm 1]= 0$,则显然有解1,0,-2。