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3. 一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图11-1,已知AD是$\triangle ABC$的角平分线,可证$\frac{AB}{AC}= \frac{BD}{CD}$.小慧的证明思路是如图11-2,过点C作CE//AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明.
(1)请参照小慧的思路,利用图11-2,证明:$\frac{AB}{AC}= \frac{BD}{CD}$;
(2)如图11-3,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90°$,D是边BC上一点.连接AD,将$\triangle ACD$沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处.若AC= 1,AB= 2,求DE的长;
(3)如图11-4,$\triangle ABC$中,AB= 6,AC= 4,AD平分$\angle BAC$,AD的中垂线EF交BC延长线于点F,当BD= $\frac{3}{2}$时,求AF的长.
(1)请参照小慧的思路,利用图11-2,证明:$\frac{AB}{AC}= \frac{BD}{CD}$;
(2)如图11-3,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90°$,D是边BC上一点.连接AD,将$\triangle ACD$沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处.若AC= 1,AB= 2,求DE的长;
(3)如图11-4,$\triangle ABC$中,AB= 6,AC= 4,AD平分$\angle BAC$,AD的中垂线EF交BC延长线于点F,当BD= $\frac{3}{2}$时,求AF的长.
答案
$ (1)证明： \because CE// AB ，\ $
$\therefore \angle E=\angle EAB ， \angle B=\angle ECB ，$
$\ \therefore \triangle CED ∽ \triangle BAD ，\ $
$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD} ，$
$\ \because \angle E=\angle EAB ， \angle EAB=\angle CAD ，$
$\ \therefore \angle E=\angle CAD ，\ $
$\therefore CE=CA ，$
$\ \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD} .$
$\ (2) \because\ 将 \triangle ACD 沿 AD 所在直线折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的 E 点处，$
$\therefore \angle CAD=\angle BAD ， CD=DE ，$
$由(1)可知， \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD} ，$
$又 \because AC=1 ， AB=2 ，\ $
$\therefore \frac{2}{1}=\frac{BD}{CD} ，$
$\therefore BD=2CD ，\ $
$\because \angle BAC=90^{\circ} ，\ $
$\therefore BC=\sqrt{A{C}^{2}+AB^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5} ，\ $
$\therefore BD+CD=\sqrt{5} ，\ $
$\therefore 3CD=\sqrt{5} ，\ $
$\therefore CD=\frac{\sqrt{5}}{3} ；\ $
$\therefore DE=\frac{\sqrt{5}}{3} ；$
$(3)∵EF垂直平分AD$
$∴AF=DF$
$∴∠ADF=∠DAF$
$∵AD平分∠BAC$
$∴∠BAD=∠CAD$
$∴∠ADF-∠BAD=∠DAF-∠CAD$
$即∠B=∠CAF$
$又∵∠AFB=∠AFC$
$∴△ABF∽△CAF$
$∴\frac{AF}{CF}=\frac{BF}{AF}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$不妨设AF=x，则CF=\frac{2}{3}x，BF=\frac{3}{2}x，DF=AF=x$
$∴BD=BF-DF=\frac{1}{2}x$
$∵BD=\frac{3}{2}$
$∴x=3，即AF=3$
$\therefore \angle E=\angle EAB ， \angle B=\angle ECB ，$
$\ \therefore \triangle CED ∽ \triangle BAD ，\ $
$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD} ，$
$\ \because \angle E=\angle EAB ， \angle EAB=\angle CAD ，$
$\ \therefore \angle E=\angle CAD ，\ $
$\therefore CE=CA ，$
$\ \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD} .$
$\ (2) \because\ 将 \triangle ACD 沿 AD 所在直线折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的 E 点处，$
$\therefore \angle CAD=\angle BAD ， CD=DE ，$
$由(1)可知， \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD} ，$
$又 \because AC=1 ， AB=2 ，\ $
$\therefore \frac{2}{1}=\frac{BD}{CD} ，$
$\therefore BD=2CD ，\ $
$\because \angle BAC=90^{\circ} ，\ $
$\therefore BC=\sqrt{A{C}^{2}+AB^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5} ，\ $
$\therefore BD+CD=\sqrt{5} ，\ $
$\therefore 3CD=\sqrt{5} ，\ $
$\therefore CD=\frac{\sqrt{5}}{3} ；\ $
$\therefore DE=\frac{\sqrt{5}}{3} ；$
$(3)∵EF垂直平分AD$
$∴AF=DF$
$∴∠ADF=∠DAF$
$∵AD平分∠BAC$
$∴∠BAD=∠CAD$
$∴∠ADF-∠BAD=∠DAF-∠CAD$
$即∠B=∠CAF$
$又∵∠AFB=∠AFC$
$∴△ABF∽△CAF$
$∴\frac{AF}{CF}=\frac{BF}{AF}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$不妨设AF=x，则CF=\frac{2}{3}x，BF=\frac{3}{2}x，DF=AF=x$
$∴BD=BF-DF=\frac{1}{2}x$
$∵BD=\frac{3}{2}$
$∴x=3，即AF=3$
