22. 已知 $\angle MON = 40^{\circ}$,$OE$ 平分 $\angle MON$,点 $A$、$B$、$C$ 分别是射线 $OM$、$OE$、$ON$ 上的动点 (点 $A$、$B$、$C$ 不与点 $O$ 重合),连结 $AB$,连结 $AC$ 交射线 $OE$ 于点 $D$,设 $\angle BAC = \alpha$.
(1) 如图①,若 $AB // ON$.
ⅰ. $\angle ABO$ 的度数是______；
ⅱ. 当 $\angle BAD = \angle ABD$ 时,$\angle OAC$ 的度数是______；
ⅲ. 当 $\angle BAD = \angle BDA$ 时,$\angle OAC$ 的度数是______.
(2) 在一个四边形中,若存在一个内角是它的对角的 2 倍,我们称这样的四边形为“完美四边形”,如图②,若 $AB \perp OM$,延长 $AB$ 交射线 $ON$ 于点 $F$,当四边形 $DCFB$ 为“完美四边形”时,求 $\alpha$ 的值.

解：（1）i. $ 20^\circ $ ii. $ 120^\circ $ iii. $ 60^\circ $
（2）i. 当 $ \angle BDC = 2\angle BFC $ 时，如图①，
∵ $ AB \perp OM $，$ \angle MON = 40^\circ $，
∴ $ \angle BFC = 50^\circ $。
∴ $ \angle BDC = 2\angle BFC = 100^\circ $。
∵ $ \angle ABO = \angle BFC + \angle BON = 50^\circ + 20^\circ = 70^\circ $，
∴ $ \angle BAC = \angle BDC - \angle ABO = 100^\circ - 70^\circ = 30^\circ $。
∴ $ \alpha = 30^\circ $。

ii. 当点 C 在点 F 左边，如图②，$ \angle DBF = 2\angle DCF $ 时，
∵ $ AB \perp OM $，$ \angle AOB = 20^\circ $，$ \angle MON = 40^\circ $，
∴ $ \angle DBF = \angle AOB + \angle OAB = 20^\circ + 90^\circ = 110^\circ $，$ \angle BFC = 50^\circ $。
∴ $ \angle DCF = \frac{1}{2}\angle DBF = 55^\circ $。
∴ $ \angle BAC = 180^\circ - \angle BFC - \angle ACF = 180^\circ - 50^\circ - 55^\circ = 75^\circ $。
∴ $ \alpha = 75^\circ $。
iii. 当点 C 在点 F 右边，如图③，$ \angle DBF = 2\angle DCF $ 时，

∵ $ AB \perp OM $，$ \angle AOB = 20^\circ $，$ \angle MON = 40^\circ $，
∴ $ \angle DBF = \angle ABO = 90^\circ - \angle AOB = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ $，$ \angle AFO = 50^\circ $。
∴ $ \angle DCF = \frac{1}{2}\angle DBF = 35^\circ $，$ \angle AFC = 130^\circ $。
∴ $ \angle BAC = 180^\circ - \angle DCF - \angle AFC = 180^\circ - 35^\circ - 130^\circ = 15^\circ $。
∴ $ \alpha = 15^\circ $。
综上所述，当四边形 DCFB 为“完美四边形”时，$ \alpha $ 的值是 $ 30^\circ $ 或 $ 75^\circ $ 或 $ 15^\circ $。