1. 如图13,$AC$为矩形$ABCD$的对角线,将边$AB$沿$AE$折叠,使点$B$落在$AC$上的点$M$处,将边$CD$沿$CF$折叠,使点$D$落在$AC$上的点$N$处.
(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形;
(2)若$AB=6,AC=10$,求四边形$AECF$的面积.

 $(1)$ 已知四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质可得$AB = CD$，$AD// BC$，$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$，$\angle BAC=\angle DCA$。
- 由折叠性质可知：$AM = AB$，$CN = CD$，$\angle AME=\angle B = 90^{\circ}$，$\angle CNF=\angle D = 90^{\circ}$。
因为$AB = CD$，所以$AM = CN$，那么$AM - MN=CN - MN$，即$AN = CM$。
又因为$\angle FNC=\angle EMA = 90^{\circ}$，$\angle FCN=\angle EAM$，所以$\triangle ANF\cong\triangle CME(ASA)$。
由全等三角形的性质可得$AF = CE$。
- 又因为$AF// CE$（矩形对边平行，$AD// BC$），根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$AECF$是平行四边形。
$(2)$已知$AB = 6$，$AC = 10$，在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。
- 设$CE=x$，则$EM = BE = 8 - x$，$CM=AC - AM=AC - AB=10 - 6 = 4$。
- 在$Rt\triangle CEM$中，根据勾股定理$EM^{2}+CM^{2}=CE^{2}$，即$(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$。
展开式子得$64-16x+x^{2}+16=x^{2}$。
移项化简可得$16x = 80$，解得$x = 5$。
- 因为四边形$AECF$是平行四边形，根据平行四边形面积公式$S = CE\times AB$，所以$S_{AECF}=5\times6 = 30$。

2. 如图14,四边形$ABCD$是平行四边形,$DE$平分$∠ADC$交$AB$于点$E$,$BF$平分$∠ABC$交$CD$于点$F$.
(1)求证:$DE=BF$;
(2)连接$EF$,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)

(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle ADC = \angle ABC$，$DC// AB$。
因为$DE$平分$\angle ADC$，$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle ADE=\frac{1}{2}\angle ADC$，$\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$，则$\angle ADE = \angle CBF$。
又因为$DC// AB$，所以$\angle AED=\angle CDE$，而$\angle ADE = \angle CDE$（角平分线定义），所以$\angle AED=\angle ADE$。
同理可得$\angle CFB=\angle CBF$，所以$\angle AED=\angle CFB$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle C\\\angle AED=\angle CFB\\AD = CB\end{array}\right.$（平行四边形对边相等，对角相等），根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$，所以$DE = BF$。
(2) 由(1)知$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
因为$DC// AB$，$DE = BF$，$DF// EB$（由$DC// AB$可得），所以四边形$DEBF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
在$\triangle DFE$和$\triangle BEF$中，$\left\{\begin{array}{l}DF = EB\\DE = BF\\EF = FE\end{array}\right.$，根据$SSS$（边边边）定理可得$\triangle DFE\cong\triangle BEF$。