13. [2025·青岛中考]如图,在$□ ABCD$中,E为AB的中点,F为ED延长线上一点,连接AF,BF,过点B作$BG// AF$交FE的延长线于点G,连接AG.
(1)求证:$△ AEF≌△ BEG$;
(2)已知(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),请判断四边形AGBF的形状,并证明你的结论.
条件①:$EF=\frac{1}{2}CD$;条件②:$EF⊥ CD$.
(注:如果选择条件①、条件②分别进行解答,按第一个解答计分)

(1)证明:$\because BG// AF,\therefore ∠ AFE=∠ BGE,∠ FAE=∠ GBE.\because E$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore AE=BE,\therefore △ AEF≌ △ BEG(\mathrm{AAS})$.
(2)选①:四边形 $AGBF$ 是矩形.证明:由(1)知$△ AEF≌ △ BEG,\therefore AF=BG.\because AF// BG,\therefore$ 四边形 $AGBF$ 是平行四边形,$\therefore EF=\frac{1}{2}FG.\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB=CD.\because EF=\frac{1}{2}CD,\therefore FG=AB,\therefore$ 平行四边形 $AGBF$ 是矩形.
选②:四边形 $AGBF$ 是菱形.证明略.

【分析】
(1) 要证明△AEF≌△BEG，先从已知条件梳理全等要素：由BG//AF，根据平行线性质可得两组内错角相等；E是AB中点可得一组对应边相等，满足AAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 若选条件①：先由(1)的全等得到AF=BG，结合AF//BG可判定AGBF是平行四边形；再结合平行四边形ABCD中AB=CD的性质，以及EF=1/2CD的条件，可推出平行四边形AGBF的对角线FG=AB，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判定形状。若选条件②：同理先证AGBF是平行四边形，再由EF⊥CD结合AB//CD可得对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可判定形状。
【解析】
(1) 证明：$\because BG// AF,\therefore ∠ AFE=∠ BGE,∠ FAE=∠ GBE$。
$\because E$是$AB$的中点，$\therefore AE=BE$，
$\therefore △ AEF≌ △ BEG(\mathrm{AAS})$。
(2) 选条件①：四边形$AGBF$是矩形，证明如下：
由(1)知$△ AEF≌ △ BEG,\therefore AF=BG$。
$\because AF// BG,\therefore$四边形$AGBF$是平行四边形，$\therefore EF=\frac{1}{2}FG$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB=CD$。
$\because EF=\frac{1}{2}CD,\therefore FG=AB$，$\therefore$平行四边形$AGBF$是矩形。
（若选条件②：四边形$AGBF$是菱形，证明：由(1)得四边形$AGBF$是平行四边形，$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB//CD$，$\because EF⊥ CD$，$\therefore EF⊥AB$，即$FG⊥AB$，$\therefore$平行四边形$AGBF$是菱形。）
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 选①：四边形$AGBF$是矩形，证明见解析；选②：四边形$AGBF$是菱形，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；特殊平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了全等三角形、平行四边形、特殊平行四边形的核心知识点，解题时需从已知条件逐步推导，先通过全等得到边的关系，再结合特殊四边形的判定定理判断形状，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.75