9. ★ 由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作。小颖同学设计了一种衣架,使用时能轻易收拢,在套进衣服后松开即可。如图①,衣架杆$OA=OB=16\ \mathrm{cm}$$O$为衣架的固定点;如图②,若衣架收拢时,$∠ AOB=60°$,则此时$A,B$两点之间的距离是 【 】


A.8 cm
B.16 cm
C.12 cm
D.6 cm

【B】

10. ★★ 数学知识的呈现一般表现出整体性,所以在学习数学知识的过程中应该学会将新知识纳入已学的知识框架内,形成知识体系,例如在复习三角形时将几种三角形的关系整理如图,在括号内填上一个适当的条件:

。

答案不唯一,如$∠ B=60°$

11. ★★ 如图,在等边$△ ABC$中,$D$为$BC$边上的一点,在等边$△ ABC$的外角平分线$CE$上取一点$E$,使$CE=BD$,连接$AE,DE$,请判断$△ ADE$的形状,并说明理由。

$\boldsymbol{△ ADE}$是等边三角形。
理由如下:如图,
$\because$ $\boldsymbol{△ ABC}$是等边三角形,
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ BAC = ∠ B = ∠ ACB=60°,AB=AC}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ ACF=120°}$。
$\because$ $\boldsymbol{CE}$平分$\boldsymbol{∠ ACF}$,
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ 4=\dfrac{1}{2}∠ ACF=60°}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ B = ∠ 4}$。
在$\boldsymbol{△ ABD}$和$\boldsymbol{△ ACE}$中,
$\begin{cases}\boldsymbol{AB=AC}, \\\boldsymbol{∠ B = ∠ 4}, \\\boldsymbol{BD=CE},\end{cases}$
$\therefore$ $\boldsymbol{△ ABD ≌ △ ACE(SAS)}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{AD=AE,∠ 1=∠ 3}$。
$\because$ $\boldsymbol{∠ 1+∠ 2=60°}$,$\therefore$ $\boldsymbol{∠ 2+∠ 3=60°}$,
即$\boldsymbol{∠ DAE=60°}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{△ ADE}$是等边三角形。

12. ★★ 如图,灯塔$C$在海岛$A$的北偏东$75°$方向,某天上午8点,一条船从海岛$A$出发,以15 n mile/h的速度由西向东航行,10点整到达$B$处,此时,测得灯塔$C$在$B$处的北偏东$60°$方向。

(1)求$B$处到灯塔$C$的距离。
(2)已知在以灯塔$C$为中心,周围16 n mile的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请说明理由。

(1)根据题意,得$\boldsymbol{∠ BAC=90°-75°=15°,∠ CBE=90°-60°=30°,AB=15×2=30(\mathrm{n mile})}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ C=30°-15°=15°}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{∠ BAC=∠ C}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{BC=AB=30\ \mathrm{n mile}}$。
$\therefore$ $\boldsymbol{B}$处到灯塔$\boldsymbol{C}$的距离为$\boldsymbol{30\ \mathrm{n mile}}$。
(2)有触礁的危险。理由如下:
如图,过点$\boldsymbol{C}$作$\boldsymbol{CD ⊥ AB}$,交$\boldsymbol{AB}$的延长线于点$\boldsymbol{D}$。
$\because$ $\boldsymbol{∠ CBD=30°,BC=30\ \mathrm{n mile}}$,
$\therefore$ $\boldsymbol{CD=\dfrac{1}{2}BC=15\ \mathrm{n mile}}$。
$\because$ $\boldsymbol{15＜16}$,
$\therefore$ 若这条船继续由西向东航行,有触礁的危险。