14. 如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2。
(1)求证:平行四边形ABCD是菱形。
(2)E是AD上一点,连结CE交BD于点F,且DE=DF,求证:$DO=\frac{1}{2}(DF+BC)$。

14.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD=BC,AD// BC,AB=CD$,所以$∠1=∠DBC$。因为$∠1=∠2$,所以$∠DBC=∠2$,所以$BC=CD$,所以$AB=BC=CD=AD$,所以平行四边形ABCD是菱形。
(2)证明:因为$DE=DF$,所以$∠DEF=∠DFE$,因为$AD// BC$,所以$∠DEF=∠BCF$,所以$∠BCF=∠DFE=∠BFC$,所以$BC=BF$,所以$BD=BF+DF=BC+DF$,因为四边形ABCD是平行四边形,所以$BO=DO$,所以$DO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(DF+BC)$。

15. 关于$x$的一元二次方程$M:ax^2+bx+c=0(ac≠0)$，且$a+b+c=0$。
(1)请直接写出方程$M:ax^2+bx+c=0$的一个根。
(2)方程$N:cx^2-bx+a=0$。
①若方程$M$的另一个根为$x=4$，求方程$N$的两根；
②若方程$M,N$的根相同，求证：$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}=-2$。

15. 解:(1)把$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0(ac≠0)$,得$a+b+c=0$,所以$x=1$是方程$M:ax^2+bx+c=0$的一个根。
(2)①由(1)知$x=1$是方程$M$的一根,因为方程$M$的另一个根为$x=4$,所以方程$M$的根为$x_1=1,x_2=4$。方程$N$的两边同除以$x^2$,得$a·\frac{1}{x^2}-b·\frac{1}{x}+c=0$,所以$a(-\frac{1}{x})^2+b(-\frac{1}{x})+c=0$,所以$-\frac{1}{x}=4$或$-\frac{1}{x}=1$,所以$x_1=-\frac{1}{4}$,$x_2=-1$;②证明:因为方程$M,N$的根相同,设两方程两根为$x_1,x_2$,所以对于方程$M$,则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,对于方程$N$,则$x_1+x_2=-\frac{-b}{c}=\frac{b}{c}$,所以$-\frac{b}{a}=\frac{b}{c}$,所以$a=-c$,所以$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}=\frac{c}{-c}+\frac{-c}{c}=-1+-1=-2$。