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15. 在式子$\sqrt{\dfrac{x}{2}}(x＞0),\sqrt{2},\sqrt{y+1}(y=-2),\sqrt{-2x}(x＜0),3,\sqrt[3]{8},\sqrt{x^2+1},x+y$中，二次根式有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$，根指数为2）的式子叫做二次根式，逐个判断：
1. $\sqrt{\dfrac{x}{2}}(x＞0)$：被开方数$\dfrac{x}{2}＞0$，是二次根式；
2. $\sqrt{2}$：被开方数$2＞0$，是二次根式；
3. $\sqrt{y+1}(y=-2)$：代入得$y+1=-1＜0$，被开方数为负，不是二次根式；
4. $\sqrt{-2x}(x＜0)$：代入得$-2x＞0$，被开方数为正，是二次根式；
5. $3$：是常数，不含二次根号，不是二次根式；
6. $\sqrt[3]{8}$：根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
7. $\sqrt{x^2+1}$：$x^2+1≥1＞0$，被开方数恒正，是二次根式；
8. $x+y$：是多项式，不含二次根号，不是二次根式。
综上，二次根式共4个。
1. $\sqrt{\dfrac{x}{2}}(x＞0)$：被开方数$\dfrac{x}{2}＞0$，是二次根式；
2. $\sqrt{2}$：被开方数$2＞0$，是二次根式；
3. $\sqrt{y+1}(y=-2)$：代入得$y+1=-1＜0$，被开方数为负，不是二次根式；
4. $\sqrt{-2x}(x＜0)$：代入得$-2x＞0$，被开方数为正，是二次根式；
5. $3$：是常数，不含二次根号，不是二次根式；
6. $\sqrt[3]{8}$：根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
7. $\sqrt{x^2+1}$：$x^2+1≥1＞0$，被开方数恒正，是二次根式；
8. $x+y$：是多项式，不含二次根号，不是二次根式。
综上，二次根式共4个。
16. 已知$y=\sqrt{x-6}+\sqrt{12-2x}-1$，则$x^y$的值为（）
A.$-6$
B.$-\dfrac{1}{6}$
C.$6$
D.$\dfrac{1}{6}$
A.$-6$
B.$-\dfrac{1}{6}$
C.$6$
D.$\dfrac{1}{6}$
答案
D
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得不等式组$\begin{cases}x-6≥0 \\12-2x≥0 \end{cases}$，解得$x≥6$且$x≤6$，即$x=6$。将$x=6$代入$y=\sqrt{x-6}+\sqrt{12-2x}-1$，得$y=0+0-1=-1$。因此$x^y=6^{-1}=\frac{1}{6}$。
17. 设$x,y$为实数，且$y=4+\sqrt{5-x}+\sqrt{x-5}$，则$|y-x|$的值是（）
A.1
B.9
C.4
D.5
A.1
B.9
C.4
D.5
答案
A
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$\begin{cases}5-x≥0 \\ x-5≥0\end{cases}$，解得$x=5$。
将$x=5$代入$y=4+\sqrt{5-x}+\sqrt{x-5}$，得$y=4+0+0=4$。
因此$|y-x|=|4-5|=1$。
$\begin{cases}5-x≥0 \\ x-5≥0\end{cases}$，解得$x=5$。
将$x=5$代入$y=4+\sqrt{5-x}+\sqrt{x-5}$，得$y=4+0+0=4$。
因此$|y-x|=|4-5|=1$。
18.若$\sqrt{b^2 - 6b + 9} = 3 - b$，则（）
A.$b=0$
B.$b=1$
C.$b ≤ 3$
D.$b ≥ 3$
A.$b=0$
B.$b=1$
C.$b ≤ 3$
D.$b ≥ 3$
答案
C
解析
先将根号内的多项式因式分解，可得$b^2-6b+9=(b-3)^2$。根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，原式可化为$|b-3|=3-b$。由绝对值的性质可知，当$|x|=-x$时，$x≤0$，因此$b-3≤0$，解得$b≤3$。
19. 在平面直角坐标系中，点$A(2,m)$和点$B(n,3)$关于$x$轴对称，则$\sqrt{(m+n)^2}$的值为（）
A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
答案
C
解析
关于x轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数。由点A(2,m)和点B(n,3)关于x轴对称，可得n=2，m=-3。计算得m+n=-3+2=-1，因此$\sqrt{(m+n)^2}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$。
20.若2,5,n为一个三角形的三边长,则化简$\sqrt{(3-n)^2}+\sqrt{(8-n)^2}$的结果为（）
A.5
B.$2n-11$
C.$11-2n$
D.$-5$
A.5
B.$2n-11$
C.$11-2n$
D.$-5$
答案
A
解析
根据三角形三边关系，两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，可得$5-2 ＜ n ＜ 5+2$，即$3 ＜ n ＜7$。
由二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，原式可化为$|3-n| + |8-n|$。
因为$3 ＜ n ＜7$，所以$3-n＜0$，$8-n＞0$，去掉绝对值得：
$(n-3)+(8-n)=5$
由二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，原式可化为$|3-n| + |8-n|$。
因为$3 ＜ n ＜7$，所以$3-n＜0$，$8-n＞0$，去掉绝对值得：
$(n-3)+(8-n)=5$
21.若$|m+3|$和$\sqrt{n-2}$互为相反数，则$m^n$的值为。
答案
解：
∵ $|m+3|$ 和 $\sqrt{n-2}$ 互为相反数，
∴ $|m+3| + \sqrt{n-2} = 0$。
又∵ $|m+3| ≥ 0$，$\sqrt{n-2} ≥ 0$，
∴ $m+3 = 0$，$n-2 = 0$，
解得 $m = -3$，$n = 2$。
∴ $m^n = (-3)^2 = 9$。
∵ $|m+3|$ 和 $\sqrt{n-2}$ 互为相反数，
∴ $|m+3| + \sqrt{n-2} = 0$。
又∵ $|m+3| ≥ 0$，$\sqrt{n-2} ≥ 0$，
∴ $m+3 = 0$，$n-2 = 0$，
解得 $m = -3$，$n = 2$。
∴ $m^n = (-3)^2 = 9$。
22. 有下列等式：①$\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{8}$；②$\sqrt{(-4)^2}=\pm4$；③$\sqrt{10^{-6}}=0.001$；④$(-\sqrt{5})^2=25$。
其中正确的有（填序号）。
其中正确的有（填序号）。
答案
解：
对各个等式逐一计算验证：
① $\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\sqrt{(\dfrac{1}{4})^2}=\dfrac{1}{4} ≠ \dfrac{1}{8}$，故①错误；
② $\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，算术平方根的结果为非负数，不等于$\pm4$，故②错误；
③ $\sqrt{10^{-6}}=\sqrt{(10^{-3})^2}=10^{-3}=0.001$，故③正确；
④ $(-\sqrt{5})^2=(-1)^2 × (\sqrt{5})^2=1×5=5 ≠ 25$，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{③}$。
对各个等式逐一计算验证：
① $\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\sqrt{(\dfrac{1}{4})^2}=\dfrac{1}{4} ≠ \dfrac{1}{8}$，故①错误；
② $\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，算术平方根的结果为非负数，不等于$\pm4$，故②错误；
③ $\sqrt{10^{-6}}=\sqrt{(10^{-3})^2}=10^{-3}=0.001$，故③正确；
④ $(-\sqrt{5})^2=(-1)^2 × (\sqrt{5})^2=1×5=5 ≠ 25$，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{③}$。
23.若$\sqrt{50a}$的值是一个整数，则正整数a的最小值是。
答案
解：
$\sqrt{50a} = \sqrt{25 × 2a} = 5\sqrt{2a}$
因为$\sqrt{50a}$的值是整数，所以$\sqrt{2a}$必须是整数，即$2a$是完全平方数。
已知$a$是正整数，要使$a$取最小值，则$2a$的最小完全平方数取值为4，此时$a=2$。
正整数$a$的最小值是$\boldsymbol{2}$。
$\sqrt{50a} = \sqrt{25 × 2a} = 5\sqrt{2a}$
因为$\sqrt{50a}$的值是整数，所以$\sqrt{2a}$必须是整数，即$2a$是完全平方数。
已知$a$是正整数，要使$a$取最小值，则$2a$的最小完全平方数取值为4，此时$a=2$。
正整数$a$的最小值是$\boldsymbol{2}$。
24. 已知关于$x$的代数式$\sqrt{4-x}+\sqrt{x-a-2}$有意义，满足条件的所有整数$x$的和为10，则$a$的取值范围为。
答案
$\boldsymbol{-3 ＜ a ≤ -1}$
解析
解：
要使代数式$\sqrt{4-x}+\sqrt{x-a-2}$有意义，被开方数需均为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}4-x ≥ 0 \\x - a - 2 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$4-x≥0$，得$x≤4$，
解不等式$x - a - 2 ≥ 0$，得$x≥ a+2$，
因此$x$的取值范围为$a+2 ≤ x ≤ 4$。
已知满足条件的所有整数$x$的和为10，不大于4的整数中，和为10的整数组合为$\{1,2,3,4\}$和$\{0,1,2,3,4\}$，
可得$a+2$的取值范围为$-1 ＜ a+2 ≤ 1$，
解得：$-3 ＜ a ≤ -1$。
要使代数式$\sqrt{4-x}+\sqrt{x-a-2}$有意义，被开方数需均为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}4-x ≥ 0 \\x - a - 2 ≥ 0\end{cases}$
解不等式$4-x≥0$，得$x≤4$，
解不等式$x - a - 2 ≥ 0$，得$x≥ a+2$，
因此$x$的取值范围为$a+2 ≤ x ≤ 4$。
已知满足条件的所有整数$x$的和为10，不大于4的整数中，和为10的整数组合为$\{1,2,3,4\}$和$\{0,1,2,3,4\}$，
可得$a+2$的取值范围为$-1 ＜ a+2 ≤ 1$，
解得：$-3 ＜ a ≤ -1$。
25.若$(2x + y - 5)^2 + \sqrt{x + 2y + 4} = 0$，则$x - y$的值是。
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
解：
∵ $(2x+y-5)^2 ≥ 0$，$\sqrt{x+2y+4} ≥ 0$，且 $(2x+y-5)^2 + \sqrt{x+2y+4}=0$
∴ $\begin{cases} 2x + y - 5 = 0 \quad ① \\ x + 2y + 4 = 0 \quad ② \end{cases}$
由① - ②，得：
$x - y - 9 = 0$
即 $x - y = 9$
∵ $(2x+y-5)^2 ≥ 0$，$\sqrt{x+2y+4} ≥ 0$，且 $(2x+y-5)^2 + \sqrt{x+2y+4}=0$
∴ $\begin{cases} 2x + y - 5 = 0 \quad ① \\ x + 2y + 4 = 0 \quad ② \end{cases}$
由① - ②，得：
$x - y - 9 = 0$
即 $x - y = 9$
26.若一个直角三角形的面积为 9,它的两条直角边长度之比为2:3,则这两条直角边的长度分别为.
答案
解：设两条直角边的长度分别为$2x$和$3x$（$x＞0$），
根据直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × 2x × 3x = 9$
化简得：$3x^2=9$，即$x^2=3$。
$\because x＞0$，
$\therefore x=\sqrt{3}$，
则$2x=2\sqrt{3}$，$3x=3\sqrt{3}$。
故答案为：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{3}$。
根据直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × 2x × 3x = 9$
化简得：$3x^2=9$，即$x^2=3$。
$\because x＞0$，
$\therefore x=\sqrt{3}$，
则$2x=2\sqrt{3}$，$3x=3\sqrt{3}$。
故答案为：$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{3}$。
27. 实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：$(\sqrt{a - 4})^2 =$ 。
答案
$\boldsymbol{a-4}$
解析
解：由数轴可知，$5 ＜ a ＜ 10$，
$\therefore a-4 ＞ 1 ＞ 0$，
根据二次根式的性质：当$x≥0$时，$(\sqrt{x})^2 = x$，
可得$(\sqrt{a-4})^2 = a-4$。
$\therefore a-4 ＞ 1 ＞ 0$，
根据二次根式的性质：当$x≥0$时，$(\sqrt{x})^2 = x$，
可得$(\sqrt{a-4})^2 = a-4$。
