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17. 如图所示,已知一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行.离开港口2小时后,两船相距()
A.25海里
B.30海里
C.35海里
D.40海里
A.25海里
B.30海里
C.35海里
D.40海里
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确方向角的含义：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此两艘船的航行方向夹角为90°，即两船行驶的路程与两船的距离可构成直角三角形，两船距离是直角三角形的斜边。接下来先根据“路程=速度×时间”分别计算两艘船2小时行驶的路程，也就是直角三角形的两条直角边长度，最后利用勾股定理求出斜边长度，即为两船的距离。
【解析】
首先计算两艘船离开港口2小时行驶的路程：
向东北方向航行的船行驶的路程：$16 × 2 = 32$（海里）
向东南方向航行的船行驶的路程：$12 × 2 = 24$（海里）
因为东北方向与东南方向的夹角为$90°$，所以两段路程和两船距离构成直角三角形，两船距离为直角三角形的斜边。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入数据得：
两船距离$=\sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$（海里）
【答案】
D
【知识点】
方向角；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际行程问题中的应用，解题的核心是先通过方向角判断出直角，再结合行程公式得到直角边长度，最后用勾股定理求解斜边，难度不大，只要理清方向关系即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方向角的含义：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，因此两艘船的航行方向夹角为90°，即两船行驶的路程与两船的距离可构成直角三角形，两船距离是直角三角形的斜边。接下来先根据“路程=速度×时间”分别计算两艘船2小时行驶的路程，也就是直角三角形的两条直角边长度，最后利用勾股定理求出斜边长度，即为两船的距离。
【解析】
首先计算两艘船离开港口2小时行驶的路程：
向东北方向航行的船行驶的路程：$16 × 2 = 32$（海里）
向东南方向航行的船行驶的路程：$12 × 2 = 24$（海里）
因为东北方向与东南方向的夹角为$90°$，所以两段路程和两船距离构成直角三角形，两船距离为直角三角形的斜边。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入数据得：
两船距离$=\sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$（海里）
【答案】
D
【知识点】
方向角；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际行程问题中的应用，解题的核心是先通过方向角判断出直角，再结合行程公式得到直角边长度，最后用勾股定理求解斜边，难度不大，只要理清方向关系即可正确解答。
【难度系数】
0.8
18. 宽为2 cm的长方形纸条折叠后的形状如图所示,折痕PQ的长是()
A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$ cm
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$ cm
C.$\sqrt{5}$ cm
D.2 cm
A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$ cm
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$ cm
C.$\sqrt{5}$ cm
D.2 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质和平行线的性质判断重叠部分三角形的形状：长方形纸条对边平行，折叠后重叠部分为等腰三角形，结合已知的60°夹角，可判定该三角形为等边三角形，纸条的宽度2cm就是等边三角形的高；接下来要求折痕PQ的长，即求等边三角形的边长，可通过勾股定理建立边长和高的关系计算即可。
【解析】
过点Q作纸条对边的垂线，垂足为点A，由纸条的宽为2cm，可得垂线长QA=2cm，QA是重叠部分三角形的高。
由折叠性质和平行线的性质可知，重叠部分的三角形为等腰三角形，又已知两纸条夹角为60°，因此该等腰三角形是等边三角形，即PQ为等边三角形的边长。
设PQ长为x cm，等边三角形的高将其分成两个全等的直角三角形，直角三角形的斜边长为x，一条直角边为边长的一半即$\frac{x}{2}$，另一条直角边为高QA=2cm。
根据勾股定理：$(\frac{x}{2})^2 + 2^2 = x^2$
展开计算：$\frac{x^2}{4} + 4 = x^2$
移项得：$x^2 - \frac{x^2}{4} =4$，即$\frac{3x^2}{4}=4$
解得：$x^2=\frac{16}{3}$，$x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$（边长为正，舍去负根），即PQ长为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$cm。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠变换的性质、特殊三角形的判定和勾股定理的应用，解题的突破口是识别出纸条宽度对应等边三角形的高，将未知线段放在直角三角形中利用勾股定理求解，是几何部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质和平行线的性质判断重叠部分三角形的形状：长方形纸条对边平行，折叠后重叠部分为等腰三角形，结合已知的60°夹角，可判定该三角形为等边三角形，纸条的宽度2cm就是等边三角形的高；接下来要求折痕PQ的长，即求等边三角形的边长，可通过勾股定理建立边长和高的关系计算即可。
【解析】
过点Q作纸条对边的垂线，垂足为点A，由纸条的宽为2cm，可得垂线长QA=2cm，QA是重叠部分三角形的高。
由折叠性质和平行线的性质可知，重叠部分的三角形为等腰三角形，又已知两纸条夹角为60°，因此该等腰三角形是等边三角形，即PQ为等边三角形的边长。
设PQ长为x cm，等边三角形的高将其分成两个全等的直角三角形，直角三角形的斜边长为x，一条直角边为边长的一半即$\frac{x}{2}$，另一条直角边为高QA=2cm。
根据勾股定理：$(\frac{x}{2})^2 + 2^2 = x^2$
展开计算：$\frac{x^2}{4} + 4 = x^2$
移项得：$x^2 - \frac{x^2}{4} =4$，即$\frac{3x^2}{4}=4$
解得：$x^2=\frac{16}{3}$，$x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$（边长为正，舍去负根），即PQ长为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$cm。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了折叠变换的性质、特殊三角形的判定和勾股定理的应用，解题的突破口是识别出纸条宽度对应等边三角形的高，将未知线段放在直角三角形中利用勾股定理求解，是几何部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.6
19. 如图所示,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$.将$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$n$度后得到$△ EDC$,此时点$D$在$AB$边上,斜边$DE$交$AC$边于点$F$,则$n$的大小和图中阴影部分的面积分别为()
A.$30,2$
B.$60,2$
C.$60,\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$60,\sqrt{3}$
A.$30,2$
B.$60,2$
C.$60,\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$60,\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从Rt△ABC的已知角度入手，利用含30°角的直角三角形性质得到∠B的度数；再结合旋转的性质，对应边相等推出CB=CD，判定△BCD是等边三角形，即可得到旋转角n的大小。之后根据旋转前后对应角相等，求出阴影部分三角形的内角度数，判断其为直角三角形，再利用勾股定理或30°直角三角形性质求出边长，最终计算阴影面积。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，因此$∠ B=180°-90°-30°=60°$，$AB=2BC=4$。
2. 由旋转的性质可知：$CB=CD$，$∠ CDE=∠ B=60°$。
3. 因为$CB=CD$且$∠ B=60°$，所以$△ BCD$是等边三角形，因此旋转角$∠ BCD=60°$，即$n=60$。
4. 计算$∠ ACD$：$∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-60°=30°$。
5. 在$△ DFC$中，$∠ CDE=60°$，$∠ DCF=30°$，因此$∠ DFC=180°-60°-30°=90°$，$△ DFC$是直角三角形。
6. 已知$CD=BC=2$，在$Rt△ DFC$中，$∠ DCF=30°$，所以$DF=\frac{1}{2}CD=1$，由勾股定理得$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
7. 阴影部分面积：$S_{△ DFC}=\frac{1}{2}× DF× CF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，$n=60$，阴影部分面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查旋转性质和特殊三角形的边角关系，解题核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的特点，结合等边三角形、直角三角形的性质逐步推导，是几何部分的典型基础综合题，需要熟练掌握特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时先从Rt△ABC的已知角度入手，利用含30°角的直角三角形性质得到∠B的度数；再结合旋转的性质，对应边相等推出CB=CD，判定△BCD是等边三角形，即可得到旋转角n的大小。之后根据旋转前后对应角相等，求出阴影部分三角形的内角度数，判断其为直角三角形，再利用勾股定理或30°直角三角形性质求出边长，最终计算阴影面积。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，因此$∠ B=180°-90°-30°=60°$，$AB=2BC=4$。
2. 由旋转的性质可知：$CB=CD$，$∠ CDE=∠ B=60°$。
3. 因为$CB=CD$且$∠ B=60°$，所以$△ BCD$是等边三角形，因此旋转角$∠ BCD=60°$，即$n=60$。
4. 计算$∠ ACD$：$∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-60°=30°$。
5. 在$△ DFC$中，$∠ CDE=60°$，$∠ DCF=30°$，因此$∠ DFC=180°-60°-30°=90°$，$△ DFC$是直角三角形。
6. 已知$CD=BC=2$，在$Rt△ DFC$中，$∠ DCF=30°$，所以$DF=\frac{1}{2}CD=1$，由勾股定理得$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
7. 阴影部分面积：$S_{△ DFC}=\frac{1}{2}× DF× CF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
综上，$n=60$，阴影部分面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查旋转性质和特殊三角形的边角关系，解题核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的特点，结合等边三角形、直角三角形的性质逐步推导，是几何部分的典型基础综合题，需要熟练掌握特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
20. 如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 cm². 
答案
$\boldsymbol{49}$
解析
【分析】
我们可以结合勾股定理的几何意义推导：正方形面积等于边长的平方，而勾股定理表明直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积。解题时我们可以逐层合并面积：先把A、B的面积合并为对应中间正方形的面积，C、D的面积合并为另一个中间正方形的面积，再将两个中间正方形的面积合并，就等于最大正方形的面积，即可得到四个小正方形的面积总和。
【解析】
解：根据勾股定理的几何意义推导：
1. 正方形A、B的面积和，等于二者对应直角三角形的斜边为边长的中间正方形的面积，即$S_A+S_B=S_1$；
2. 同理，正方形C、D的面积和，等于另一个中间正方形的面积，即$S_C+S_D=S_2$；
3. 两个中间正方形的面积和，等于边长为7cm的最大正方形的面积，即$S_1+S_2=S_{\mathrm{最大}}$。
因此四个正方形的面积总和为：
$S_A+S_B+S_C+S_D=S_{\mathrm{最大}}=7×7=49(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boldsymbol{49}$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，解题核心是利用勾股定理将分散的小正方形面积逐步转化为最大正方形的面积，无需单独计算每个小正方形的面积，体现了整体转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
我们可以结合勾股定理的几何意义推导：正方形面积等于边长的平方，而勾股定理表明直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积。解题时我们可以逐层合并面积：先把A、B的面积合并为对应中间正方形的面积，C、D的面积合并为另一个中间正方形的面积，再将两个中间正方形的面积合并，就等于最大正方形的面积，即可得到四个小正方形的面积总和。
【解析】
解：根据勾股定理的几何意义推导：
1. 正方形A、B的面积和，等于二者对应直角三角形的斜边为边长的中间正方形的面积，即$S_A+S_B=S_1$；
2. 同理，正方形C、D的面积和，等于另一个中间正方形的面积，即$S_C+S_D=S_2$；
3. 两个中间正方形的面积和，等于边长为7cm的最大正方形的面积，即$S_1+S_2=S_{\mathrm{最大}}$。
因此四个正方形的面积总和为：
$S_A+S_B+S_C+S_D=S_{\mathrm{最大}}=7×7=49(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boldsymbol{49}$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，解题核心是利用勾股定理将分散的小正方形面积逐步转化为最大正方形的面积，无需单独计算每个小正方形的面积，体现了整体转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
