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6. (2025·内江中考节选) 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}(x＜0)$的图象与一次函数$y=k_{2}x+b$的图象相交于$A(a,6)$,$B(-6,1)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)过直线$AB$上的点$C$作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点$D$. 若点$C$的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)过直线$AB$上的点$C$作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点$D$. 若点$C$的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.
答案
6. (1)
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 的图象过点 $B(-6,1)$,
∴ $k_1=-6×$
$1=-6$,故反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{6}{x}$,把点 $A(a,6)$ 代入
反比例函数 $y=-\dfrac{6}{x}$,得 $6=-\dfrac{6}{a}$,解得 $a=-1$,
∴ 点 A 的坐标
为$(-1,6)$.
∵ 一次函数的图象经过 $A(-1,6)$,$B(-6,1)$ 两
点,
∴ $\begin{cases}-k_2+b=6,\\-6k_2+b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=1,\\b=7,\end{cases}$ 故一次函数的表达式为 $y=x+7$.
(2)
∵ 点 C 的横坐标为-4,代入 $y=$
$x+7$,解得 $y=-4+7=3$,
∴ $C(-4,3)$.
将 $y=3$ 代入 $y=-\dfrac{6}{x}$,得 $3=-\dfrac{6}{x}$,解
得 $x=-2$,
∴ $D(-2,3)$.如图,分别过
点 B,D 作 $x$ 轴的垂线,垂足分别为
$F,E$,
∵ $B(-6,1)$,$D(-2,3)$,
∴ $DE=3$,$BF=1$,$EF=-2-$
$(-6)=4$.
∵ $S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{\mathrm{梯形}BFED}+S_{△ DEO}$,$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=3$,
∴ $S_{△ BOD}=S_{\mathrm{梯形}BFED}=\dfrac{1}{2}(DE+BF) · EF=\dfrac{1}{2}×(3+1)×4=8$.
解析
【分析】
要解决本题，分两步思考：(1) 求函数表达式时，利用反比例函数上点的坐标满足$k=xy$，先代入已知点$B$求出反比例函数的$k_1$，再求点$A$坐标；接着用待定系数法，将$A$、$B$代入一次函数，解方程组得到一次函数表达式。(2) 求$△ BOD$面积时，先根据点$C$在直线$AB$上求出$C$坐标，再由$CD// x$轴得$D$的纵坐标，代入反比例函数求$D$坐标；最后通过作垂线，利用面积转换（减去两个等面积的小三角形），将$△ BOD$的面积转化为梯形面积计算。
【解析】
(1) 求反比例函数和一次函数表达式：
① 反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(x＜0)$过点$B(-6,1)$，代入得$k_1=-6×1=-6$，故反比例函数表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
② 点$A(a,6)$在反比例函数上，代入得$6=-\dfrac{6}{a}$，解得$a=-1$，即$A(-1,6)$。
③ 一次函数$y=k_2x+b$过$A(-1,6)$、$B(-6,1)$，代入得方程组：
$\begin{cases}-k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=7\end{cases}$，故一次函数表达式为$y=x+7$。
(2) 求$△ BOD$的面积：
① 点$C$在直线$AB$上，横坐标为$-4$，代入$y=x+7$得$y=-4+7=3$，故$C(-4,3)$。
② 因$CD// x$轴，$D$的纵坐标为$3$，代入$y=-\dfrac{6}{x}$得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，即$D(-2,3)$。
③ 过$B$作$BF⊥ x$轴于$F$，过$D$作$DE⊥ x$轴于$E$，则$BF=1$，$DE=3$，$EF=-2-(-6)=4$。
又$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=3$，故$S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\dfrac{1}{2}(1+3)×4=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$，一次函数表达式为$y=x+7$；(2) $△ BOD$的面积为$8$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的基础题，考查待定系数法求函数表达式，以及利用坐标和面积转换求三角形面积，解题关键是掌握函数上点的坐标特征和面积转换方法，属于中考常见题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两步思考：(1) 求函数表达式时，利用反比例函数上点的坐标满足$k=xy$，先代入已知点$B$求出反比例函数的$k_1$，再求点$A$坐标；接着用待定系数法，将$A$、$B$代入一次函数，解方程组得到一次函数表达式。(2) 求$△ BOD$面积时，先根据点$C$在直线$AB$上求出$C$坐标，再由$CD// x$轴得$D$的纵坐标，代入反比例函数求$D$坐标；最后通过作垂线，利用面积转换（减去两个等面积的小三角形），将$△ BOD$的面积转化为梯形面积计算。
【解析】
(1) 求反比例函数和一次函数表达式：
① 反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(x＜0)$过点$B(-6,1)$，代入得$k_1=-6×1=-6$，故反比例函数表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
② 点$A(a,6)$在反比例函数上，代入得$6=-\dfrac{6}{a}$，解得$a=-1$，即$A(-1,6)$。
③ 一次函数$y=k_2x+b$过$A(-1,6)$、$B(-6,1)$，代入得方程组：
$\begin{cases}-k_2 + b = 6 \\ -6k_2 + b = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=7\end{cases}$，故一次函数表达式为$y=x+7$。
(2) 求$△ BOD$的面积：
① 点$C$在直线$AB$上，横坐标为$-4$，代入$y=x+7$得$y=-4+7=3$，故$C(-4,3)$。
② 因$CD// x$轴，$D$的纵坐标为$3$，代入$y=-\dfrac{6}{x}$得$3=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-2$，即$D(-2,3)$。
③ 过$B$作$BF⊥ x$轴于$F$，过$D$作$DE⊥ x$轴于$E$，则$BF=1$，$DE=3$，$EF=-2-(-6)=4$。
又$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=3$，故$S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\dfrac{1}{2}(1+3)×4=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=-\dfrac{6}{x}$，一次函数表达式为$y=x+7$；(2) $△ BOD$的面积为$8$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的基础题，考查待定系数法求函数表达式，以及利用坐标和面积转换求三角形面积，解题关键是掌握函数上点的坐标特征和面积转换方法，属于中考常见题型。
【难度系数】
0.6
7. (2024·雅安中考节选)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象$l$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于$M(\dfrac{1}{2},4)$,$N(n,1)$两点.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若点$P$是$y$轴上一动点,连接$PM,PN$.当$PM+PN$的值最小时,求点$P$的坐标.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若点$P$是$y$轴上一动点,连接$PM,PN$.当$PM+PN$的值最小时,求点$P$的坐标.
答案
7. (1)
∵ $M(\dfrac{1}{2},4)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,
∴ $k=\dfrac{1}{2}×$
$4=2$,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{2}{x}$.又
∵ $N(n,1)$ 在反比例
函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象上,
∴ $n=2$,
∴ $N(2,1)$.设一次函数的表达
式为 $y=ax+b$,
∴ $\begin{cases}\dfrac{1}{2}a+b=4,\\2a+b=1,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}a=-2,\\b=5,\end{cases}$
∴ 一次函数的表达式
为 $y=-2x+5$.
(2)如图,作点 M 关于 $y$ 轴的对称
点 $M'$,连接 $M'N$ 交 $y$ 轴于点 $P$,则
$PM+PN=PM'+PN$,则 $PM+PN$ 的最
小值等于 $M'N$ 的长.
∵ $M(\dfrac{1}{2},4)$
与 $M'$ 关于 $y$ 轴对称,
∴ $M'$ 的坐标为
$(-\dfrac{1}{2},4)$.又 $N(2,1)$,设 $M'N$ 的函
数表达式为 $y=cx+d$,则 $\begin{cases}-\dfrac{1}{2}c+d=4,\\2c+d=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\dfrac{6}{5},\\d=\dfrac{17}{5},\end{cases}$
∴ 直
线 $M'N$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{17}{5}$.令 $x=0$,则 $y=\dfrac{17}{5}$,
∴ $P(0,\dfrac{17}{5})$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用待定系数法，通过已知点坐标求解反比例函数和一次函数的表达式；第(2)问利用轴对称的性质，将PM+PN的最小值转化为两点间线段最短，进而求直线与y轴的交点得到点P的坐标。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
已知点$M(\dfrac{1}{2},4)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$M$的坐标代入得：
$k=\dfrac{1}{2}×4=2$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
求点$N$的坐标：
因为$N(n,1)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，代入得$1=\dfrac{2}{n}$，解得$n=2$，即$N(2,1)$。
求一次函数表达式：
设一次函数的表达式为$y=ax+b$，将$M(\dfrac{1}{2},4)$和$N(2,1)$代入得方程组：
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}a + b = 4 \\2a + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$2a + b - (\dfrac{1}{2}a + b)=1-4$，即$\dfrac{3}{2}a=-3$，解得$a=-2$。
将$a=-2$代入$\dfrac{1}{2}a + b=4$，得$\dfrac{1}{2}×(-2)+b=4$，即$-1 + b=4$，解得$b=5$。
因此一次函数的表达式为$y=-2x+5$。
(2) 求使$PM+PN$最小的点$P$坐标：
根据轴对称求最短路径的方法，作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，则$M'$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},4)$，此时$PM=PM'$，故$PM+PN=PM'+PN$，当$M'$、$P$、$N$三点共线时，$PM'+PN$最小，即$M'N$与$y$轴的交点为$P$。
设直线$M'N$的表达式为$y=cx+d$，将$M'(-\dfrac{1}{2},4)$和$N(2,1)$代入得方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}c + d =4 \\2c + d=1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$2c + d - (-\dfrac{1}{2}c + d)=1-4$，即$\dfrac{5}{2}c=-3$，解得$c=-\dfrac{6}{5}$。
将$c=-\dfrac{6}{5}$代入$2c + d=1$，得$2×(-\dfrac{6}{5})+d=1$，即$-\dfrac{12}{5}+d=1$，解得$d=\dfrac{17}{5}$。
因此直线$M'N$的表达式为$y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{17}{5}$。
令$x=0$，则$y=\dfrac{17}{5}$，所以点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=-2x+5$；(2) 点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、轴对称最短路径
【点评】
本题是中考常见的函数综合题，第(1)问考查待定系数法求函数表达式，属于基础题型；第(2)问利用轴对称性质解决最短路径问题，体现了数形结合思想，整体难度适中，需掌握对称点的坐标特征及直线表达式的求解方法。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问利用待定系数法，通过已知点坐标求解反比例函数和一次函数的表达式；第(2)问利用轴对称的性质，将PM+PN的最小值转化为两点间线段最短，进而求直线与y轴的交点得到点P的坐标。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
已知点$M(\dfrac{1}{2},4)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$M$的坐标代入得：
$k=\dfrac{1}{2}×4=2$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
求点$N$的坐标：
因为$N(n,1)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，代入得$1=\dfrac{2}{n}$，解得$n=2$，即$N(2,1)$。
求一次函数表达式：
设一次函数的表达式为$y=ax+b$，将$M(\dfrac{1}{2},4)$和$N(2,1)$代入得方程组：
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}a + b = 4 \\2a + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$2a + b - (\dfrac{1}{2}a + b)=1-4$，即$\dfrac{3}{2}a=-3$，解得$a=-2$。
将$a=-2$代入$\dfrac{1}{2}a + b=4$，得$\dfrac{1}{2}×(-2)+b=4$，即$-1 + b=4$，解得$b=5$。
因此一次函数的表达式为$y=-2x+5$。
(2) 求使$PM+PN$最小的点$P$坐标：
根据轴对称求最短路径的方法，作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，则$M'$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},4)$，此时$PM=PM'$，故$PM+PN=PM'+PN$，当$M'$、$P$、$N$三点共线时，$PM'+PN$最小，即$M'N$与$y$轴的交点为$P$。
设直线$M'N$的表达式为$y=cx+d$，将$M'(-\dfrac{1}{2},4)$和$N(2,1)$代入得方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}c + d =4 \\2c + d=1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$2c + d - (-\dfrac{1}{2}c + d)=1-4$，即$\dfrac{5}{2}c=-3$，解得$c=-\dfrac{6}{5}$。
将$c=-\dfrac{6}{5}$代入$2c + d=1$，得$2×(-\dfrac{6}{5})+d=1$，即$-\dfrac{12}{5}+d=1$，解得$d=\dfrac{17}{5}$。
因此直线$M'N$的表达式为$y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{17}{5}$。
令$x=0$，则$y=\dfrac{17}{5}$，所以点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{2}{x}$，一次函数表达式为$y=-2x+5$；(2) 点$P$的坐标为$(0,\dfrac{17}{5})$
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、轴对称最短路径
【点评】
本题是中考常见的函数综合题，第(1)问考查待定系数法求函数表达式，属于基础题型；第(2)问利用轴对称性质解决最短路径问题，体现了数形结合思想，整体难度适中，需掌握对称点的坐标特征及直线表达式的求解方法。
【难度系数】
0.6
8. (2024·宜宾中考)如图,一次函数 $y=ax+$$b(a ≠ 0)$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象交于点 $A(1,4),B(n,-1)$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)利用图象,直接写出不等式 $ax+b＜\dfrac{k}{x}$ 的解集;
(3)已知点 $D$ 在 $x$ 轴上,点 $C$ 在反比例函数图象上.若以 $A,B,C,D$ 为顶点的四边形是平行四边形,求点 $C$ 的坐标.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)利用图象,直接写出不等式 $ax+b＜\dfrac{k}{x}$ 的解集;
(3)已知点 $D$ 在 $x$ 轴上,点 $C$ 在反比例函数图象上.若以 $A,B,C,D$ 为顶点的四边形是平行四边形,求点 $C$ 的坐标.
答案
8. (1)
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象经过 $A(1,4)$,
∴ $4=$
$\dfrac{k}{1}$,解得 $k=4$,
∴ $y=\dfrac{4}{x}$.把 $B(n,-1)$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}$,得 $-1=\dfrac{4}{n}$,
解得 $n=-4$,
∴ $B(-4,-1)$.把 $A(1,4)$,$B(-4,-1)$ 代入 $y=$
$ax+b(a ≠ 0)$,得 $\begin{cases}a+b=4,\\-4a+b=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=3,\end{cases}$
∴ $y=x+3$.
(2)观察图象得当 $x＜-4$ 或 $0＜x＜1$ 时,一次函数的图象在反
比例函数图象的下方,
∴ 不等式 $ax+b＜\dfrac{k}{x}$ 的解集为 $x＜-4$ 或
$0＜x＜1$.
(3)设点 C 的坐标为 $(c,\dfrac{4}{c})$,$D(d,0)$.
①以 $AC,BD$ 为对角线,则 $\begin{cases}1+c=-4+d,\\4+\dfrac{4}{c}=-1+0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\dfrac{4}{5},\\d=\dfrac{21}{5},\end{cases}$
∴ $\dfrac{4}{c}=-5$,
∴ $C(-\dfrac{4}{5},-5)$;
②以 $BC,AD$ 为对角线,则 $\begin{cases}-4+c=1+d,\\-1+\dfrac{4}{c}=4+0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=\dfrac{4}{5},\\d=-\dfrac{21}{5},\end{cases}$
∴ $\dfrac{4}{c}=5$,
∴ $C(\dfrac{4}{5},5)$;
③以 $AB,CD$ 为对角线,则 $\begin{cases}1-4=c+d,\\4-1=\dfrac{4}{c}+0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=\dfrac{4}{3},\\d=-\dfrac{13}{3},\end{cases}$
∴ $\dfrac{4}{c}=3$,
∴ $C(\dfrac{4}{3},3)$.
综上,当点 C 的坐标为 $(-\dfrac{4}{5},-5)$ 或 $(\dfrac{4}{5},5)$ 或 $(\dfrac{4}{3},3)$
时,以 $A,B,C,D$ 为顶点的四边形是平行四边形.
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象经过 $A(1,4)$,
∴ $4=$
$\dfrac{k}{1}$,解得 $k=4$,
∴ $y=\dfrac{4}{x}$.把 $B(n,-1)$ 代入 $y=\dfrac{4}{x}$,得 $-1=\dfrac{4}{n}$,
解得 $n=-4$,
∴ $B(-4,-1)$.把 $A(1,4)$,$B(-4,-1)$ 代入 $y=$
$ax+b(a ≠ 0)$,得 $\begin{cases}a+b=4,\\-4a+b=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=3,\end{cases}$
∴ $y=x+3$.
(2)观察图象得当 $x＜-4$ 或 $0＜x＜1$ 时,一次函数的图象在反
比例函数图象的下方,
∴ 不等式 $ax+b＜\dfrac{k}{x}$ 的解集为 $x＜-4$ 或
$0＜x＜1$.
(3)设点 C 的坐标为 $(c,\dfrac{4}{c})$,$D(d,0)$.
①以 $AC,BD$ 为对角线,则 $\begin{cases}1+c=-4+d,\\4+\dfrac{4}{c}=-1+0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\dfrac{4}{5},\\d=\dfrac{21}{5},\end{cases}$
∴ $\dfrac{4}{c}=-5$,
∴ $C(-\dfrac{4}{5},-5)$;
②以 $BC,AD$ 为对角线,则 $\begin{cases}-4+c=1+d,\\-1+\dfrac{4}{c}=4+0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=\dfrac{4}{5},\\d=-\dfrac{21}{5},\end{cases}$
∴ $\dfrac{4}{c}=5$,
∴ $C(\dfrac{4}{5},5)$;
③以 $AB,CD$ 为对角线,则 $\begin{cases}1-4=c+d,\\4-1=\dfrac{4}{c}+0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=\dfrac{4}{3},\\d=-\dfrac{13}{3},\end{cases}$
∴ $\dfrac{4}{c}=3$,
∴ $C(\dfrac{4}{3},3)$.
综上,当点 C 的坐标为 $(-\dfrac{4}{5},-5)$ 或 $(\dfrac{4}{5},5)$ 或 $(\dfrac{4}{3},3)$
时,以 $A,B,C,D$ 为顶点的四边形是平行四边形.
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问利用待定系数法：先将点A代入反比例函数求出k，得到反比例函数表达式；再把点B代入反比例函数求出B点坐标；最后将A、B两点代入一次函数，解方程组得到一次函数表达式。
2. 第(2)问结合函数图象：不等式$ax+b＜\dfrac{k}{x}$的解集是一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合两交点横坐标即可得出。
3. 第(3)问利用平行四边形对角线互相平分的性质：分三种情况讨论对角线，设出点C、D的坐标，根据中点坐标公式列方程组求解，得到点C的坐标。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过$A(1,4)$，
∴ 将$A(1,4)$代入得$4=\dfrac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴ 反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
求点B坐标：
∵ 点$B(n,-1)$在$y=\dfrac{4}{x}$上，
∴ $-1=\dfrac{4}{n}$，解得$n=-4$，即$B(-4,-1)$。
求一次函数表达式：
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}a+b=4\\-4a+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=3\end{cases}$，
∴ 一次函数表达式为$y=x+3$。
(2) 观察函数图象，一次函数与反比例函数交于$A(1,4)$和$B(-4,-1)$，当$x＜-4$或$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴ 不等式$ax+b＜\dfrac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$。
(3) 设点$C$的坐标为$(c,\dfrac{4}{c})$，点$D$的坐标为$(d,0)$，分三种情况讨论：
① 以$AC,BD$为对角线，根据平行四边形对角线中点重合，得：
$\begin{cases}\dfrac{1+c}{2}=\dfrac{-4+d}{2}\\\dfrac{4+\dfrac{4}{c}}{2}=\dfrac{-1+0}{2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}1+c=-4+d\\4+\dfrac{4}{c}=-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}c=-\dfrac{4}{5}\\d=\dfrac{21}{5}\end{cases}$，
∴ $\dfrac{4}{c}=-5$，即$C(-\dfrac{4}{5},-5)$；
② 以$BC,AD$为对角线，同理得：
$\begin{cases}\dfrac{-4+c}{2}=\dfrac{1+d}{2}\\\dfrac{-1+\dfrac{4}{c}}{2}=\dfrac{4+0}{2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}-4+c=1+d\\-1+\dfrac{4}{c}=4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}c=\dfrac{4}{5}\\d=-\dfrac{21}{5}\end{cases}$，
∴ $\dfrac{4}{c}=5$，即$C(\dfrac{4}{5},5)$；
③ 以$AB,CD$为对角线，同理得：
$\begin{cases}\dfrac{1-4}{2}=\dfrac{c+d}{2}\\\dfrac{4-1}{2}=\dfrac{\dfrac{4}{c}+0}{2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}c+d=-3\\\dfrac{4}{c}=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}c=\dfrac{4}{3}\\d=-\dfrac{13}{3}\end{cases}$，
∴ $\dfrac{4}{c}=3$，即$C(\dfrac{4}{3},3)$；
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$，一次函数表达式为$y=x+3$；
(2) 解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$；
(3) 点$C$的坐标为$(-\dfrac{4}{5},-5)$、$(\dfrac{4}{5},5)$、$(\dfrac{4}{3},3)$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、平行四边形性质
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法、函数图象解不等式、平行四边形性质，解题时需分类讨论对角线情况，避免漏解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问利用待定系数法：先将点A代入反比例函数求出k，得到反比例函数表达式；再把点B代入反比例函数求出B点坐标；最后将A、B两点代入一次函数，解方程组得到一次函数表达式。
2. 第(2)问结合函数图象：不等式$ax+b＜\dfrac{k}{x}$的解集是一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合两交点横坐标即可得出。
3. 第(3)问利用平行四边形对角线互相平分的性质：分三种情况讨论对角线，设出点C、D的坐标，根据中点坐标公式列方程组求解，得到点C的坐标。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过$A(1,4)$，
∴ 将$A(1,4)$代入得$4=\dfrac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴ 反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
求点B坐标：
∵ 点$B(n,-1)$在$y=\dfrac{4}{x}$上，
∴ $-1=\dfrac{4}{n}$，解得$n=-4$，即$B(-4,-1)$。
求一次函数表达式：
将$A(1,4)$、$B(-4,-1)$代入$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}a+b=4\\-4a+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=3\end{cases}$，
∴ 一次函数表达式为$y=x+3$。
(2) 观察函数图象，一次函数与反比例函数交于$A(1,4)$和$B(-4,-1)$，当$x＜-4$或$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴ 不等式$ax+b＜\dfrac{k}{x}$的解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$。
(3) 设点$C$的坐标为$(c,\dfrac{4}{c})$，点$D$的坐标为$(d,0)$，分三种情况讨论：
① 以$AC,BD$为对角线，根据平行四边形对角线中点重合，得：
$\begin{cases}\dfrac{1+c}{2}=\dfrac{-4+d}{2}\\\dfrac{4+\dfrac{4}{c}}{2}=\dfrac{-1+0}{2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}1+c=-4+d\\4+\dfrac{4}{c}=-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}c=-\dfrac{4}{5}\\d=\dfrac{21}{5}\end{cases}$，
∴ $\dfrac{4}{c}=-5$，即$C(-\dfrac{4}{5},-5)$；
② 以$BC,AD$为对角线，同理得：
$\begin{cases}\dfrac{-4+c}{2}=\dfrac{1+d}{2}\\\dfrac{-1+\dfrac{4}{c}}{2}=\dfrac{4+0}{2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}-4+c=1+d\\-1+\dfrac{4}{c}=4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}c=\dfrac{4}{5}\\d=-\dfrac{21}{5}\end{cases}$，
∴ $\dfrac{4}{c}=5$，即$C(\dfrac{4}{5},5)$；
③ 以$AB,CD$为对角线，同理得：
$\begin{cases}\dfrac{1-4}{2}=\dfrac{c+d}{2}\\\dfrac{4-1}{2}=\dfrac{\dfrac{4}{c}+0}{2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}c+d=-3\\\dfrac{4}{c}=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}c=\dfrac{4}{3}\\d=-\dfrac{13}{3}\end{cases}$，
∴ $\dfrac{4}{c}=3$，即$C(\dfrac{4}{3},3)$；
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$，一次函数表达式为$y=x+3$；
(2) 解集为$x＜-4$或$0＜x＜1$；
(3) 点$C$的坐标为$(-\dfrac{4}{5},-5)$、$(\dfrac{4}{5},5)$、$(\dfrac{4}{3},3)$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、平行四边形性质
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法、函数图象解不等式、平行四边形性质，解题时需分类讨论对角线情况，避免漏解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
