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1 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是
（
A.等腰三角形的两底角相等
B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合
C.等腰三角形底边上的高是它的对称轴
D.等腰三角形是轴对称图形
（
C
）A.等腰三角形的两底角相等
B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合
C.等腰三角形底边上的高是它的对称轴
D.等腰三角形是轴对称图形
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，解题思路是：先回忆等腰三角形的相关性质，再逐一分析每个选项的叙述是否正确，重点注意对称轴的概念（对称轴是直线，不是线段），从而找出错误的选项。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：等腰三角形的基本性质是两底角相等，该叙述正确；
选项B：等腰三角形具有“三线合一”的性质，即底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，该叙述正确；
选项C：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，而底边上的高是线段，并非直线，因此该叙述错误；
选项D：等腰三角形沿底边上的高所在直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以等腰三角形是轴对称图形，该叙述正确。
综上，叙述错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、轴对称图形
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础考查题，核心是区分等腰三角形的“三线合一”性质与对称轴的概念，易错点在于将线段（高）与直线（对称轴）混淆，需要学生准确掌握相关定义。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的性质，解题思路是：先回忆等腰三角形的相关性质，再逐一分析每个选项的叙述是否正确，重点注意对称轴的概念（对称轴是直线，不是线段），从而找出错误的选项。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：等腰三角形的基本性质是两底角相等，该叙述正确；
选项B：等腰三角形具有“三线合一”的性质，即底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，该叙述正确；
选项C：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，而底边上的高是线段，并非直线，因此该叙述错误；
选项D：等腰三角形沿底边上的高所在直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以等腰三角形是轴对称图形，该叙述正确。
综上，叙述错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、轴对称图形
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础考查题，核心是区分等腰三角形的“三线合一”性质与对称轴的概念，易错点在于将线段（高）与直线（对称轴）混淆，需要学生准确掌握相关定义。
【难度系数】
0.7
2 教材 P84 习题 15.3 第 6 题变式 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AC$的垂直平分线$l$交$BC$于点$D$,连接$AD$.若$∠ DAC=37°$,则$∠ B$的度数是（
A.$37°$
B.$30°$
C.$28°$
D.$26°$
A
）A.$37°$
B.$30°$
C.$28°$
D.$26°$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决本题，需先利用线段垂直平分线的性质得到角的关系，再结合等腰三角形的性质推导∠B的度数：首先，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，据此得到AD=CD，进而得出∠DAC=∠C；再根据AB=AC，利用等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠B。
【解析】
1. 因为直线l是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点D在l上，所以AD=CD，△ADC为等腰三角形，因此∠DAC=∠C。
2. 已知∠DAC=37°，所以∠C=37°。
3. 在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等，可知∠B=∠C。
4. 因此∠B=∠C=37°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查线段垂直平分线和等腰三角形的性质，只要牢记相关性质就能快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先利用线段垂直平分线的性质得到角的关系，再结合等腰三角形的性质推导∠B的度数：首先，线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，据此得到AD=CD，进而得出∠DAC=∠C；再根据AB=AC，利用等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠B。
【解析】
1. 因为直线l是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点D在l上，所以AD=CD，△ADC为等腰三角形，因此∠DAC=∠C。
2. 已知∠DAC=37°，所以∠C=37°。
3. 在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等，可知∠B=∠C。
4. 因此∠B=∠C=37°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查线段垂直平分线和等腰三角形的性质，只要牢记相关性质就能快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.7
3 [2025 海门期末]已知等腰三角形的一个角是$100^{\circ }$,则它的底角是（
A.$40^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$40^{\circ }$或$100^{\circ }$
D.$40^{\circ }$或$80^{\circ }$
A
）A.$40^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$40^{\circ }$或$100^{\circ }$
D.$40^{\circ }$或$80^{\circ }$
答案
3. A
解析
【分析】要解决这个问题，需结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理。首先判断已知的100°角是顶角还是底角：若100°为底角，两个底角之和会超过180°，不符合三角形内角和，因此100°只能是顶角，再计算底角即可。
【解析】根据等腰三角形的性质，两底角相等，且三角形内角和为180°。
假设100°的角为底角，则两个底角的和为100°×2=200°＞180°，不满足三角形内角和定理，因此该角只能是顶角。
所以底角的度数为：(180°−100°)÷2=40°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查等腰三角形与三角形内角和的综合应用，易错点在于忽略“100°不能为底角”的限制，需先判断已知角的类型再计算，属于基础但易出错的题目。
【难度系数】0.6
【解析】根据等腰三角形的性质，两底角相等，且三角形内角和为180°。
假设100°的角为底角，则两个底角的和为100°×2=200°＞180°，不满足三角形内角和定理，因此该角只能是顶角。
所以底角的度数为：(180°−100°)÷2=40°，对应选项A。
【答案】A
【知识点】等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查等腰三角形与三角形内角和的综合应用，易错点在于忽略“100°不能为底角”的限制，需先判断已知角的类型再计算，属于基础但易出错的题目。
【难度系数】0.6
4（易错题）已知等腰三角形的一个内角为$70^{\circ }$，则顶角的邻补角为（
A.$110^{\circ }$
B.$140^{\circ }$
C.$110^{\circ }$或$140^{\circ }$
D.$70^{\circ }$或$40^{\circ }$
C
）A.$110^{\circ }$
B.$140^{\circ }$
C.$110^{\circ }$或$140^{\circ }$
D.$70^{\circ }$或$40^{\circ }$
答案
4. C
易错分析：已知等腰三角形的一个内角是小于$90°$的角,这个角可能是顶角,也可能是底角,忘记分类讨论致错.
易错分析：已知等腰三角形的一个内角是小于$90°$的角,这个角可能是顶角,也可能是底角,忘记分类讨论致错.
解析
【分析】
要解决这道题，需注意等腰三角形的内角分为顶角和底角，题目仅给出一个内角为70°，未明确该角类型，因此要分两种情况讨论：先确定顶角的度数，再根据邻补角的定义（两角和为180°）计算顶角的邻补角，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若70°的角为等腰三角形的顶角，则顶角为70°，根据邻补角定义，顶角的邻补角为：180° - 70° = 110°；
2. 若70°的角为等腰三角形的底角，因等腰三角形两底角相等，故两个底角均为70°，根据三角形内角和为180°，顶角为：180° - 70°×2 = 40°，则顶角的邻补角为：180° - 40° = 140°；
综上，顶角的邻补角为110°或140°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、邻补角定义、三角形内角和定理
【点评】
本题为易错题，核心考查分类讨论思想，学生易忽略“70°角可能是底角”的情况，仅计算一种结果导致错解，需注意等腰三角形已知内角未明确类型时，必须分情况讨论。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，需注意等腰三角形的内角分为顶角和底角，题目仅给出一个内角为70°，未明确该角类型，因此要分两种情况讨论：先确定顶角的度数，再根据邻补角的定义（两角和为180°）计算顶角的邻补角，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若70°的角为等腰三角形的顶角，则顶角为70°，根据邻补角定义，顶角的邻补角为：180° - 70° = 110°；
2. 若70°的角为等腰三角形的底角，因等腰三角形两底角相等，故两个底角均为70°，根据三角形内角和为180°，顶角为：180° - 70°×2 = 40°，则顶角的邻补角为：180° - 40° = 140°；
综上，顶角的邻补角为110°或140°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、邻补角定义、三角形内角和定理
【点评】
本题为易错题，核心考查分类讨论思想，学生易忽略“70°角可能是底角”的情况，仅计算一种结果导致错解，需注意等腰三角形已知内角未明确类型时，必须分情况讨论。
【难度系数】
0.4
5 [2026 海安期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AD=DC$,$∠ BAD=20^{ \circ }$,则$∠ C$的度数为
$40°$
.答案
5. $40°$
解析
【分析】
本题是等腰三角形角度计算问题，解题思路：先利用AB=AD，求出△ABD中∠ADB的度数；再根据三角形外角性质，∠ADB是△ADC的外角，等于∠C+∠DAC；最后结合AD=DC，得∠C=∠DAC，进而算出∠C的度数。
【解析】
1. 在△ABD中，
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，顶角∠BAD=20°。根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180°，得：
∠ADB=(180°−∠BAD)÷2=(180°−20°)÷2=80°。
2.
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两内角和，得：
∠ADB=∠C+∠DAC。
3. 又
∵AD=DC，
∴△ADC是等腰三角形，∠C=∠DAC。
4. 因此∠ADB=2∠C，即∠C=∠ADB÷2=80°÷2=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质与三角形外角性质的综合应用，属于基础几何题，需熟练掌握相关性质即可解题。
【难度系数】
0.5
本题是等腰三角形角度计算问题，解题思路：先利用AB=AD，求出△ABD中∠ADB的度数；再根据三角形外角性质，∠ADB是△ADC的外角，等于∠C+∠DAC；最后结合AD=DC，得∠C=∠DAC，进而算出∠C的度数。
【解析】
1. 在△ABD中，
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，顶角∠BAD=20°。根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为180°，得：
∠ADB=(180°−∠BAD)÷2=(180°−20°)÷2=80°。
2.
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两内角和，得：
∠ADB=∠C+∠DAC。
3. 又
∵AD=DC，
∴△ADC是等腰三角形，∠C=∠DAC。
4. 因此∠ADB=2∠C，即∠C=∠ADB÷2=80°÷2=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质与三角形外角性质的综合应用，属于基础几何题，需熟练掌握相关性质即可解题。
【难度系数】
0.5
6 一题多解 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AD 是边 BC 上的中线.求证:$AD ⊥ BC$.
答案
解法一:$\because AD$ 是边 $BC$ 上的中线, $\therefore BD=CD$. 在$△ ABD$和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ABD ≌ △ ACD. \therefore ∠ ADB = ∠ ADC = \dfrac{180°}{2}=90°. \therefore AD ⊥ BC$
解法二:$\because AB=AC$,且 $AD$ 是边 $BC$ 上的中线, $\therefore AD ⊥ BC$
解法二:$\because AB=AC$,且 $AD$ 是边 $BC$ 上的中线, $\therefore AD ⊥ BC$
解析
【分析】要证明$AD⊥BC$，核心是证明$∠ ADB=90°$。思路一：通过证明$△ ABD$和$△ ACD$全等，得到对应角$∠ ADB=∠ ADC$，结合邻补角和为$180°$，推出$∠ ADB=90°$；思路二：利用等腰三角形“三线合一”的性质，直接由等腰三角形底边上的中线垂直于底边得出结论。
【解析】
解法一：
∵ $AD$是$BC$边上的中线，
∴ $BD=CD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS）。
∴ $∠ ADB=∠ ADC$。
又
∵ $∠ ADB+∠ ADC=180°$，
∴ $∠ ADB=∠ ADC=90°$，
∴ $AD⊥BC$。
解法二：
∵ 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，
∴ $AD⊥BC$。
【答案】$AD⊥BC$，证明过程如上。
【知识点】等腰三角形性质，全等三角形判定
【点评】本题是几何证明的基础题型，一题多解，既可以通过全等三角形知识推导，也可直接运用等腰三角形核心性质，帮助学生巩固几何证明的常用思路，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
解法一：
∵ $AD$是$BC$边上的中线，
∴ $BD=CD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS）。
∴ $∠ ADB=∠ ADC$。
又
∵ $∠ ADB+∠ ADC=180°$，
∴ $∠ ADB=∠ ADC=90°$，
∴ $AD⊥BC$。
解法二：
∵ 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，
∴ $AD⊥BC$。
【答案】$AD⊥BC$，证明过程如上。
【知识点】等腰三角形性质，全等三角形判定
【点评】本题是几何证明的基础题型，一题多解，既可以通过全等三角形知识推导，也可直接运用等腰三角形核心性质，帮助学生巩固几何证明的常用思路，难度适中。
【难度系数】0.6
7 已知$△ ABC$的周长是$36\ \mathrm{cm}$,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$△ ABD$的周长是$30\ \mathrm{cm}$,则$AD$的长是（
A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$12\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$
C
）A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$12\ \mathrm{cm}$
D.$20\ \mathrm{cm}$
答案
7. C
解析
【分析】本题需利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合两个三角形的周长关系求解AD的长度。首先，由AB=AC、AD⊥BC，可知AD是BC的中线，即BD=DC；再通过△ABC的周长推导出AB与BD的和，最后结合△ABD的周长计算AD。
【解析】解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC（等腰三角形三线合一）。
∵△ABC的周长为36cm，即AB+AC+BC=36cm，
又AB=AC，BC=2BD，
∴2AB + 2BD=36cm，化简得AB + BD=18cm。
∵△ABD的周长为30cm，即AB + BD + AD=30cm，
∴AD=30cm - (AB + BD)=30 - 18=12cm。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质，三角形周长计算
【点评】本题核心是运用等腰三角形三线合一的性质转化边长，再结合周长公式建立数量关系，解题思路清晰，属于基础几何计算题。
【难度系数】0.5
【解析】解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC（等腰三角形三线合一）。
∵△ABC的周长为36cm，即AB+AC+BC=36cm，
又AB=AC，BC=2BD，
∴2AB + 2BD=36cm，化简得AB + BD=18cm。
∵△ABD的周长为30cm，即AB + BD + AD=30cm，
∴AD=30cm - (AB + BD)=30 - 18=12cm。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质，三角形周长计算
【点评】本题核心是运用等腰三角形三线合一的性质转化边长，再结合周长公式建立数量关系，解题思路清晰，属于基础几何计算题。
【难度系数】0.5
