13 已知$(2x+3)^{0}=1$,则$x$的取值范围是.

13. $x≠-\dfrac{3}{2}$

【分析】要确定使$(2x+3)^0=1$成立的$x$的范围，需依据零指数幂的定义：任意非零数的0次幂等于1，即$a^0=1$的前提是底数$a≠0$。因此只需保证原式的底数$2x+3≠0$，解此不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据零指数幂的定义，若$a^0=1$，则$a≠0$。对于$(2x+3)^0=1$，令底数$2x+3≠0$，解不等式得：$2x≠-3$，即$x≠-\dfrac{3}{2}$。
【答案】$x≠-\dfrac{3}{2}$
【知识点】零指数幂的定义、一元一次不等式的求解
【点评】本题考查零指数幂的基本性质，属于基础题型，核心是牢记零指数幂中底数不能为0的隐含条件，难度较低，适合巩固基础概念。
【难度系数】0.2

14 已知$m^{2}+n^{2}+10=6m-2n$,则$m-n=$.

14. 4

【分析】
要解决这个问题，需先移项整理等式，再通过完全平方公式配方，结合平方数的非负性求出m、n的值，最后代入计算m-n。
【解析】
对已知等式移项，将所有项移到左边：
$m^2 + n^2 +10 -6m +2n =0$
分组配方，利用完全平方公式变形：
$m^2 -6m +9 +n^2 +2n +1 =0$
即$(m-3)^2 + (n+1)^2 =0$
因为平方数具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此：
$m-3=0$，解得$m=3$；
$n+1=0$，解得$n=-1$；
则$m-n=3 - (-1)=4$。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题通过配方法将二次式转化为平方和形式，利用非负数性质求解参数，是代数基础题型，考察公式的灵活应用。
【难度系数】
0.6

15 [2025 如东期末改编]已知$(x-a)(x-b)=x^{2}-6mx+9m^{2}-4$,其中$a＞b$.
(1)$a+b=$,$ab=$;(用含$m$的式子表示)
(2) 求 $a-b$ 的值.

15. (1) $6m$ $9m^{2}-4$ 【解析】$(x-a)(x-b)=x^{2}-bx-ax+ab=x^{2}-(a+b)x+ab. \because (x-a)(x-b)=x^{2}-6mx+9m^{2}-4,\therefore a+b=6m,ab=9m^{2}-4.$
(2) 由(1),可知 $a+b=6m,ab=9m^{2}-4,\therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(6m)^{2}-2(9m^{2}-4)=36m^{2}-18m^{2}+8=18m^{2}+8.$
$\therefore (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=18m^{2}+8-2(9m^{2}-4)=18m^{2}+8-18m^{2}+8=16. \because a＞b,\therefore a-b=4$

【分析】
首先，第(1)问利用多项式乘多项式法则展开左边式子，再与右边多项式对比同类项系数，即可求出$a+b$和$ab$；第(2)问结合第(1)问的结果，利用完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$计算$(a-b)^2$，再根据$a＞b$的条件确定$a-b$的取值。
【解析】
(1) 展开左边多项式：
$(x-a)(x-b)=x^2 - bx - ax + ab = x^2 - (a+b)x + ab$
因为等式两边多项式相等，对应同类项系数相等，所以：
$a+b=6m$，$ab=9m^2 -4$。
(2) 根据完全平方公式变形：
$(a-b)^2=(a+b)^2 - 4ab$
将$a+b=6m$，$ab=9m^2 -4$代入得：
$(a-b)^2=(6m)^2 - 4×(9m^2 -4)=36m^2 - 36m^2 +16=16$
因为$a＞b$，所以$a-b＞0$，故$a-b=\sqrt{16}=4$。
【答案】
(1) $6m$，$9m^2 -4$；(2) $4$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式
【点评】
本题考查多项式乘法展开法则和完全平方公式的灵活应用，核心是利用多项式相等的条件对应系数，以及通过公式变形求代数式的值，需熟练掌握公式结构和运算规则。
【难度系数】
0.5

16 新情境 数学文化 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例. 如图，这个三角形的构造法则为两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了$(a+b)^{n}$（$n$ 为正整数）的展开式（按 $a$ 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 例如：在“杨辉三角”中，第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 $(a+b)^{2}$ 的展开式 $a^{2}+2ab+b^{2}$ 中的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应 $(a+b)^{3}$ 的展开式 $a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ 中的系数.

（1）$(a+b)^{4}$ 的展开式共有项，第三项是；
（2）直接写出 $(a+b)^{5}$ 的展开式；
（3）利用上面的规律计算：$2^{6}+6×2^{5}×(-\dfrac{1}{2})+15×2^{4}×(-\dfrac{1}{2})^{2}+20×2^{3}×(-\dfrac{1}{2})^{3}+15×2^{2}×(-\dfrac{1}{2})^{4}+6×2×(-\dfrac{1}{2})^{5}+(-\dfrac{1}{2})^{6}-1.$

16. (1) 5 $6a^{2}b^{2}$ (2) $(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$ (3) 由“杨辉三角”可知, 原式 $=(2-\dfrac{1}{2})^{6}-1=(\dfrac{3}{2})^{6}-1=\dfrac{665}{64}$

【分析】
本题考查杨辉三角与二项式展开的关系，解题思路为：明确$(a+b)^n$的展开式系数对应杨辉三角第$(n+1)$行的数，展开式共$(n+1)$项，按$a$降幂、$b$升幂排列；根据该规律解决展开式项数、系数及代数式求值问题。
【解析】
（1）根据杨辉三角规律，$(a+b)^n$的展开式有$(n+1)$项，对应杨辉三角第$(n+1)$行的系数。当$n=4$时，项数为$4+1=5$；第5行系数为$1,4,6,4,1$，按$a$降幂排列，第三项为$a^{4-2}b^2$，系数为6，故第三项是$6a^2b^2$。
（2）当$n=5$时，对应杨辉三角第6行系数为$1,5,10,10,5,1$，因此$(a+b)^5$的展开式为：$a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$。
（3）观察原式，各项系数为$1,6,15,20,15,6,1$，对应$(a+b)^6$的展开式系数，其中$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$，则原式$=(2-\frac{1}{2})^6 -1$。计算得：$(2-\frac{1}{2})^6=(\frac{3}{2})^6=\frac{729}{64}$，故原式$=\frac{729}{64}-1=\frac{665}{64}$。
【答案】
(1) $5$；$6a^2b^2$ (2) $a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$ (3) $\frac{665}{64}$
【知识点】
二项式定理，杨辉三角，代数式运算
【点评】
本题以古代数学文化“杨辉三角”为背景，考查二项式展开的系数规律及应用，需理解杨辉三角与二项式系数的对应关系，难度适中，注重规律的迁移应用。
【难度系数】
0.6