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11 有下列各数：$+8, +\dfrac{3}{4}, -7.5\%, \dfrac{22}{7}, 9.\dot{8}, -2\dfrac{1}{5}, 1, 0.275.$ 其中，整数有$a$个，负数有$b$个，正数有$c$个，则$a - b + c$的值为
6
。答案
11. 6
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数中整数、负数、正数的定义，先逐个判断给出的数所属类别，分别统计出整数的个数$a$、负数的个数$b$、正数的个数$c$，最后代入式子$a-b+c$计算即可。其中整数包括正整数、0、负整数；负数是小于0的数，正数是大于0的数，本题没有0，无需额外判断0的归属。
【解析】
1. 统计整数的个数：
给出的数中，整数为$+8$、$1$，共2个，因此$a=2$。
2. 统计负数的个数：
小于0的数为负数，符合的有$-7.5\%$、$-2\dfrac{1}{5}$，共2个，因此$b=2$。
3. 统计正数的个数：
大于0的数为正数，符合的有$+8$、$+\dfrac{3}{4}$、$\dfrac{22}{7}$、$9.\dot{8}$、$1$、$0.275$，共6个，因此$c=6$。
4. 代入计算：
$a-b+c=2-2+6=6$。
【答案】
6
【知识点】
有理数的分类；整数的概念；正负数的识别
【点评】
本题属于有理数分类的基础题型，解题的核心是准确掌握不同类型数的定义，注意百分数、循环小数、带分数都属于分数范畴，不要误判为整数，统计个数时避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确有理数中整数、负数、正数的定义，先逐个判断给出的数所属类别，分别统计出整数的个数$a$、负数的个数$b$、正数的个数$c$，最后代入式子$a-b+c$计算即可。其中整数包括正整数、0、负整数；负数是小于0的数，正数是大于0的数，本题没有0，无需额外判断0的归属。
【解析】
1. 统计整数的个数：
给出的数中，整数为$+8$、$1$，共2个，因此$a=2$。
2. 统计负数的个数：
小于0的数为负数，符合的有$-7.5\%$、$-2\dfrac{1}{5}$，共2个，因此$b=2$。
3. 统计正数的个数：
大于0的数为正数，符合的有$+8$、$+\dfrac{3}{4}$、$\dfrac{22}{7}$、$9.\dot{8}$、$1$、$0.275$，共6个，因此$c=6$。
4. 代入计算：
$a-b+c=2-2+6=6$。
【答案】
6
【知识点】
有理数的分类；整数的概念；正负数的识别
【点评】
本题属于有理数分类的基础题型，解题的核心是准确掌握不同类型数的定义，注意百分数、循环小数、带分数都属于分数范畴，不要误判为整数，统计个数时避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8
12 先找规律,再填数:$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2},\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12},\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30},\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56},\dots$,则
$\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}-\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2025×2026}.$
$\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}-\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2025×2026}.$
答案
12. $\dfrac{1}{1013}$
【解析】通过观察可知,每个等式左边前面的两个分数的分母为两个连续的正整数,第三个分数为第二个分数的2倍,等式右边为等式左边前面两个分数的乘积.由此可知,
$\dfrac{1}{2025}+\dfrac{1}{2026}-\dfrac{1}{1013}=\dfrac{1}{2025×2026}.$
【解析】通过观察可知,每个等式左边前面的两个分数的分母为两个连续的正整数,第三个分数为第二个分数的2倍,等式右边为等式左边前面两个分数的乘积.由此可知,
$\dfrac{1}{2025}+\dfrac{1}{2026}-\dfrac{1}{1013}=\dfrac{1}{2025×2026}.$
解析
【分析】
我们先观察给出的几个已知等式，逐步拆解结构找共性：首先每个等式都是“两个连续正整数为分母的分数相加，再减去一个分数，结果等于前两个分数分母乘积为分母的分数”；再对比减数的分母和第二个分数的分母，可发现减数的分母恰好是第二个分数分母的一半。要填出横线处的数，只需要用第二个分数的分母2026除以2，就能得到减数的分母，进而得出结果。
【解析】
观察已知等式可总结规律：每个等式中，左边第三个减数的分母等于第二个分数分母的$\frac{1}{2}$。
题中式子的第二个分数分母为2026，因此减数的分母为$2026÷2=1013$，即横线处应填$\frac{1}{1013}$。
验证：$\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}-\frac{1}{1013}=\frac{2026+2025}{2025×2026}-\frac{4050}{2025×2026}=\frac{1}{2025×2026}$，符合等式要求。
【答案】
$\dfrac{1}{1013}$
【知识点】
规律探究，分数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察、归纳的能力，只要细心对比已知等式各部分的关联，就能快速找到规律求解。
【难度系数】
0.7
我们先观察给出的几个已知等式，逐步拆解结构找共性：首先每个等式都是“两个连续正整数为分母的分数相加，再减去一个分数，结果等于前两个分数分母乘积为分母的分数”；再对比减数的分母和第二个分数的分母，可发现减数的分母恰好是第二个分数分母的一半。要填出横线处的数，只需要用第二个分数的分母2026除以2，就能得到减数的分母，进而得出结果。
【解析】
观察已知等式可总结规律：每个等式中，左边第三个减数的分母等于第二个分数分母的$\frac{1}{2}$。
题中式子的第二个分数分母为2026，因此减数的分母为$2026÷2=1013$，即横线处应填$\frac{1}{1013}$。
验证：$\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}-\frac{1}{1013}=\frac{2026+2025}{2025×2026}-\frac{4050}{2025×2026}=\frac{1}{2025×2026}$，符合等式要求。
【答案】
$\dfrac{1}{1013}$
【知识点】
规律探究，分数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察、归纳的能力，只要细心对比已知等式各部分的关联，就能快速找到规律求解。
【难度系数】
0.7
13 在某班举行的“数学晚会”上，A，B，C，D，E 五名同学的手上各拿着一张卡片，卡片上分别写着$2,-\frac{1}{2},0,-3,\frac{1}{6}$. 主持人按照卡片上的这些数的特征，将这五名同学分成两组或者三组来表演节目（每组人数不限）. 如果让你来分，你会如何分组呢？
答案
13. 答案不唯一,如按正数、非正数分成两组,分别是$2,\dfrac{1}{6}$和$-\dfrac{1}{2},0,-3$
解析
【分析】
本题为开放性分类题，核心是依据有理数的相关特征确定统一的分类标准，再按照标准对5个数进行分组即可。首先回忆有理数的常见分类依据：可按正负性分为正数、0、负数，也可按数的形式分为整数、分数，还可简化分为正数和非正数、负数和非负数等。确定好一个统一的分类标准后，依次判断每个数所属的类别，保证分组不重复、不遗漏就符合要求。
【解析】
我们可以选择按“正数、非正数”的标准分组：
1. 明确正数定义：大于0的数是正数，观察五个数可知$2＞0$，$\frac{1}{6}＞0$，因此正数组的数为$2,\frac{1}{6}$；
2. 明确非正数定义：小于或等于0的数是非正数，观察剩余数可知$-\frac{1}{2}＜0$，$0=0$，$-3＜0$，因此非正数组的数为$-\frac{1}{2},0,-3$。
*也可选择其他分类标准，如按整数、分数分组：整数有$2,0,-3$，分数有$-\frac{1}{2},\frac{1}{6}$，只要分类标准统一均正确。
【答案】
答案不唯一,如按正数、非正数分成两组,分别是$2,\dfrac{1}{6}$和$-\dfrac{1}{2},0,-3$
【知识点】
有理数的分类；正负数的识别
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对有理数分类规则的掌握，只要分类标准统一，分组无重复无遗漏即可，答案不唯一，灵活性较强。
【难度系数】
0.9
本题为开放性分类题，核心是依据有理数的相关特征确定统一的分类标准，再按照标准对5个数进行分组即可。首先回忆有理数的常见分类依据：可按正负性分为正数、0、负数，也可按数的形式分为整数、分数，还可简化分为正数和非正数、负数和非负数等。确定好一个统一的分类标准后，依次判断每个数所属的类别，保证分组不重复、不遗漏就符合要求。
【解析】
我们可以选择按“正数、非正数”的标准分组：
1. 明确正数定义：大于0的数是正数，观察五个数可知$2＞0$，$\frac{1}{6}＞0$，因此正数组的数为$2,\frac{1}{6}$；
2. 明确非正数定义：小于或等于0的数是非正数，观察剩余数可知$-\frac{1}{2}＜0$，$0=0$，$-3＜0$，因此非正数组的数为$-\frac{1}{2},0,-3$。
*也可选择其他分类标准，如按整数、分数分组：整数有$2,0,-3$，分数有$-\frac{1}{2},\frac{1}{6}$，只要分类标准统一均正确。
【答案】
答案不唯一,如按正数、非正数分成两组,分别是$2,\dfrac{1}{6}$和$-\dfrac{1}{2},0,-3$
【知识点】
有理数的分类；正负数的识别
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对有理数分类规则的掌握，只要分类标准统一，分组无重复无遗漏即可，答案不唯一，灵活性较强。
【难度系数】
0.9
14 观察下列各数：$\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{4}{5}, \frac{1}{6}, -\frac{6}{7}, ···$. 请你找出其中的规律，并解答问题：
（1）第9个数是
（2）第2025个数是多少？
（1）第9个数是
$\dfrac{1}{10}$
，第14个数是$-\dfrac{14}{15}$
；（2）第2025个数是多少？
答案
14. (1) $\dfrac{1}{10}$ $-\dfrac{14}{15}$ (2) $\dfrac{1}{2026}$
解析
【分析】
要解决这类数列规律题，我们可以把每一项拆成符号、分子、分母三部分分别找规律：
1. 先对比前几项的特征：第1、3、5等奇数项都是正数，第2、4、6等偶数项都是负数；
2. 看分母：第1项分母是2=1+1，第2项分母是3=2+1，第3项分母是4=3+1，可得第n项的分母是n+1；
3. 看分子：奇数项的分子都是1，偶数项的分子和项数相等。
找到规律后，只要判断所求项的项数是奇数还是偶数，就可以对应写出数值。
【解析】
我们先总结数列的规律：对于第n个数：
① 符号：n为奇数时是正号，n为偶数时是负号；
② 分母：始终为n+1；
③ 分子：n为奇数时是1，n为偶数时等于n。
（1）求第9个数：
9是奇数，所以符号为正，分子是1，分母=9+1=10，即第9个数是$\frac{1}{10}$；
求第14个数：
14是偶数，所以符号为负，分子是14，分母=14+1=15，即第14个数是$-\frac{14}{15}$。
（2）求第2025个数：
2025是奇数，所以符号为正，分子是1，分母=2025+1=2026，即第2025个数是$\frac{1}{2026}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{10}$，$-\dfrac{14}{15}$；(2) $\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
数字类规律探究，有理数的概念
【点评】
本题属于基础的数列规律探究题，拆分组成要素分别找规律是解决这类问题的常用思路，熟练掌握该方法可以快速处理同类找规律问题。
【难度系数】
0.7
要解决这类数列规律题，我们可以把每一项拆成符号、分子、分母三部分分别找规律：
1. 先对比前几项的特征：第1、3、5等奇数项都是正数，第2、4、6等偶数项都是负数；
2. 看分母：第1项分母是2=1+1，第2项分母是3=2+1，第3项分母是4=3+1，可得第n项的分母是n+1；
3. 看分子：奇数项的分子都是1，偶数项的分子和项数相等。
找到规律后，只要判断所求项的项数是奇数还是偶数，就可以对应写出数值。
【解析】
我们先总结数列的规律：对于第n个数：
① 符号：n为奇数时是正号，n为偶数时是负号；
② 分母：始终为n+1；
③ 分子：n为奇数时是1，n为偶数时等于n。
（1）求第9个数：
9是奇数，所以符号为正，分子是1，分母=9+1=10，即第9个数是$\frac{1}{10}$；
求第14个数：
14是偶数，所以符号为负，分子是14，分母=14+1=15，即第14个数是$-\frac{14}{15}$。
（2）求第2025个数：
2025是奇数，所以符号为正，分子是1，分母=2025+1=2026，即第2025个数是$\frac{1}{2026}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{10}$，$-\dfrac{14}{15}$；(2) $\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
数字类规律探究，有理数的概念
【点评】
本题属于基础的数列规律探究题，拆分组成要素分别找规律是解决这类问题的常用思路，熟练掌握该方法可以快速处理同类找规律问题。
【难度系数】
0.7
15 将一串有理数按如图所示的规律排列，解答下列问题：
（1）在A位置上的数是正数还是负数？
（2）A,B,C,D中哪些位置上的数是负数？
（3）第2025个数是正数还是负数？对应A,B,C,D中的哪个位置？
（1）在A位置上的数是正数还是负数？
（2）A,B,C,D中哪些位置上的数是负数？
（3）第2025个数是正数还是负数？对应A,B,C,D中的哪个位置？
答案
15. (1) 在A位置上的数是正数 (2) 在B和D位置上的数是负数 (3) 第2025个数是负数 对应B位置
解析
【分析】
解题时先观察给出的有理数排列，分两步找规律：第一步看正负规律：所有数的绝对值等于它的排列序号，序号为奇数时是负数，序号为偶数时是正数；第二步看位置规律：每4个数为一个循环周期，同一个位置的数的序号除以4的余数相同，余数为0对应A位置，余数为1对应B位置，余数为2对应C位置，余数为3对应D位置。结合这两个规律即可解答三个问题。
【解析】
（1）观察A位置的数：4、8，都是偶数，根据规律偶数为正数，因此A位置的数是正数。
（2）观察各位置的数：B位置为-5、-9，都是奇数（负数）；D位置为-3、-7，都是奇数（负数）；A、C位置都是偶数（正数），因此B和D位置的数是负数。
（3）首先计算2025除以4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应B位置；2025是奇数，因此第2025个数是负数，对应B位置。
【答案】
(1) 在A位置上的数是正数 (2) 在B和D位置上的数是负数 (3) 第2025个数是负数 对应B位置
【知识点】
数字规律探究，有理数正负判断，周期问题计算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是先通过已知数据总结出正负规律和周期排列规律，再利用余数判断对应位置，难度不大，需要细心观察避免找错周期对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的有理数排列，分两步找规律：第一步看正负规律：所有数的绝对值等于它的排列序号，序号为奇数时是负数，序号为偶数时是正数；第二步看位置规律：每4个数为一个循环周期，同一个位置的数的序号除以4的余数相同，余数为0对应A位置，余数为1对应B位置，余数为2对应C位置，余数为3对应D位置。结合这两个规律即可解答三个问题。
【解析】
（1）观察A位置的数：4、8，都是偶数，根据规律偶数为正数，因此A位置的数是正数。
（2）观察各位置的数：B位置为-5、-9，都是奇数（负数）；D位置为-3、-7，都是奇数（负数）；A、C位置都是偶数（正数），因此B和D位置的数是负数。
（3）首先计算2025除以4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应B位置；2025是奇数，因此第2025个数是负数，对应B位置。
【答案】
(1) 在A位置上的数是正数 (2) 在B和D位置上的数是负数 (3) 第2025个数是负数 对应B位置
【知识点】
数字规律探究，有理数正负判断，周期问题计算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是先通过已知数据总结出正负规律和周期排列规律，再利用余数判断对应位置，难度不大，需要细心观察避免找错周期对应关系。
【难度系数】
0.7
