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【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点E，CD⊥BE于D，且∠A=α，求∠DCE的度数. 
答案
解:设∠CBE=x,∠ECA=y,
∴∠DEC=x+y,
又
∵2x+2y=180°−α,
∴x+y=90°−$\frac{1}{2}α$,
∴∠DEC=90°−$\frac{1}{2}α$,
∴∠DCE=90°−$(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$.
∴∠DEC=x+y,
又
∵2x+2y=180°−α,
∴x+y=90°−$\frac{1}{2}α$,
∴∠DEC=90°−$\frac{1}{2}α$,
∴∠DCE=90°−$(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$.
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：首先，看到角平分线条件，可通过设参数的方式表示被平分的相等角，简化角度关系的推导；其次，利用三角形内角和定理，建立参数和已知角∠A的联系，求出参数的和；再结合三角形外角的性质，得到∠DEC与参数和的关系；最后根据CD⊥BE的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠DCE的度数。
【解析】
解：设∠CBE=x，∠ECA=y，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABC=2x，∠ECB=∠ECA=y，∠ACB=2y，
∵∠DEC是△BCE的外角，
∴∠DEC=∠CBE + ∠ECB = x + y，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
即$α + 2x + 2y = 180°$，
整理得$x + y = 90° - \frac{1}{2}α$，
∴$∠ DEC = 90° - \frac{1}{2}α$，
∵CD⊥BE，
∴$∠ D=90°$，
在Rt△CDE中，∠DCE + ∠DEC = 90°，
∴$∠ DCE = 90° - ∠ DEC = 90° - (90° - \frac{1}{2}α) = \frac{1}{2}α$。
【答案】
$\frac{1}{2}α$
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是角度转化类的典型习题，通过设参数的方法简化了复杂的角度关系，结合多个几何性质推导所求角度，既考查了对基础几何性质的掌握程度，也锻炼了参数思想和角度转化的能力，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以按以下思路推导：首先，看到角平分线条件，可通过设参数的方式表示被平分的相等角，简化角度关系的推导；其次，利用三角形内角和定理，建立参数和已知角∠A的联系，求出参数的和；再结合三角形外角的性质，得到∠DEC与参数和的关系；最后根据CD⊥BE的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠DCE的度数。
【解析】
解：设∠CBE=x，∠ECA=y，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABC=2x，∠ECB=∠ECA=y，∠ACB=2y，
∵∠DEC是△BCE的外角，
∴∠DEC=∠CBE + ∠ECB = x + y，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
即$α + 2x + 2y = 180°$，
整理得$x + y = 90° - \frac{1}{2}α$，
∴$∠ DEC = 90° - \frac{1}{2}α$，
∵CD⊥BE，
∴$∠ D=90°$，
在Rt△CDE中，∠DCE + ∠DEC = 90°，
∴$∠ DCE = 90° - ∠ DEC = 90° - (90° - \frac{1}{2}α) = \frac{1}{2}α$。
【答案】
$\frac{1}{2}α$
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是角度转化类的典型习题，通过设参数的方法简化了复杂的角度关系，结合多个几何性质推导所求角度，既考查了对基础几何性质的掌握程度，也锻炼了参数思想和角度转化的能力，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图，$∠ ABC=90°$，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，求$∠ P$的度数。
答案
解:设∠1=α,∠3=β,
∴2α+2β=360°−90°=270°,α+β=135°,
在△ACP中,∠P=180°−(α+β)=45°.
∴2α+2β=360°−90°=270°,α+β=135°,
在△ACP中,∠P=180°−(α+β)=45°.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC中∠B=90°，∠1=∠2、∠3=∠4，即AP、CP分别是对应平角的角平分线。我们可以通过设参数简化角度关系：设∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，先结合△ABC内角和、平角的性质求出α+β的和，再利用△APC的内角和为180°，即可求出∠P的度数。
【解析】
设∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，
在Rt△ABC中，∠B=90°，根据三角形内角和定理得：
$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - 90° = 90°$，
由平角的定义可知：$∠ BAC = 180° - 2α$，$∠ BCA = 180° - 2β$，
代入上式得：$(180° - 2α) + (180° - 2β) = 90°$，
整理得：$360° - 2(α + β) = 90°$，
计算得：$α + β = 135°$，
在△ACP中，根据三角形内角和定理：
$∠ P = 180° - (∠ 2 + ∠ 3) = 180° - (α + β) = 180° - 135° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题是角度转化类的典型习题，利用参数法表示未知角，能快速梳理多组角之间的数量关系，降低代换难度，这种方法在多角平分线的角度计算问题中适用性很强，建议熟练掌握。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理已知条件：△ABC中∠B=90°，∠1=∠2、∠3=∠4，即AP、CP分别是对应平角的角平分线。我们可以通过设参数简化角度关系：设∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，先结合△ABC内角和、平角的性质求出α+β的和，再利用△APC的内角和为180°，即可求出∠P的度数。
【解析】
设∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，
在Rt△ABC中，∠B=90°，根据三角形内角和定理得：
$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - 90° = 90°$，
由平角的定义可知：$∠ BAC = 180° - 2α$，$∠ BCA = 180° - 2β$，
代入上式得：$(180° - 2α) + (180° - 2β) = 90°$，
整理得：$360° - 2(α + β) = 90°$，
计算得：$α + β = 135°$，
在△ACP中，根据三角形内角和定理：
$∠ P = 180° - (∠ 2 + ∠ 3) = 180° - (α + β) = 180° - 135° = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题是角度转化类的典型习题，利用参数法表示未知角，能快速梳理多组角之间的数量关系，降低代换难度，这种方法在多角平分线的角度计算问题中适用性很强，建议熟练掌握。
【难度系数】
0.6
【典例3】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，PA平分∠CAB，PB平分∠ABC的外角，求∠P的度数。
答案
解:设∠CAP=α,∠PBC=β,
β=α+∠P,2β=2α+90°,
∴∠P=45°.
β=α+∠P,2β=2α+90°,
∴∠P=45°.
解析
【分析】
遇到本题这种“一个内角平分线+一个外角平分线”求夹角的问题，可采用参数法简化计算：首先利用角平分线的定义，将被平分的两个小角用参数表示，再结合三角形外角的性质，分别建立含参数的∠P和∠C的等量关系，最后消去参数就能求出∠P的度数。
【解析】
解：设∠CAP=α，∠PBC=β，设CB的延长线为BD，则∠ABD为∠ABC的外角。
∵PA平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠CAP=2α；
∵PB平分∠ABD，
∴∠ABD=2β。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
可得：对于△ABC，∠ABD = ∠ACB + ∠CAB，即$2β = 90° + 2α$，化简得$β = α + 45°$；
对于△PAB，∠PBC = ∠P + ∠PAB，其中∠PAB=∠CAP=α，即$β = ∠P + α$。
将$β = α + 45°$代入上式，得：$α + 45° = ∠P + α$，
消去α后可得∠P=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
角平分线定义，三角形外角性质，参数法求角
【点评】
本题是三角形双角平分线模型的典型应用，通过参数表示角度、利用外角性质建立等量关系的方法，避免了复杂的角度推导，掌握该类模型的结论可以快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
遇到本题这种“一个内角平分线+一个外角平分线”求夹角的问题，可采用参数法简化计算：首先利用角平分线的定义，将被平分的两个小角用参数表示，再结合三角形外角的性质，分别建立含参数的∠P和∠C的等量关系，最后消去参数就能求出∠P的度数。
【解析】
解：设∠CAP=α，∠PBC=β，设CB的延长线为BD，则∠ABD为∠ABC的外角。
∵PA平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠CAP=2α；
∵PB平分∠ABD，
∴∠ABD=2β。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
可得：对于△ABC，∠ABD = ∠ACB + ∠CAB，即$2β = 90° + 2α$，化简得$β = α + 45°$；
对于△PAB，∠PBC = ∠P + ∠PAB，其中∠PAB=∠CAP=α，即$β = ∠P + α$。
将$β = α + 45°$代入上式，得：$α + 45° = ∠P + α$，
消去α后可得∠P=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
角平分线定义，三角形外角性质，参数法求角
【点评】
本题是三角形双角平分线模型的典型应用，通过参数表示角度、利用外角性质建立等量关系的方法，避免了复杂的角度推导，掌握该类模型的结论可以快速解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
变式.如图,在△ABC中,BE是角平分线,CF平分外角∠BCD,BF⊥CF于F,∠A=62°,求∠EBF的度数.
答案
解:延长BE,FC交于H,
由【典例3】知∠H=$\frac{1}{2}∠A=31°$,
∴∠EBF=59°.
解析
【分析】
本题可通过构造双角平分线模型求解：首先观察到BE是△ABC的内角平分线，CF是△ABC的外角平分线，联想到“三角形同一顶点的内角平分线与外角平分线的夹角等于顶角一半”的模型，因此延长BE与FC交于点H，先求出∠H的度数，再结合BF⊥CF的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EBF的度数。
【解析】
解：延长BE，FC交于H，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
∵CF平分外角$∠ BCD$，$∠ BCD$是△ABC的外角，
∴$∠ BCD=∠ A+∠ ABC$，$∠ FCD=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$，
又
∵$∠ FCD$是△BCH的外角，
∴$∠ FCD=∠ H+∠ EBC$，
代入得：$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ H + \frac{1}{2}∠ ABC$，
化简得：$∠ H=\frac{1}{2}∠ A$，
∵$∠ A=62°$，
∴$∠ H=\frac{1}{2}×62°=31°$，
∵$BF⊥ CF$，
∴$∠ F=90°$，
在$Rt△ BFH$中，$∠ EBF+∠ H=90°$，
∴$∠ EBF=90°-31°=59°$。
【答案】
解:延长BE,FC交于H,
由【典例3】知∠H=$\frac{1}{2}∠A=31°$,
∴∠EBF=59°.
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查角度计算，核心是通过作辅助线构造内角平分线与外角平分线的夹角模型，结合直角三角形的性质求解，熟练掌握常见的角平分线相关角度推导模型，可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造双角平分线模型求解：首先观察到BE是△ABC的内角平分线，CF是△ABC的外角平分线，联想到“三角形同一顶点的内角平分线与外角平分线的夹角等于顶角一半”的模型，因此延长BE与FC交于点H，先求出∠H的度数，再结合BF⊥CF的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EBF的度数。
【解析】
解：延长BE，FC交于H，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
∵CF平分外角$∠ BCD$，$∠ BCD$是△ABC的外角，
∴$∠ BCD=∠ A+∠ ABC$，$∠ FCD=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$，
又
∵$∠ FCD$是△BCH的外角，
∴$∠ FCD=∠ H+∠ EBC$，
代入得：$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ H + \frac{1}{2}∠ ABC$，
化简得：$∠ H=\frac{1}{2}∠ A$，
∵$∠ A=62°$，
∴$∠ H=\frac{1}{2}×62°=31°$，
∵$BF⊥ CF$，
∴$∠ F=90°$，
在$Rt△ BFH$中，$∠ EBF+∠ H=90°$，
∴$∠ EBF=90°-31°=59°$。
【答案】
解:延长BE,FC交于H,
由【典例3】知∠H=$\frac{1}{2}∠A=31°$,
∴∠EBF=59°.
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查角度计算，核心是通过作辅助线构造内角平分线与外角平分线的夹角模型，结合直角三角形的性质求解，熟练掌握常见的角平分线相关角度推导模型，可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
