4. 如图4，$∠ AOB=90°$，$OA=25\ \mathrm{m}$，$OB=5\ \mathrm{m}$. 一机器人在点B处看见一个小球从点A出发，沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球. 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，求机器人行走的路程BC.

4. 13 m. 提示：设$BC=x$ m，在$Rt△ OBC$中，$x^2=5^2+(25-x)^2$，解得$x=13$

【分析】
解题时首先根据“小球和机器人速度相等、同时出发到C点相遇”，可推出二者运动路程相等，即$ BC=AC $；再观察图形可知$ △ OBC $是直角三角形，$ ∠ O=90° $，$ OC=OA-AC=OA-BC $，因此可以设$ BC $为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设机器人行走的路程$ BC $为$ x \, \mathrm{m} $。
因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，二者运动时间相同，所以小球滚动的路程$ AC=BC=x \, \mathrm{m} $。
已知$ OA=25 \, \mathrm{m} $，因此$ OC=OA-AC=(25-x) \, \mathrm{m} $。
又因为$ ∠ AOB=90° $，$ △ OBC $为直角三角形，根据勾股定理可得：
$ OB^2+OC^2=BC^2 $
将$ OB=5 \, \mathrm{m} $代入得：
$ 5^2+(25-x)^2=x^2 $
展开计算：
$ 25+625-50x+x^2=x^2 $
消去同类项整理得：$ 50x=650 $
解得：$ x=13 $
【答案】
13 m
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是抓住速度、时间、路程的等量关系得到$ BC=AC $，再结合直角三角形的三边特征列方程求解，能够考查学生知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.7

5. 如图5，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B到点C的距离是5 cm，在点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬行到点B去吃蜂蜜，蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？
（单位：cm）

5. 25 cm. 提示：展开右侧面至正面，$AB=\sqrt{20^2 + (10+5)^2}=25$ (cm)

【分析】
要求长方体表面两点的最短爬行路径，需运用“化曲为直”的思路：将包含两点的相邻两个面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，此时两点的连线长度就是路径的可能长度，再通过勾股定理计算所有展开情况的路径长度，比较后得到最小值。本题需先梳理点A、B的位置，枚举常见的展开方式分别计算，再对比得到最短路径。
【解析】
将长方体表面展开，分情况计算路径长度：
1. 把右侧面与前侧面展开到同一平面：
此时A、B位于直角三角形的两个顶点，直角边分别为长方体的高20cm，以及宽10cm与BC长度5cm的和，即$10+5=15\mathrm{cm}$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\mathrm{cm}$
2. 把上底面与前侧面展开到同一平面：
此时直角边分别为长方体的长15cm，以及高20cm与BC长度5cm的和，即$20+5=25\mathrm{cm}$。
根据勾股定理：
$AB=\sqrt{15^2+25^2}=\sqrt{225+625}=\sqrt{850}\approx29.15\mathrm{cm}$
其余展开方式得到的路径长度均大于25cm，对比可知最短路径为25cm。
【答案】
25 cm
【知识点】
1. 勾股定理
2. 最短路径求解
3. 长方体表面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际问题中的典型应用，核心是将立体图形的表面路径问题转化为平面图形的线段问题，体现了转化的数学思想，解题时要注意枚举所有可能的展开情况，避免漏算导致选错最短路径。
【难度系数】
0.6