23. (9分)某商店代销一种智能学习机,促销广告显示:“如果购买不超过40台学习机,则每台售价800元,如果超过40台,则每超过1台,每台售价将均减少5元.”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示.
(1)当$x＞40$时,用含$x$的代数式表示每台学习机的售价.
(2)当该商店一次性购进并销售学习机60台时,每台学习机可以获利多少元?
(3)若该商店在一次销售中获利4 800元,则该商店可能购进并销售学习机多少台?

解​$：(1)$​由题意得，当​$x＞40$​时，每台学习机的售价为​$800-5(x - 40)=(-5x + 1000)$​元。​$ (2)$​设图中函数表达式为​$y = kx + b，$​把​$(0，700)$​和​$(50，600)$​分别代入得​$ \begin {cases}b = 700\\50k + b = 600\end {cases}$​ 解得​$ \begin {cases}k=-2\\b = 700\end {cases}$​​$ $​所以函数表达式为​$y=-2x + 700。$​​$ $​当​$x = 60$​时，​$y=-2×60 + 700 = 580，$​​$ $​售价为​$-5×60 + 1000 = 700$​元，​$ $​每台获利​$700 - 580 = 120$​元。​$ (3)$​设购进并销售学习机​$x$​台。​$ $​当​$x\leqslant 40$​时，​$(800 - 700)x = 4800，$​解得​$x = 48($​舍去​$)；$​​$ $​当​$x＞40$​时，​$[800-5(x - 40)-( - 2x + 700)]x = 4800，$​​$ \begin {aligned}(800-5x + 200 + 2x - 700)x&=4800\\(-3x + 300)x&=4800\\-3x^2+300x - 4800&=0\\x ^2-100x + 1600&=0\\(x - 20)(x - 80)&=0\end {aligned}$​​$ $​解得​$x_{1}=20($​舍去​$)，$​​$x_{2}=80。$​​$ $​所以该商店可能购进并销售学习机​$80$​台。

24. (10分)(齐齐哈尔中考)如图,在平面直角坐标系中,已知$\mathrm{Rt}△ AOB$的两直角边$OA$、$OB$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上($OA＜OB$),且$OA$、$OB$的长分别是一元二次方程$x^2 -14x +48=0$的两个根.线段$AB$的垂直平分线$CD$交$AB$于点$C$,交$x$轴于点$D$,点$P$是直线$CD$上一个动点,点$Q$是直线$AB$上一个动点.
(1)求$A$、$B$两点的坐标.
(2)求直线$CD$的函数表达式.
(3)在坐标平面内是否存在点$M$,使以点$C$、$P$、$Q$、$M$为顶点的四边形是正方形,且该正方形的边长为$\frac{1}{2}AB$长?若存在,请直接写出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.

解：$(1)$解方程$ x^2-14 x+48=0 ， $解得$ x_{1}=6， x_{2}=8 $∵$O A＜OB$∴$A(6，0)， B(0，8) . $$(2) $连接$ B D $∵线段$ A B $的垂直平分线$ C D $交$ x $轴于点$ D $∴$A D=B D， C(3，4) $设点$ D $的坐标为$ (x， 0) ， $则$ (6-x)^2=x^2+8^2 ， $解得$ x=-\frac {7}{3} $∴点$ D $的坐标为$ (-\frac {7}{3}， 0) . $设直线$ C D $的表达式为$ y=k x+b $∵$C(3，4)， D(-\frac {7}{3}， 0) ， $∴$\begin {cases}{3 k+b=4， }\\{ -\frac {7}{3} k+b=0，}\end {cases}$解得$ k=\frac {3}{4}， b=\frac {7}{4} . $∴直线$CD$的表达式为$ y=\frac {3}{4} x+\frac {7}{4} .$$(3) $存在$， $点$ M $的坐标为$ (4，11) 、$$(-4 ， 5) 、$$(2，-3) $或$ (10，3) .$