1. 如图,在$△ ADC$和$△ CEB$中,点$A,B,C$在同一条直线上,$∠ D=∠ E$,$AD// EC$,$AD=EC$.求证$△ ADC≌△ CEB$.

1. $\because\ \ AD// EC,\therefore\ \ ∠ A=∠ ECB.$
在$△ ADC$和$△ CEB$中,
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AD=CE,\\∠ D=∠ E,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ADC≌△ CEB(\mathrm{ASA}).$

【分析】
要证明△ADC≌△CEB，首先需要梳理已知条件，寻找全等判定所需的对应相等的边和角：首先由已知AD//EC，根据平行线的同位角相等性质，可推得∠A=∠ECB；结合题目给出的∠D=∠E、AD=EC的条件，刚好满足“两角及其夹边对应相等”的全等判定要求，因此可通过ASA定理证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
$\because\ \ AD// EC,\therefore\ \ ∠ A=∠ ECB$（两直线平行，同位角相等）.
在$△ ADC$和$△ CEB$中,
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AD=CE,\\∠ D=∠ E,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ADC≌△ CEB(\mathrm{ASA}).$
【答案】
$\because\ \ AD// EC,\therefore\ \ ∠ A=∠ ECB.$
在$△ ADC$和$△ CEB$中,
$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AD=CE,\\∠ D=∠ E,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ADC≌△ CEB(\mathrm{ASA}).$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，核心考查平行线性质和全等三角形判定方法的应用，解题关键是通过平行线性质得到对应相等的角，结合已知条件匹配全等判定定理即可完成证明，是全等相关知识的常规基础考法。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在四边形ABCD中,CB⊥AB于点B,CD⊥AD于点D,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.
(1)若AE=8,CD=6,求四边形AECF的面积;
(2)猜想∠DAB,∠ECF,∠DFC三者之间的数量关系,并证明你的猜想.

2. (1)如图,连接AC.
在$△ ACE$和$△ ACF$中,
$\begin{cases}AE=AF,\\CE=CF,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ACE≌△ ACF(\mathrm{SSS}).$
$\therefore\ \ S_{△ ACE}=S_{△ ACF},∠ FAC=∠ EAC.$
$\because\ \ CB⊥ AB,CD⊥ AD,$
$\therefore\ \ CD=CB=6.$
$\therefore\ \ S_{△ ACF}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE· CB=\frac{1}{2}×8×6=24.$
$\therefore\ \ S_{\mathrm{四边形}AECF}=S_{△ ACF}+S_{△ ACE}=24+24=48.$
(2) $∠ DAB+∠ ECF=2∠ DFC.$
证明:$\because\ \ △ ACE≌△ ACF,$
$\therefore\ \ ∠ FCA = ∠ ECA,∠ FAC = ∠ EAC,∠ AFC=∠ AEC.$
$\because\ \ ∠ DFC + ∠ AFC = 180°,∠ BEC + ∠ AEC=180°,$
$\therefore\ \ ∠ DFC=∠ BEC.$
$\because\ \ ∠ DFC = ∠ FCA + ∠ FAC,∠ BEC = ∠ ECA+∠ EAC,$
$\therefore\ \ ∠ DFC + ∠ BEC = ∠ FCA + ∠ FAC + ∠ ECA+∠ EAC=∠ DAB+∠ ECF.$
$\therefore\ \ ∠ DAB+∠ ECF=2∠ DFC.$

【分析】
(1) 四边形AECF是不规则图形，可通过连接AC将其拆分为$△ ACE$和$△ ACF$两部分求解。已知$AE=AF$、$CE=CF$，结合公共边$AC$可先通过SSS证明两三角形全等，得到二者面积相等且$AC$平分$∠ DAB$；再根据角平分线的性质可得$CD=CB$，代入三角形面积公式求出单个三角形面积后求和，即可得到四边形的面积。
(2) 探究三个角的数量关系时，先利用全等三角形的性质得到对应角相等，再结合邻补角的性质推导$∠ DFC=∠ BEC$，最后利用三角形外角的性质对相关角进行等量代换，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 如图，连接$AC$。
在$△ ACE$和$△ ACF$中，
$\begin{cases}AE=AF,\\CE=CF,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ ACF(\mathrm{SSS})$。
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ ACF}$，$∠ FAC=∠ EAC$，即$AC$平分$∠ DAB$。
$\because CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore CD=CB=6$。
$\therefore S_{△ ACF}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE· CB=\frac{1}{2}×8×6=24$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}AECF}=S_{△ ACF}+S_{△ ACE}=24+24=48$。
(2) 猜想$∠ DAB+∠ ECF=2∠ DFC$，证明如下：
$\because △ ACE≌△ ACF$，
$\therefore ∠ FCA = ∠ ECA$，$∠ FAC = ∠ EAC$，$∠ AFC=∠ AEC$。
$\because ∠ DFC + ∠ AFC = 180°$，$∠ BEC + ∠ AEC=180°$，
$\therefore ∠ DFC=∠ BEC$。
根据三角形外角的性质，$∠ DFC = ∠ FCA + ∠ FAC$，$∠ BEC = ∠ ECA+∠ EAC$，
两式相加得：$∠ DFC + ∠ BEC = ∠ FCA + ∠ FAC + ∠ ECA+∠ EAC$，
整理得$∠ DFC + ∠ BEC=∠ DAB+∠ ECF$，
又$\because ∠ DFC=∠ BEC$，
$\therefore ∠ DAB+∠ ECF=2∠ DFC$。
【答案】
(1) $48$；
(2) $∠ DAB+∠ ECF=2∠ DFC$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题以四边形为背景考查全等三角形的综合应用，解题关键是通过添加辅助线构造全等三角形，将不规则图形面积转化为全等三角形面积之和；角的数量关系探究需要灵活运用全等性质、邻补角性质和外角性质进行等量代换，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

3. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，$D$是直线$BC$上一点(不与点$B$，$C$重合)，以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$AD=AE$，$∠ DAE=∠ BAC$，连接$CE$.

(1) 如图①，$△ ABD ≌ △ ACE$吗？请说明理由.
(2) 在(1)的结论下，试求$∠ BCE$的度数.
(3) 设$∠ BAC=α$，$∠ BCE=β$，如图②，当点$D$在线段$BC$上移动，则$α$，$β$之间有怎样的数量关系？请说明理由.

3. (1) $△ ABD≌△ ACE$. 理由如下:
$\because\ \ ∠ BAC=∠ DAE,$
$\therefore\ \ ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC,$
即$∠ BAD=∠ CAE.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because\ \ △ ABD≌△ ACE,$
$\therefore\ \ ∠ B=∠ ACE.$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB,$
即$∠ BCE=∠ B+∠ ACB.$
又 $∠ BAC=90°,$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=90°.$
$\therefore\ \ ∠ BCE=90°.$
(3) $α+β=180°$. 理由如下:
$\because\ \ ∠ BAC=∠ DAE,$
$\therefore\ \ ∠ BAD+∠ DAC=∠ EAC+∠ DAC,$
即$∠ BAD=∠ CAE.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}).$
$\therefore\ \ ∠ B=∠ ACE.$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB=∠ BCE.$
$\because\ \ ∠ BCE=β,$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=β.$
$\because\ \ ∠ BAC + ∠ B + ∠ ACB = 180°,∠ BAC=α,$
$\therefore\ \ α+β=180°.$

【分析】
（1）要判断△ABD和△ACE是否全等，先梳理已知条件：已有AB=AC、AD=AE两组边相等，只需再证两组边的夹角相等即可；观察到∠BAC和∠DAE相等，两个角同时减去公共部分∠DAC，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，即可证明全等。
（2）求∠BCE的度数，可借助（1）的全等结论，得到对应角∠B=∠ACE，将∠BCE转化为∠ACB+∠ACE，替换后即为∠ACB+∠B；结合△ABC中∠BAC=90°，根据三角形内角和可知∠B+∠ACB=90°，即可求出∠BCE的度数。
（3）探究α和β的数量关系，先类比（1）的思路证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE，同理可推得∠BCE=∠B+∠ACB=β，再结合△ABC内角和为180°，即∠BAC+∠B+∠ACB=180°，代入对应角度即可得到α和β的数量关系。
【解析】
(1) $△ ABD≌△ ACE$，理由如下：
$\because\ \ ∠ BAC=∠ DAE,$
$\therefore\ \ ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC,$
即$∠ BAD=∠ CAE.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}).$
(2) $\because\ \ △ ABD≌△ ACE,$
$\therefore\ \ ∠ B=∠ ACE.$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB,$
即$∠ BCE=∠ B+∠ ACB.$
又 $\because ∠ BAC=90°,$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=90°.$
$\therefore\ \ ∠ BCE=90°.$
(3) $α+β=180°$，理由如下：
$\because\ \ ∠ BAC=∠ DAE,$
$\therefore\ \ ∠ BAD+∠ DAC=∠ EAC+∠ DAC,$
即$∠ BAD=∠ CAE.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore\ \ △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}).$
$\therefore\ \ ∠ B=∠ ACE.$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB=∠ BCE.$
$\because\ \ ∠ BCE=β,$
$\therefore\ \ ∠ B+∠ ACB=β.$
$\because\ \ ∠ BAC + ∠ B + ∠ ACB = 180°,∠ BAC=α,$
$\therefore\ \ α+β=180°.$
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ACE$，理由见解析；
(2) $∠ BCE=90°$；
(3) $α+β=180°$，理由见解析。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是共顶点旋转（手拉手）全等模型的典型考题，问题设置层层递进，既考察了全等三角形判定、性质的基础应用，也考察了角的转化、三角形内角和的综合运用能力，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B分别在坐标轴上,且∠ABC=90°,AB=BC,若点A,B的坐标分别为(-5,0),(0,2),则点C的坐标为.

4. $(2,-3)$

【分析】
要求点C的坐标，可通过构造全等三角形求解。观察到∠ABC=90°、AB=BC，坐标轴存在天然直角，因此过点C作y轴的垂线，即可得到两个直角三角形，利用“同角的余角相等”推导角相等，结合已知的边相等条件证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合A、B的坐标计算线段长度，最终得到C的坐标。
【解析】
过点C作CD⊥y轴于点D，则∠CDB=∠AOB=90°。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
又
∵在Rt△AOB中，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBD。
在△AOB和△BDC中：
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠BDC \\∠OAB=∠CBD \\AB=BC\end{array} $
∴△AOB≌△BDC（AAS）。
∴AO=BD，OB=CD。
已知A(-5,0)，B(0,2)，
∴AO=5，OB=2，
∴BD=5，CD=2，
∴OD=BD-OB=5-2=3。
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为(2,-3)。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的典型题型，核心是利用“三垂直”结构构造全等三角形，将坐标转化为线段长度求解，解题时需注意点所在象限对应的坐标符号。
【难度系数】
0.6