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1.两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为
x(x+2)=783
.答案
1.x(x+2)=783
解析
【分析】
要列出方程，需先明确两个量的表示方法和等量关系：首先，相邻奇数的差值为2，已知设较小的奇数为x，那么较大的相邻奇数可表示为x+2；其次，题目给出两个数的乘积为783，即“较小奇数×较大奇数=783”，将两个量代入等量关系即可得到方程。
【解析】
因为两个数是相邻奇数，相邻奇数的差为2，设较小的奇数为x，则较大的相邻奇数为$ x+2 $。
根据“两个相邻奇数的乘积为783”的等量关系，可列方程：
$ x(x+2)=783 $
【答案】
$ x(x+2)=783 $
【知识点】
1. 奇数的特征
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是掌握相邻奇数相差2的性质，准确表示出两个相邻奇数，再结合题干给出的乘积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.9
要列出方程，需先明确两个量的表示方法和等量关系：首先，相邻奇数的差值为2，已知设较小的奇数为x，那么较大的相邻奇数可表示为x+2；其次，题目给出两个数的乘积为783，即“较小奇数×较大奇数=783”，将两个量代入等量关系即可得到方程。
【解析】
因为两个数是相邻奇数，相邻奇数的差为2，设较小的奇数为x，则较大的相邻奇数为$ x+2 $。
根据“两个相邻奇数的乘积为783”的等量关系，可列方程：
$ x(x+2)=783 $
【答案】
$ x(x+2)=783 $
【知识点】
1. 奇数的特征
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是掌握相邻奇数相差2的性质，准确表示出两个相邻奇数，再结合题干给出的乘积等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.9
2. 新情境 小颖设计了一个神奇的魔术盒，当放入任意实数对$(M,N)$时，会得到一个新的实数$M^2 + 3N + 2$。若将实数对$(a,2a)$放入其中，得到一个新数$-3$，则$a=$
-5或-1
。答案
2.-5或-1
解析
【分析】
首先理解魔术盒的运算规则：输入实数对$(M,N)$时，输出结果为第一个数的平方加第二个数的3倍加2。将输入的$(a,2a)$对应到规则中的$M$和$N$，即$M=a$，$N=2a$，已知输出结果为$-3$，据此可列出关于$a$的一元二次方程，求解方程即可得到$a$的值。
【解析】
根据题意，将实数对$(a,2a)$代入运算公式$M^2 + 3N + 2 = -3$，其中$M=a$，$N=2a$，代入得：
$a^2 + 3× 2a + 2 = -3$
整理方程得：
$a^2 + 6a + 5 = 0$
因式分解得：
$(a+1)(a+5)=0$
所以$a+1=0$或$a+5=0$，解得$a=-1$或$a=-5$。
【答案】
$-5$或$-1$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合新情境考查新定义运算的应用和一元二次方程的求解，解题的核心是准确根据运算规则列出方程，难度较低，重点考查学生的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先理解魔术盒的运算规则：输入实数对$(M,N)$时，输出结果为第一个数的平方加第二个数的3倍加2。将输入的$(a,2a)$对应到规则中的$M$和$N$，即$M=a$，$N=2a$，已知输出结果为$-3$，据此可列出关于$a$的一元二次方程，求解方程即可得到$a$的值。
【解析】
根据题意，将实数对$(a,2a)$代入运算公式$M^2 + 3N + 2 = -3$，其中$M=a$，$N=2a$，代入得：
$a^2 + 3× 2a + 2 = -3$
整理方程得：
$a^2 + 6a + 5 = 0$
因式分解得：
$(a+1)(a+5)=0$
所以$a+1=0$或$a+5=0$，解得$a=-1$或$a=-5$。
【答案】
$-5$或$-1$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合新情境考查新定义运算的应用和一元二次方程的求解，解题的核心是准确根据运算规则列出方程，难度较低，重点考查学生的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
3.一个直角三角形的两条直角边长相差3 cm，面积是9 cm².设这个直角三角形较长的直角边长为x cm，依题意，可列方程为（
A.$x(x+3)=9$
B.$x(x-3)=9$
C.$\frac{1}{2}x(x+3)=9$
D.$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
D
）A.$x(x+3)=9$
B.$x(x-3)=9$
C.$\frac{1}{2}x(x+3)=9$
D.$\frac{1}{2}x(x-3)=9$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先明确设的未知数含义：题目设较长直角边长为x cm，因为两条直角边相差3 cm，因此较短的直角边长度可以用含x的式子表示为(x-3) cm；接下来回忆直角三角形的面积计算公式：面积=1/2×两条直角边的长度乘积，再结合已知面积为9 cm²，将对应量代入公式即可列出方程，过程中注意不要漏乘面积公式里的1/2，也不要混淆长短直角边的表达式。
【解析】
解：
∵ 较长的直角边长为x cm，两条直角边长相差3 cm，
∴ 较短的直角边长为(x - 3) cm，
又
∵ 直角三角形的面积是9 cm²，且直角三角形面积=1/2×两直角边长度乘积，
∴ 代入得：$\frac{1}{2}x(x-3)=9$，
因此符合的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何类列方程题目，解题的核心是准确用未知数表示出相关几何量，牢记对应图形的面积公式，避免出现漏乘系数、混淆数量关系的低级错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确设的未知数含义：题目设较长直角边长为x cm，因为两条直角边相差3 cm，因此较短的直角边长度可以用含x的式子表示为(x-3) cm；接下来回忆直角三角形的面积计算公式：面积=1/2×两条直角边的长度乘积，再结合已知面积为9 cm²，将对应量代入公式即可列出方程，过程中注意不要漏乘面积公式里的1/2，也不要混淆长短直角边的表达式。
【解析】
解：
∵ 较长的直角边长为x cm，两条直角边长相差3 cm，
∴ 较短的直角边长为(x - 3) cm，
又
∵ 直角三角形的面积是9 cm²，且直角三角形面积=1/2×两直角边长度乘积，
∴ 代入得：$\frac{1}{2}x(x-3)=9$，
因此符合的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何类列方程题目，解题的核心是准确用未知数表示出相关几何量，牢记对应图形的面积公式，避免出现漏乘系数、混淆数量关系的低级错误。
【难度系数】
0.8
4.如图,观光茶园有一块正方形的空地,计划将其改造为长方形平台(空白部分),搭建一个休息亭,剩余区域建造宽为1 m和2 m的小路(阴影部分),供游客活动,若平台的面积为18 m²,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为 (
A.$(x-1)(x-2)=18$
B.$x^2-3x+16=0$
C.$(x+1)(x+2)=18$
D.$x^2+3x+16=0$
A
)A.$(x-1)(x-2)=18$
B.$x^2-3x+16=0$
C.$(x+1)(x+2)=18$
D.$x^2+3x+16=0$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：原正方形空地边长设为x m，空白长方形平台面积为18㎡。接下来需要推导空白长方形的长、宽与x的关系：观察图形，右侧小路宽2m，因此空白长方形的长等于正方形边长减去2m；下方小路宽1m，因此空白长方形的宽等于正方形边长减去1m。最后根据长方形面积=长×宽的等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m。
由图形可得：空白长方形平台的长为$(x - 2)\mathrm{m}$，宽为$(x - 1)\mathrm{m}$。
已知平台面积为$18\mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，代入得：
$(x - 1)(x - 2) = 18$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何列方程题型，解题关键是准确读取图形中的线段长度关系，结合面积公式找到等量关系即可快速解题，重点考查读图分析能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：原正方形空地边长设为x m，空白长方形平台面积为18㎡。接下来需要推导空白长方形的长、宽与x的关系：观察图形，右侧小路宽2m，因此空白长方形的长等于正方形边长减去2m；下方小路宽1m，因此空白长方形的宽等于正方形边长减去1m。最后根据长方形面积=长×宽的等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
设原正方形空地的边长为x m。
由图形可得：空白长方形平台的长为$(x - 2)\mathrm{m}$，宽为$(x - 1)\mathrm{m}$。
已知平台面积为$18\mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$S=长×宽$，代入得：
$(x - 1)(x - 2) = 18$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何列方程题型，解题关键是准确读取图形中的线段长度关系，结合面积公式找到等量关系即可快速解题，重点考查读图分析能力。
【难度系数】
0.8
5.如图,空地上(空地足够大)有一段长为20 m的旧墙MN,小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长100 m,矩形菜园ABCD的面积为900 m².若设AD = x m,则可列方程为 (
A.$(50 - \dfrac{x}{2})x = 900$
B.$(60 - x)x = 900$
C.$(50 - x)x = 900$
D.$(40 - x)x = 900$
B
)A.$(50 - \dfrac{x}{2})x = 900$
B.$(60 - x)x = 900$
C.$(50 - x)x = 900$
D.$(40 - x)x = 900$
答案
5.B
解析
【分析】
这是结合几何图形的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：第一步先明确矩形边的等量关系，矩形ABCD中AD=BC=x m，AB=CD；第二步理清木栏的构成，旧墙MN长20m在AD边上，因此AD边仅超出旧墙的部分需要木栏，其余三边AB、BC、CD均为木栏，结合木栏总长100m即可表示出AB的长度；第三步根据矩形面积公式列方程即可。
【解析】
解：设AD = x m，则BC = AD = x m，
∵AD边上可利用20m旧墙，因此AD段需要的木栏长度为(x-20)m，
又
∵木栏总长为100m，且AB=CD，
∴木栏总长可表示为：$AB + BC + CD + (x-20) = 100$，
代入BC=x、AB=CD，得：$2AB + x + x - 20 = 100$，
整理得：$2AB = 120 - 2x$，即$AB = 60 - x$，
根据矩形面积=长×宽，已知面积为900$\mathrm{m}^2$，可列方程：
$x(60-x)=900$，即$(60-x)x=900$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的性质
【点评】
本题易错点是容易忽略AD边超出旧墙的部分需要额外使用木栏，误将AD边全部当成无需木栏的部分，解题时要结合场景准确梳理木栏的构成，再结合公式列方程。
【难度系数】
0.7
这是结合几何图形的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：第一步先明确矩形边的等量关系，矩形ABCD中AD=BC=x m，AB=CD；第二步理清木栏的构成，旧墙MN长20m在AD边上，因此AD边仅超出旧墙的部分需要木栏，其余三边AB、BC、CD均为木栏，结合木栏总长100m即可表示出AB的长度；第三步根据矩形面积公式列方程即可。
【解析】
解：设AD = x m，则BC = AD = x m，
∵AD边上可利用20m旧墙，因此AD段需要的木栏长度为(x-20)m，
又
∵木栏总长为100m，且AB=CD，
∴木栏总长可表示为：$AB + BC + CD + (x-20) = 100$，
代入BC=x、AB=CD，得：$2AB + x + x - 20 = 100$，
整理得：$2AB = 120 - 2x$，即$AB = 60 - x$，
根据矩形面积=长×宽，已知面积为900$\mathrm{m}^2$，可列方程：
$x(60-x)=900$，即$(60-x)x=900$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的性质
【点评】
本题易错点是容易忽略AD边超出旧墙的部分需要额外使用木栏，误将AD边全部当成无需木栏的部分，解题时要结合场景准确梳理木栏的构成，再结合公式列方程。
【难度系数】
0.7
6. 数学文化《增删算法统宗》中记载:今有门厅一座,不知门广高低,长竿横进使归室,争奈门狭四尺,随即竖竿过去,亦长二尺无疑,两隅斜去恰方齐,请问三色各几? 其大意为:今有一房门(记为矩形ABCD,如图),不知宽与高,长竿横着进门(如BE),门的宽比竿短4尺;将竿竖着进门(如BF),竿比门的高长2尺;将竿斜着穿过门的对角(如AC),恰好进门,门的宽、高和竿长各是多少? 门宽
6
尺,门高8
尺,竿长10
尺. 答案
6.6;8;10
解析
【分析】
本题是结合古代数学文化的几何与方程结合应用题，解题思路如下：首先明确题目中的不变量是竿长，我们可以将其设为未知数，再分别表示出门的宽和高：横着进门时竿比门宽长4尺，因此门宽=竿长-4；竖着进门时竿比门高长2尺，因此门高=竿长-2；门是矩形，其对角线与宽、高构成直角三角形，斜着进门时竿长刚好等于对角线长度，因此可以根据勾股定理列方程求解，最后要检验解是否符合实际长度的要求。
【解析】
解：设竿长为$ x $尺，则门宽为$ (x-4) $尺，门高为$ (x-2) $尺。
∵ 矩形ABCD中，$ ∠ B=90° $，斜着进门时竿长等于对角线AC的长，
∴ 根据勾股定理可得：
$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $
即 $ (x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2 $
展开并整理得：
$ x^2 -4x +4 + x^2 -8x +16 = x^2 $
$ x^2 -12x +20 = 0 $
因式分解得：$ (x-10)(x-2)=0 $
解得 $ x_1=10 $，$ x_2=2 $
当$ x=2 $时，门宽$ x-4=-2 $，不符合实际意义，舍去；
当$ x=10 $时，门宽$ 10-4=6 $（尺），门高$ 10-2=8 $（尺），均符合实际。
【答案】
6；8；10
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；实际问题根的检验
【点评】
本题将古代数学问题与课本知识结合，解题的关键是找到不变量设未知数，利用矩形直角的性质结合勾股定理建立方程，求解后注意舍去不符合实际意义的根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题是结合古代数学文化的几何与方程结合应用题，解题思路如下：首先明确题目中的不变量是竿长，我们可以将其设为未知数，再分别表示出门的宽和高：横着进门时竿比门宽长4尺，因此门宽=竿长-4；竖着进门时竿比门高长2尺，因此门高=竿长-2；门是矩形，其对角线与宽、高构成直角三角形，斜着进门时竿长刚好等于对角线长度，因此可以根据勾股定理列方程求解，最后要检验解是否符合实际长度的要求。
【解析】
解：设竿长为$ x $尺，则门宽为$ (x-4) $尺，门高为$ (x-2) $尺。
∵ 矩形ABCD中，$ ∠ B=90° $，斜着进门时竿长等于对角线AC的长，
∴ 根据勾股定理可得：
$ AB^2 + BC^2 = AC^2 $
即 $ (x-2)^2 + (x-4)^2 = x^2 $
展开并整理得：
$ x^2 -4x +4 + x^2 -8x +16 = x^2 $
$ x^2 -12x +20 = 0 $
因式分解得：$ (x-10)(x-2)=0 $
解得 $ x_1=10 $，$ x_2=2 $
当$ x=2 $时，门宽$ x-4=-2 $，不符合实际意义，舍去；
当$ x=10 $时，门宽$ 10-4=6 $（尺），门高$ 10-2=8 $（尺），均符合实际。
【答案】
6；8；10
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；实际问题根的检验
【点评】
本题将古代数学问题与课本知识结合，解题的关键是找到不变量设未知数，利用矩形直角的性质结合勾股定理建立方程，求解后注意舍去不符合实际意义的根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
7.某停车场平面示意图(示意图为长方形)如图所示,停车场外围的长为30 m,宽为19 m,若停车位总占地面积为390 m²,停车场内车道的宽都相等,求车道的宽.
答案
7.解: 车道的宽为4 m.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程在几何面积中的应用题，解题思路如下：1. 先明确已知量：停车场外围长30m、宽19m，停车位总面积390m²，所有车道宽度相等，我们将车道宽设为未知数x；2. 先计算停车场的总面积，用车场总面积减去停车位总面积，即可得到车道的总面积；3. 分析车道构成：车道由左侧竖直方向的车道和中间水平方向的车道组成，两个车道交叉的正方形区域被重复计算了1次，需要减去重叠部分的面积，据此列一元二次方程；4. 求解方程后，结合停车场的实际尺寸，舍去不符合实际的根，即可得到车道宽度。
【解析】
解：设车道的宽为$x\ \mathrm{m}$。
第一步：计算停车场外围总面积：
$30×19=570\ (\mathrm{m}^2)$
第二步：计算车道的总面积：
$570-390=180\ (\mathrm{m}^2)$
第三步：根据车道面积构成列方程：
左侧竖直车道面积为$19x\ \mathrm{m}^2$，中间水平车道面积为$30x\ \mathrm{m}^2$，两个车道重叠部分面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$19x+30x-x^2=180$
整理得：$x^2-49x+180=0$
因式分解得：$(x-4)(x-45)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=45$
第四步：结合实际取舍根：
∵ 停车场的宽仅为$19\ \mathrm{m}$，$45＞19$，不符合实际，故舍去$x_2=45$
∴ $x=4$
【答案】
车道的宽为4 m.
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算，实际根取舍
【点评】
本题考查利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题的关键是准确分析车道的面积构成，避免重复计算交叉区域的面积，求出方程的解后要注意结合实际场景判断根的合理性。
【难度系数】
0.65
这是一道一元二次方程在几何面积中的应用题，解题思路如下：1. 先明确已知量：停车场外围长30m、宽19m，停车位总面积390m²，所有车道宽度相等，我们将车道宽设为未知数x；2. 先计算停车场的总面积，用车场总面积减去停车位总面积，即可得到车道的总面积；3. 分析车道构成：车道由左侧竖直方向的车道和中间水平方向的车道组成，两个车道交叉的正方形区域被重复计算了1次，需要减去重叠部分的面积，据此列一元二次方程；4. 求解方程后，结合停车场的实际尺寸，舍去不符合实际的根，即可得到车道宽度。
【解析】
解：设车道的宽为$x\ \mathrm{m}$。
第一步：计算停车场外围总面积：
$30×19=570\ (\mathrm{m}^2)$
第二步：计算车道的总面积：
$570-390=180\ (\mathrm{m}^2)$
第三步：根据车道面积构成列方程：
左侧竖直车道面积为$19x\ \mathrm{m}^2$，中间水平车道面积为$30x\ \mathrm{m}^2$，两个车道重叠部分面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$19x+30x-x^2=180$
整理得：$x^2-49x+180=0$
因式分解得：$(x-4)(x-45)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=45$
第四步：结合实际取舍根：
∵ 停车场的宽仅为$19\ \mathrm{m}$，$45＞19$，不符合实际，故舍去$x_2=45$
∴ $x=4$
【答案】
车道的宽为4 m.
【知识点】
一元二次方程的应用，面积计算，实际根取舍
【点评】
本题考查利用一元二次方程解决几何面积的实际问题，解题的关键是准确分析车道的面积构成，避免重复计算交叉区域的面积，求出方程的解后要注意结合实际场景判断根的合理性。
【难度系数】
0.65
