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【例2】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,试求出月销售利润y(元);(用含x的代数式表示,不必写出x的取值范围)
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
解:(1)当销售单价定为每千克55元时,
月销售量为$500-10×(55-50)=450$(千克),
月销售利润为$(55-40)×450=6750$(元).
(2)当销售单价定为每千克x元时,
月销售量为$[500-10×(x-50)]$千克,
每千克的销售利润是$(x-40)$元,
所以月销售利润为$(x-40)[500-10×(x-50)]$元,
即$(-10x^2+1400x-40000)$元,
∴月销售利润$y=-10x^2+1400x-40000$.
(3)要使月销售利润达到8000元,即$y=8000$,
∴$-10x^2+1400x-40000=8000$,
即$x^2-140x+4800=0$,解得$x_1=60,x_2=80$.
当销售单价定为每千克60元时,
月销售量为$500-(60-50)×10=400$(千克),
月销售成本为$40×400=16000$(元);
月销售单价定为每千克80元时,
月销售量为$500-(80-50)×10=200$(千克),
月销售成本为$40×200=8000$(元);
由于$8000＜10000＜16000$,而月销售成本不能超过10000元,
∴销售单价应定为每千克80元.
点拨:用一元二次方程解决以生活、决策、销售等为背景的实际问题是反映时代特色的热点数学问题,解决此类问题,读懂问题、建立方程模型是关键.
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,试求出月销售利润y(元);(用含x的代数式表示,不必写出x的取值范围)
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
解:(1)当销售单价定为每千克55元时,
月销售量为$500-10×(55-50)=450$(千克),
月销售利润为$(55-40)×450=6750$(元).
(2)当销售单价定为每千克x元时,
月销售量为$[500-10×(x-50)]$千克,
每千克的销售利润是$(x-40)$元,
所以月销售利润为$(x-40)[500-10×(x-50)]$元,
即$(-10x^2+1400x-40000)$元,
∴月销售利润$y=-10x^2+1400x-40000$.
(3)要使月销售利润达到8000元,即$y=8000$,
∴$-10x^2+1400x-40000=8000$,
即$x^2-140x+4800=0$,解得$x_1=60,x_2=80$.
当销售单价定为每千克60元时,
月销售量为$500-(60-50)×10=400$(千克),
月销售成本为$40×400=16000$(元);
月销售单价定为每千克80元时,
月销售量为$500-(80-50)×10=200$(千克),
月销售成本为$40×200=8000$(元);
由于$8000＜10000＜16000$,而月销售成本不能超过10000元,
∴销售单价应定为每千克80元.
点拨:用一元二次方程解决以生活、决策、销售等为背景的实际问题是反映时代特色的热点数学问题,解决此类问题,读懂问题、建立方程模型是关键.
答案
解：(1)当销售单价定为每千克55元时，
月销售量为$500-10×(55-50)=450$(千克)，
月销售利润为$(55-40)×450=6750$(元)。
(2)当销售单价定为每千克$x$元时，
月销售量为$[500-10×(x-50)]$千克，
每千克的销售利润是$(x-40)$元，
所以月销售利润$y=(x-40)[500-10×(x-50)]=-10x^2+1400x-40000$。
(3)令$y=8000$，则：
$-10x^2+1400x-40000=8000$，
整理得$x^2-140x+4800=0$，
解得$x_1=60$，$x_2=80$。
当销售单价为60元/千克时，月销售量为$500-(60-50)×10=400$千克，
月销售成本为$40×400=16000$元，$16000＞10000$，不符合成本要求，舍去该解；
当销售单价为80元/千克时，月销售量为$500-(80-50)×10=200$千克，
月销售成本为$40×200=8000$元，$8000＜10000$，符合要求。
答：销售单价应定为每千克80元。
月销售量为$500-10×(55-50)=450$(千克)，
月销售利润为$(55-40)×450=6750$(元)。
(2)当销售单价定为每千克$x$元时，
月销售量为$[500-10×(x-50)]$千克，
每千克的销售利润是$(x-40)$元，
所以月销售利润$y=(x-40)[500-10×(x-50)]=-10x^2+1400x-40000$。
(3)令$y=8000$，则：
$-10x^2+1400x-40000=8000$，
整理得$x^2-140x+4800=0$，
解得$x_1=60$，$x_2=80$。
当销售单价为60元/千克时，月销售量为$500-(60-50)×10=400$千克，
月销售成本为$40×400=16000$元，$16000＞10000$，不符合成本要求，舍去该解；
当销售单价为80元/千克时，月销售量为$500-(80-50)×10=200$千克，
月销售成本为$40×200=8000$元，$8000＜10000$，符合要求。
答：销售单价应定为每千克80元。
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先计算单价较50元的上涨金额，结合“单价每涨1元，月销售量减少10千克”的规则，可算出实际月销售量；再根据“月销售利润=（单千克售价-单千克成本）×月销售量”即可算出利润。
（2）求解第二问时，将售价用x表示，先分别写出单千克利润、月销售量的含x代数式，再根据上述利润公式相乘，整理后即可得到y关于x的表达式。
（3）求解第三问时，先令利润y=8000，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个候选解；再分别计算两个候选解对应的月销售成本，舍去成本超过10000元的解，剩余的解即为最终答案。
【解析】
(1)当销售单价定为每千克55元时，
月销售量为$500-10×(55-50)=450$(千克)，
月销售利润为$(55-40)×450=6750$(元)。
(2)当销售单价定为每千克$x$元时，
月销售量为$[500-10×(x-50)]$千克，
每千克的销售利润是$(x-40)$元，
所以月销售利润$y=(x-40)[500-10×(x-50)]=-10x^2+1400x-40000$。
(3)令$y=8000$，则：
$-10x^2+1400x-40000=8000$，
整理得$x^2-140x+4800=0$，
解得$x_1=60$，$x_2=80$。
当销售单价为60元/千克时，月销售量为$500-(60-50)×10=400$千克，
月销售成本为$40×400=16000$元，$16000＞10000$，不符合成本要求，舍去该解；
当销售单价为80元/千克时，月销售量为$500-(80-50)×10=200$千克，
月销售成本为$40×200=8000$元，$8000＜10000$，符合要求。
答：销售单价应定为每千克80元。
【答案】
(1) 月销售量450千克，月销售利润6750元；
(2) $y=-10x^2+1400x-40000$；
(3) 每千克80元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题验根
【点评】
本题是典型的生活类数学应用问题，重点考查将实际问题转化为数学模型的能力，解题时要注意题干的限制条件，求出方程的解后需验证是否符合实际要求，避免错解。
【难度系数】
0.6
（1）求解第一问时，首先计算单价较50元的上涨金额，结合“单价每涨1元，月销售量减少10千克”的规则，可算出实际月销售量；再根据“月销售利润=（单千克售价-单千克成本）×月销售量”即可算出利润。
（2）求解第二问时，将售价用x表示，先分别写出单千克利润、月销售量的含x代数式，再根据上述利润公式相乘，整理后即可得到y关于x的表达式。
（3）求解第三问时，先令利润y=8000，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个候选解；再分别计算两个候选解对应的月销售成本，舍去成本超过10000元的解，剩余的解即为最终答案。
【解析】
(1)当销售单价定为每千克55元时，
月销售量为$500-10×(55-50)=450$(千克)，
月销售利润为$(55-40)×450=6750$(元)。
(2)当销售单价定为每千克$x$元时，
月销售量为$[500-10×(x-50)]$千克，
每千克的销售利润是$(x-40)$元，
所以月销售利润$y=(x-40)[500-10×(x-50)]=-10x^2+1400x-40000$。
(3)令$y=8000$，则：
$-10x^2+1400x-40000=8000$，
整理得$x^2-140x+4800=0$，
解得$x_1=60$，$x_2=80$。
当销售单价为60元/千克时，月销售量为$500-(60-50)×10=400$千克，
月销售成本为$40×400=16000$元，$16000＞10000$，不符合成本要求，舍去该解；
当销售单价为80元/千克时，月销售量为$500-(80-50)×10=200$千克，
月销售成本为$40×200=8000$元，$8000＜10000$，符合要求。
答：销售单价应定为每千克80元。
【答案】
(1) 月销售量450千克，月销售利润6750元；
(2) $y=-10x^2+1400x-40000$；
(3) 每千克80元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题验根
【点评】
本题是典型的生活类数学应用问题，重点考查将实际问题转化为数学模型的能力，解题时要注意题干的限制条件，求出方程的解后需验证是否符合实际要求，避免错解。
【难度系数】
0.6
