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1. 如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，切点分别为$F,G,H$，点$D,E$分别为$BC,AC$上的点，且$DE$为$\odot O$的切线.
(1)若$∠ C=40°$,求$∠ AOB$的度数；
(2)若$AC=8,AB=6,BC=9$,求$△ CDE$的周长.
(1)若$∠ C=40°$,求$∠ AOB$的度数；
(2)若$AC=8,AB=6,BC=9$,求$△ CDE$的周长.
答案
1. (1)
∵ ∠C=40°,
∴ ∠ABC+∠BAC=180°-40°=140°.
∵ ⊙O 为△ABC 的内切圆,
∴ ∠BAO = ∠CAO, ∠ABO = ∠CBO,
∴ ∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$×140°=70°,
∴ ∠AOB=180°-70°=110°.
(2)如图,
∵ ⊙O 为△ABC 的内切圆,DE 为⊙O 的切线,设切点为 I,
∴ EH=EI,DI=DG,
∴ △CDE 的周长为 CD+CE+DE = CD+CE+EI+DI=CD+CE+EH+DG=CG+CH.
∵ AF=AH,BF=BG,CG=CH,
∴ CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG)= 8+6+9-2AB= 8+6+9-2×6=11,即△CDE 的周长为 11.
解析
【分析】
(1) 求∠AOB的度数时，首先明确三角形内切圆的圆心是内角角平分线的交点，因此AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC。先根据三角形内角和求出∠BAC与∠ABC的和，再计算两个角的一半的和，最后用三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
(2) 求△CDE的周长时，核心是利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。首先将DE拆分为两段切线段，把△CDE的周长转化为CG与CH的和；再结合内切圆的切线长关系，推导CG+CH和△ABC三边的关系，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 已知∠C=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC+∠ BAC=180°-∠ C=180°-40°=140°$
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，即$∠ BAO = ∠ CAO$，$∠ ABO = ∠ CBO$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△AOB中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-70°=110°$。
(2) 设DE与⊙O的切点为I，根据切线长定理可得：$EH=EI$，$DI=DG$，同时内切圆切点满足$AF=AH$，$BF=BG$，$CG=CH$。
则△CDE的周长为：
$CD+CE+DE = CD+CE+EI+DI$
将$EI=EH$、$DI=DG$代入得：
周长$=CD+CE+EH+DG=(CD+DG)+(CE+EH)=CG+CH$
又
∵$CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG)$，且$AH=AF$，$BF=BG$，因此：
$CG+CH=AB+BC+AC-2(AF+BF)=AB+BC+AC-2AB$
代入$AB=6$，$AC=8$，$BC=9$得：
$CG+CH=6+8+9-2×6=11$，即△CDE的周长为11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{110°}$
(2) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 切线长定理
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的典型考题，难度适中，第一问侧重角平分线性质和内角和定理的结合应用，第二问的解题关键是利用切线长定理对周长进行线段转化，能很好地考查学生对切线相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠AOB的度数时，首先明确三角形内切圆的圆心是内角角平分线的交点，因此AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC。先根据三角形内角和求出∠BAC与∠ABC的和，再计算两个角的一半的和，最后用三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
(2) 求△CDE的周长时，核心是利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等。首先将DE拆分为两段切线段，把△CDE的周长转化为CG与CH的和；再结合内切圆的切线长关系，推导CG+CH和△ABC三边的关系，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 已知∠C=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC+∠ BAC=180°-∠ C=180°-40°=140°$
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，即$∠ BAO = ∠ CAO$，$∠ ABO = ∠ CBO$，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△AOB中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-70°=110°$。
(2) 设DE与⊙O的切点为I，根据切线长定理可得：$EH=EI$，$DI=DG$，同时内切圆切点满足$AF=AH$，$BF=BG$，$CG=CH$。
则△CDE的周长为：
$CD+CE+DE = CD+CE+EI+DI$
将$EI=EH$、$DI=DG$代入得：
周长$=CD+CE+EH+DG=(CD+DG)+(CE+EH)=CG+CH$
又
∵$CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG)$，且$AH=AF$，$BF=BG$，因此：
$CG+CH=AB+BC+AC-2(AF+BF)=AB+BC+AC-2AB$
代入$AB=6$，$AC=8$，$BC=9$得：
$CG+CH=6+8+9-2×6=11$，即△CDE的周长为11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{110°}$
(2) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
1. 三角形内切圆性质
2. 切线长定理
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的典型考题，难度适中，第一问侧重角平分线性质和内角和定理的结合应用，第二问的解题关键是利用切线长定理对周长进行线段转化，能很好地考查学生对切线相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$\odot O$是它的内切圆,与$AB$,$BC$,$CA$分别切于点$D$,$E$,$F$.
(1)若$∠ DOE=130°$,则$∠ ACB=$
(2)若$AB=3$,$AC=4$,求$\odot O$的半径.
(1)若$∠ DOE=130°$,则$∠ ACB=$
40°
;(2)若$AB=3$,$AC=4$,求$\odot O$的半径.
答案
2. (1)40° 解析:
∵ AB,BC 是⊙O 的切线,
∴ ∠BDO=∠BEO=90°.又
∵ ∠DOE=130°,
∴ ∠B=50°.
∵ ∠A=90°,
∴ ∠ACB=40°.
(2)如图,连结 OF,AO,BO,CO,
∵ AB,AC,BC 是⊙O 的切线,
∴ OD⊥AB,OF⊥AC,OE⊥BC.
∵ AB=3,AC=4,∠BAC=90°,
∴ BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}$ = $\sqrt{9+16}$ = 5.
∵ $S_{△ABC}$ = $S_{△ABO}$ + $S_{△ACO}$ + $S_{△BOC}$,
∴ $\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}$×AB×OD+$\frac{1}{2}$×AC×FO+$\frac{1}{2}$×BC×OE,
∴ 3×4=(3+4+5)OD.
∴ OD=1,
∴ ⊙O 的半径为 1.
解析
【分析】
(1) 先根据切线的性质得到切线与过切点半径垂直，得出四边形BDOE的两个直角，再结合四边形内角和为360°求出∠B的度数，最后利用直角三角形两锐角互余计算∠ACB。
(2) 先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长，再利用面积法，将大三角形面积拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和，代入数据列方程求解内切圆半径。
【解析】
(1)
∵AB、BC是⊙O的切线，D、E为切点
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即∠BDO=∠BEO=90°
∵四边形BDOE内角和为360°，∠DOE=130°
∴∠B=360°-90°-90°-130°=50°
又
∵Rt△ABC中∠A=90°
∴∠ACB=90°-∠B=90°-50°=40°
(2) 如图，连结OF、AO、BO、CO，
∵AB、AC、BC是⊙O的切线，D、E、F为切点
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，且OD=OE=OF=r（r为⊙O半径）
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=90°
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵$S_{△ABC}=S_{△ABO}+S_{△ACO}+S_{△BOC}$
∴$\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×AB×r+\frac{1}{2}×AC×r+\frac{1}{2}×BC×r$
两边同乘2得：$3×4=(3+4+5)r$
解得r=1
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{1}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，内切圆半径计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础题型，第一问结合切线性质和多边形内角和求角度，难度较低；第二问考查的面积法是求内切圆半径的常用方法，需熟练掌握三角形面积拆分的思路。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据切线的性质得到切线与过切点半径垂直，得出四边形BDOE的两个直角，再结合四边形内角和为360°求出∠B的度数，最后利用直角三角形两锐角互余计算∠ACB。
(2) 先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边长，再利用面积法，将大三角形面积拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和，代入数据列方程求解内切圆半径。
【解析】
(1)
∵AB、BC是⊙O的切线，D、E为切点
∴OD⊥AB，OE⊥BC，即∠BDO=∠BEO=90°
∵四边形BDOE内角和为360°，∠DOE=130°
∴∠B=360°-90°-90°-130°=50°
又
∵Rt△ABC中∠A=90°
∴∠ACB=90°-∠B=90°-50°=40°
(2) 如图，连结OF、AO、BO、CO，
∵AB、AC、BC是⊙O的切线，D、E、F为切点
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，且OD=OE=OF=r（r为⊙O半径）
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=90°
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵$S_{△ABC}=S_{△ABO}+S_{△ACO}+S_{△BOC}$
∴$\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×AB×r+\frac{1}{2}×AC×r+\frac{1}{2}×BC×r$
两边同乘2得：$3×4=(3+4+5)r$
解得r=1
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{1}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，内切圆半径计算
【点评】
本题是三角形内切圆的基础题型，第一问结合切线性质和多边形内角和求角度，难度较低；第二问考查的面积法是求内切圆半径的常用方法，需熟练掌握三角形面积拆分的思路。
【难度系数】
0.7
