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7. 观察下列图形，能说明“锐角α、锐角β的和是锐角”的假命题是（
C
）。答案
7.C
解析
【分析】
要说明“锐角α、锐角β的和是锐角”是假命题，只需举出反例即可，反例需要满足命题的条件（α、β均为锐角），但不满足命题的结论（α+β是锐角），即找到锐角α、β使得α+β≥90°，逐一分析各选项中两角和的范围即可解题。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：观察图形可得，锐角α与锐角β的和明显小于90°，和为锐角，符合命题结论，不能作为反例；
2. 选项B：两个锐角摆放在平边上，剩余角度大于90°，因此α+β＜90°，和为锐角，符合命题结论，不能作为反例；
3. 选项C：α、β是锐角三角形的两个内角，根据三角形内角和为180°，可得α+β=180°-第三个锐角，由于第三个锐角小于90°，因此α+β＞90°，即两个锐角的和为钝角，不满足“和是锐角”的结论，可作为反例证明该命题是假命题；
4. 选项D：观察图形可得，α+β＜90°，和为锐角，符合命题结论，不能作为反例。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 假命题与反例
2. 三角形内角和定理
3. 角的和差判断
【点评】
本题解题关键是掌握反例的特征：符合命题的题设，但不符合命题的结论，结合图形的角的位置关系或者三角形内角和定理判断两角和的范围即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要说明“锐角α、锐角β的和是锐角”是假命题，只需举出反例即可，反例需要满足命题的条件（α、β均为锐角），但不满足命题的结论（α+β是锐角），即找到锐角α、β使得α+β≥90°，逐一分析各选项中两角和的范围即可解题。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：观察图形可得，锐角α与锐角β的和明显小于90°，和为锐角，符合命题结论，不能作为反例；
2. 选项B：两个锐角摆放在平边上，剩余角度大于90°，因此α+β＜90°，和为锐角，符合命题结论，不能作为反例；
3. 选项C：α、β是锐角三角形的两个内角，根据三角形内角和为180°，可得α+β=180°-第三个锐角，由于第三个锐角小于90°，因此α+β＞90°，即两个锐角的和为钝角，不满足“和是锐角”的结论，可作为反例证明该命题是假命题；
4. 选项D：观察图形可得，α+β＜90°，和为锐角，符合命题结论，不能作为反例。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 假命题与反例
2. 三角形内角和定理
3. 角的和差判断
【点评】
本题解题关键是掌握反例的特征：符合命题的题设，但不符合命题的结论，结合图形的角的位置关系或者三角形内角和定理判断两角和的范围即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 下列命题是假命题的是(
A.一个锐角的补角大于这个角
B.凡能被2整除的数，个位数字必是偶数
C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D.相反数等于它本身的数是0
C
)。A.一个锐角的补角大于这个角
B.凡能被2整除的数，个位数字必是偶数
C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D.相反数等于它本身的数是0
答案
8.C
解析
【分析】
本题要求选出假命题，解题的核心思路是：首先明确假命题的定义——当命题的题设成立时，结论不一定成立的命题即为假命题，随后逐一结合对应知识点分析每个选项的命题是否成立，尤其要注意数学定理、性质的适用前提，不能遗漏限定条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 锐角是大于0°且小于90°的角，它的补角为$180°$减去这个锐角，计算可知补角的度数大于90°，因此锐角的补角一定大于这个锐角，该命题是真命题；
B. 能被2整除的数是偶数，偶数的个位数字只能是0、2、4、6、8，均为偶数，该命题是真命题；
C. 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，若两条直线不平行，同旁内角不互补，本选项的命题缺少“两直线平行”的前提条件，因此是假命题；
D. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，只有0的相反数等于它本身，该命题是真命题。
综上，假命题是C选项。
【答案】
C
【知识点】
真假命题判定，平行线的性质，补角与相反数概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对常见数学性质、定义的掌握程度，解题时需格外注意定理的限定前提，避免因忽略条件出现判断错误。
【难度系数】
0.8
本题要求选出假命题，解题的核心思路是：首先明确假命题的定义——当命题的题设成立时，结论不一定成立的命题即为假命题，随后逐一结合对应知识点分析每个选项的命题是否成立，尤其要注意数学定理、性质的适用前提，不能遗漏限定条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 锐角是大于0°且小于90°的角，它的补角为$180°$减去这个锐角，计算可知补角的度数大于90°，因此锐角的补角一定大于这个锐角，该命题是真命题；
B. 能被2整除的数是偶数，偶数的个位数字只能是0、2、4、6、8，均为偶数，该命题是真命题；
C. 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，若两条直线不平行，同旁内角不互补，本选项的命题缺少“两直线平行”的前提条件，因此是假命题；
D. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，只有0的相反数等于它本身，该命题是真命题。
综上，假命题是C选项。
【答案】
C
【知识点】
真假命题判定，平行线的性质，补角与相反数概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对常见数学性质、定义的掌握程度，解题时需格外注意定理的限定前提，避免因忽略条件出现判断错误。
【难度系数】
0.8
9. 填空。
(1)“同角的余角相等”中条件是
结论是
是
(2)命题“若 $ ab=0 $，则 $ a=0 $”是
(3)把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是
(1)“同角的余角相等”中条件是
如果两个角是同一个角的余角
；结论是
这两个角相等
；是
真
命题(填“真”或“假”)；(2)命题“若 $ ab=0 $，则 $ a=0 $”是
假
(填“真”或“假”)命题。若是假命题，请举一个反例，如$a=1,b=0$(答案不唯一)
。(3)把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
。答案
9.(1)如果两个角是同一个角的余角 这两个角相等 真
(2)假 $a=1,b=0$(答案不唯一)
(3)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
(2)假 $a=1,b=0$(答案不唯一)
(3)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
解析
【分析】
解决这类问题核心是掌握命题的基本结构和真假命题的判断方法：①所有命题都可以改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后面的内容是条件，“那么”后面的内容是结论；②判断真命题需要验证条件成立时结论一定成立，判断假命题只需举出1个满足条件但不满足结论的反例即可。具体各小问思路：
(1)先将“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式，即可拆分出条件和结论，再结合余角的性质判断命题真假；
(2)分析ab=0的所有可能情况，判断是否只要ab=0就一定有a=0，若存在反例则为假命题；
(3)先拆分“对顶角相等”的条件和结论，再将两者互换后整理为完整命题即可。
【解析】
(1)将“同角的余角相等”改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。因此条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”；根据余角的性质，同角的余角必然相等，因此是真命题。
(2)当ab=0时，存在两种情况：a=0或b=0，例如取a=1，b=0，此时ab=1×0=0，满足命题的条件，但a=1≠0，不满足命题的结论，因此该命题是假命题，反例可举a=1，b=0（答案不唯一）。
(3)先将“对顶角相等”改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。互换条件和结论后得到的新命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
【答案】
(1)如果两个角是同一个角的余角；这两个角相等；真
(2)假；$a=1,b=0$（答案不唯一）
(3)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【知识点】
命题的组成；真假命题判断；逆命题改写
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，解题关键是熟练掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法，明确假命题的判断核心是找到符合条件但不符合结论的反例，属于基础概念应用题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解决这类问题核心是掌握命题的基本结构和真假命题的判断方法：①所有命题都可以改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后面的内容是条件，“那么”后面的内容是结论；②判断真命题需要验证条件成立时结论一定成立，判断假命题只需举出1个满足条件但不满足结论的反例即可。具体各小问思路：
(1)先将“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式，即可拆分出条件和结论，再结合余角的性质判断命题真假；
(2)分析ab=0的所有可能情况，判断是否只要ab=0就一定有a=0，若存在反例则为假命题；
(3)先拆分“对顶角相等”的条件和结论，再将两者互换后整理为完整命题即可。
【解析】
(1)将“同角的余角相等”改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。因此条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”；根据余角的性质，同角的余角必然相等，因此是真命题。
(2)当ab=0时，存在两种情况：a=0或b=0，例如取a=1，b=0，此时ab=1×0=0，满足命题的条件，但a=1≠0，不满足命题的结论，因此该命题是假命题，反例可举a=1，b=0（答案不唯一）。
(3)先将“对顶角相等”改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。互换条件和结论后得到的新命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
【答案】
(1)如果两个角是同一个角的余角；这两个角相等；真
(2)假；$a=1,b=0$（答案不唯一）
(3)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【知识点】
命题的组成；真假命题判断；逆命题改写
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，解题关键是熟练掌握将命题改写为“如果……那么……”形式的方法，明确假命题的判断核心是找到符合条件但不符合结论的反例，属于基础概念应用题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10. 给出下列命题:①等角的补角相等;②如果$a// b,c// a$,那么$b// c$;③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等;④同位角相等。其中真命题有
①②
。(填序号)答案
10. ①②
解析
【分析】
要判断给出的命题哪些是真命题，需结合已学的几何性质，逐个分析每个命题的正确性，注意判断时要关注命题是否缺少成立的前提条件，有没有特殊情况未考虑到。
【解析】
我们对每个命题逐一判断：
1. 命题①：根据补角的定义，若两个角相等，设这两个角都为α，则它们的补角均为$180°-α$，因此等角的补角相等，是真命题。
2. 命题②：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，已知$a// b$，$c// a$，因此$b// c$，是真命题。
3. 命题③：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，并非一定相等，因此该命题是假命题。
4. 命题④：只有当两条被截直线平行时，同位角才相等，命题没有给出“两直线平行”的前提，因此不成立，是假命题。
综上，真命题为①②。
【答案】
①②
【知识点】
补角的性质；平行公理推论；真假命题判断
【点评】
本题考查基础几何定理和性质的应用，易错点在于判断命题时容易忽略定理成立的前提条件，或是遗漏特殊情况（如两边分别平行的两个角还可能互补），学习时要准确记清定理的完整表述。
【难度系数】
0.7
要判断给出的命题哪些是真命题，需结合已学的几何性质，逐个分析每个命题的正确性，注意判断时要关注命题是否缺少成立的前提条件，有没有特殊情况未考虑到。
【解析】
我们对每个命题逐一判断：
1. 命题①：根据补角的定义，若两个角相等，设这两个角都为α，则它们的补角均为$180°-α$，因此等角的补角相等，是真命题。
2. 命题②：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，已知$a// b$，$c// a$，因此$b// c$，是真命题。
3. 命题③：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，并非一定相等，因此该命题是假命题。
4. 命题④：只有当两条被截直线平行时，同位角才相等，命题没有给出“两直线平行”的前提，因此不成立，是假命题。
综上，真命题为①②。
【答案】
①②
【知识点】
补角的性质；平行公理推论；真假命题判断
【点评】
本题考查基础几何定理和性质的应用，易错点在于判断命题时容易忽略定理成立的前提条件，或是遗漏特殊情况（如两边分别平行的两个角还可能互补），学习时要准确记清定理的完整表述。
【难度系数】
0.7
11. 请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明。
(1)若$a＞b$，则$a^2＞b^2$；
(2)两个无理数的和仍是无理数；
(3)若三角形三边长$a,b,c$满足$(a-b)· (b-c)· (c-a)=0$，则该三角形是等边三角形；
(4)若三条线段$a,b,c$满足$a+b＞c$，则这三条线段$a,b,c$能够组成三角形。
(1)若$a＞b$，则$a^2＞b^2$；
(2)两个无理数的和仍是无理数；
(3)若三角形三边长$a,b,c$满足$(a-b)· (b-c)· (c-a)=0$，则该三角形是等边三角形；
(4)若三条线段$a,b,c$满足$a+b＞c$，则这三条线段$a,b,c$能够组成三角形。
答案
11.解:(1)是假命题，例如:$0＞-1$，但$0^2＜(-1)^2$。
(2)是假命题，例如:$-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$，和是有理数。
(3)是假命题，例如:$a=b,b≠c$时，$(a-b)· (b-c)(c-a)=0$，该三角形是等腰三角形。
(4)是假命题，例如:三条线段$a=3,b=2,c=1$满足$a+b＞c$，但这三条线段不能够组成三角形。
(2)是假命题，例如:$-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$，和是有理数。
(3)是假命题，例如:$a=b,b≠c$时，$(a-b)· (b-c)(c-a)=0$，该三角形是等腰三角形。
(4)是假命题，例如:三条线段$a=3,b=2,c=1$满足$a+b＞c$，但这三条线段不能够组成三角形。
解析
【分析】
判断命题真假的核心方法：若命题为真，需要通过严谨的逻辑推导证明结论成立；若命题为假，只需举出1个符合命题条件、但不符合命题结论的反例即可。我们逐个分析4个命题：
(1)平方的大小和数的正负有关，当正数大于负数时，正数的平方不一定大于负数的平方，可据此找反例；
(2)互为相反数的两个无理数相加和为0（有理数），可据此找反例；
(3)多个因式乘积为0时，只要其中1个因式为0即可，因此只需有两边相等等式就成立，不一定三边都相等，可据此找反例；
(4)三角形三边关系要求“任意两边之和大于第三边”，仅一组两边之和大于第三边不满足要求，可据此找反例。
【解析】
我们逐个判断各命题的真假：
(1) 命题为假。当a=0、b=-1时，满足a＞b的条件，但$0^2=0$，$(-1)^2=1$，$0^2＜(-1)^2$，不满足$a^2＞b^2$的结论。
(2) 命题为假。取两个无理数$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$，二者的和为$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，不满足“和仍是无理数”的结论。
(3) 命题为假。当a=b、b≠c时，$(a-b)=0$，因此$(a-b)·(b-c)·(c-a)=0$，满足条件，但此时三角形只有两边相等，是等腰三角形，不是等边三角形，不符合结论。
(4) 命题为假。取a=3、b=2、c=1，满足$a+b=5＞1=c$的条件，但$b+c=3=a$，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合结论。
【答案】
(1)是假命题，例如:$0＞-1$，但$0^2＜(-1)^2$。
(2)是假命题，例如:$-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$，和是有理数。
(3)是假命题，例如:$a=b,b≠c$时，$(a-b)· (b-c)(c-a)=0$，该三角形是等腰三角形。
(4)是假命题，例如:三条线段$a=3,b=2,c=1$满足$a+b＞c$，但这三条线段不能够组成三角形。
【知识点】
真假命题判断、无理数的运算、三角形三边关系
【点评】
本题重点考查假命题的判定方法，举反例是判断假命题的核心技巧，要求学生熟练掌握数的运算性质、三角形相关基础概念，尤其要注意概念中的限定条件，避免忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
判断命题真假的核心方法：若命题为真，需要通过严谨的逻辑推导证明结论成立；若命题为假，只需举出1个符合命题条件、但不符合命题结论的反例即可。我们逐个分析4个命题：
(1)平方的大小和数的正负有关，当正数大于负数时，正数的平方不一定大于负数的平方，可据此找反例；
(2)互为相反数的两个无理数相加和为0（有理数），可据此找反例；
(3)多个因式乘积为0时，只要其中1个因式为0即可，因此只需有两边相等等式就成立，不一定三边都相等，可据此找反例；
(4)三角形三边关系要求“任意两边之和大于第三边”，仅一组两边之和大于第三边不满足要求，可据此找反例。
【解析】
我们逐个判断各命题的真假：
(1) 命题为假。当a=0、b=-1时，满足a＞b的条件，但$0^2=0$，$(-1)^2=1$，$0^2＜(-1)^2$，不满足$a^2＞b^2$的结论。
(2) 命题为假。取两个无理数$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$，二者的和为$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，不满足“和仍是无理数”的结论。
(3) 命题为假。当a=b、b≠c时，$(a-b)=0$，因此$(a-b)·(b-c)·(c-a)=0$，满足条件，但此时三角形只有两边相等，是等腰三角形，不是等边三角形，不符合结论。
(4) 命题为假。取a=3、b=2、c=1，满足$a+b=5＞1=c$的条件，但$b+c=3=a$，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合结论。
【答案】
(1)是假命题，例如:$0＞-1$，但$0^2＜(-1)^2$。
(2)是假命题，例如:$-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$，和是有理数。
(3)是假命题，例如:$a=b,b≠c$时，$(a-b)· (b-c)(c-a)=0$，该三角形是等腰三角形。
(4)是假命题，例如:三条线段$a=3,b=2,c=1$满足$a+b＞c$，但这三条线段不能够组成三角形。
【知识点】
真假命题判断、无理数的运算、三角形三边关系
【点评】
本题重点考查假命题的判定方法，举反例是判断假命题的核心技巧，要求学生熟练掌握数的运算性质、三角形相关基础概念，尤其要注意概念中的限定条件，避免忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
12.如图，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①$∠ A=∠ C$；②$AD=CB$；③$AE=CE$。请你以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，写出所有能构成的命题，并判断其真假性。
答案
12.解:构成三个命题:①②⇒③(真);①③⇒②(真);②③⇒①(假)。
解析
【分析】
首先根据命题的构成规则，从3个条件中任选2个作为题设，剩余1个作为结论，共可构造3个命题。判断命题真假时，利用图中AB与CD相交形成的对顶角∠AED=∠CEB，结合给出的条件判断△AED和△CEB是否全等：若能证明全等，则对应边/对应角相等，命题为真；若无法证明全等，则命题为假。
【解析】
一共可以构造3个命题，判断如下：
1. 条件：①$∠ A=∠ C$，②$AD=CB$，结论：③$AE=CE$
在$△ AED$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\∠ AED=∠ CEB \mathrm{（对顶角相等）} \\AD=CB\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CEB(\mathrm{AAS})$，$\therefore AE=CE$，该命题为真命题。
2. 条件：①$∠ A=∠ C$，③$AE=CE$，结论：②$AD=CB$
在$△ AED$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AE=CE \\∠ AED=∠ CEB \mathrm{（对顶角相等）}\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CEB(\mathrm{ASA})$，$\therefore AD=CB$，该命题为真命题。
3. 条件：②$AD=CB$，③$AE=CE$，结论：①$∠ A=∠ C$
已知$AD=CB$、$AE=CE$，加上对顶角$∠ AED=∠ CEB$，属于“SSA”的条件，不符合三角形全等的判定定理，无法证明$△ AED≌△ CEB$，因此不能推出$∠ A=∠ C$，该命题为假命题。
【答案】
能构成3个命题：①②⇒③（真）；①③⇒②（真）；②③⇒①（假）
【知识点】
命题的组成；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题核心是结合三角形全等知识判断命题真假，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其注意“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，避免误判第三个命题的真假。
【难度系数】
0.7
首先根据命题的构成规则，从3个条件中任选2个作为题设，剩余1个作为结论，共可构造3个命题。判断命题真假时，利用图中AB与CD相交形成的对顶角∠AED=∠CEB，结合给出的条件判断△AED和△CEB是否全等：若能证明全等，则对应边/对应角相等，命题为真；若无法证明全等，则命题为假。
【解析】
一共可以构造3个命题，判断如下：
1. 条件：①$∠ A=∠ C$，②$AD=CB$，结论：③$AE=CE$
在$△ AED$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\∠ AED=∠ CEB \mathrm{（对顶角相等）} \\AD=CB\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CEB(\mathrm{AAS})$，$\therefore AE=CE$，该命题为真命题。
2. 条件：①$∠ A=∠ C$，③$AE=CE$，结论：②$AD=CB$
在$△ AED$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AE=CE \\∠ AED=∠ CEB \mathrm{（对顶角相等）}\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CEB(\mathrm{ASA})$，$\therefore AD=CB$，该命题为真命题。
3. 条件：②$AD=CB$，③$AE=CE$，结论：①$∠ A=∠ C$
已知$AD=CB$、$AE=CE$，加上对顶角$∠ AED=∠ CEB$，属于“SSA”的条件，不符合三角形全等的判定定理，无法证明$△ AED≌△ CEB$，因此不能推出$∠ A=∠ C$，该命题为假命题。
【答案】
能构成3个命题：①②⇒③（真）；①③⇒②（真）；②③⇒①（假）
【知识点】
命题的组成；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题核心是结合三角形全等知识判断命题真假，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其注意“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，避免误判第三个命题的真假。
【难度系数】
0.7
