角的平分线
一般地,从一个角的顶点出发,把这个角
分成两个的角的射线,叫作这个角的
.类似地,还有角的三等分线等.

相等 平分线

【分析】
这是一道概念识记类填空题，解题核心是回忆角平分线的标准定义。首先明确角平分线的两个核心属性：①是从角的顶点出发的射线；②可以将原角分成两个大小完全相同的角，符合这两个特征的射线就是该角的平分线，对应空缺位置依次填入对应的描述即可。
【解析】
根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。因此第一个空填“相等”，第二个空填“平分线”。
【答案】
相等 平分线
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，主要考查对基础定义的记忆与掌握程度，难度较低，只要熟记相关定义就能轻松作答，日常学习中要重视基础概念的理解与识记，避免在基础题上失分。
【难度系数】
0.95

典例1 已知OD,OE是∠AOC的三等分线，OF,OG是∠BOC的三等分线，则下列结论正确的有().

A.$∠ EOF = \frac{1}{3}∠ AOB$
B.$∠ COF = ∠ COD$
C.OC是∠DOG的平分线
D.若$∠ FOG = 2∠ DOE$，则∠AOE与∠BOF的和为90°

1. A 解析 因为$OD$，$OE$是$∠ AOC$的三等分线，$OF$，$OG$是$∠ BOC$的三等分线，所以$∠ AOD = ∠ EOD = ∠ COE = \frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BOG = ∠ GOF = ∠ FOC = \frac{1}{3}∠ COB$. 所以$∠ EOF = \frac{1}{3}∠ AOB$，故A正确；不能判断∠COF与∠COD的大小关系及∠COD与∠COG的大小关系，故B，C不正确；若∠FOG = 2∠DOE，因为∠AOE = 2∠DOE，∠FOG=∠FOC，所以∠AOE+∠BOF=∠BOC，而∠BOC的大小无法判断，故D不正确。故选A。

【分析】
解题时先利用角的三等分线的性质，将各个小角用对应的大角表示，再结合角的和差关系逐个验证选项：涉及角的等量关系的选项，需判断是否有足够条件确定两个角相等；涉及具体角度的选项，要确认总角的度数是否可求，避免无依据推导结论。
【解析】
已知OD、OE是∠AOC的三等分线，OF、OG是∠BOC的三等分线，因此可得：
$∠ AOD = ∠ DOE = ∠ COE = \frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BOG = ∠ FOG = ∠ COF = \frac{1}{3}∠ BOC$。
对各选项逐一分析：
选项A：$∠ EOF = ∠ COE + ∠ COF = \frac{1}{3}∠ AOC + \frac{1}{3}∠ BOC = \frac{1}{3}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{1}{3}∠ AOB$，结论成立。
选项B：$∠ COF = \frac{1}{3}∠ BOC$，$∠ COD = ∠ COE + ∠ DOE = \frac{2}{3}∠ AOC$，题中未给出$∠ BOC$和$∠ AOC$的大小关系，无法判断$∠ COF$与$∠ COD$是否相等，结论不成立。
选项C：若OC平分$∠ DOG$，需满足$∠ COD = ∠ COG$，而$∠ COG = ∠ COF + ∠ FOG = \frac{2}{3}∠ BOC$，无法确定$\frac{2}{3}∠ AOC$与$\frac{2}{3}∠ BOC$是否相等，结论不成立。
选项D：若$∠ FOG = 2∠ DOE$，则$\frac{1}{3}∠ BOC = 2× \frac{1}{3}∠ AOC$，即$∠ BOC = 2∠ AOC$。此时$∠ AOE = \frac{2}{3}∠ AOC$，$∠ BOF = \frac{2}{3}∠ BOC$，两者之和为$\frac{2}{3}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{2}{3}∠ AOB$，题中未给出$∠ AOB$的度数，无法得出和为$90°$，结论不成立。
综上只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
角的三等分线，角的和差计算，角的大小比较
【点评】
本题主要考查角的等分线性质的应用，解题关键是根据三等分线的性质将未知角用大角表示，再结合给定条件判断结论是否成立，注意不要默认未知角的大小关系。
【难度系数】
0.6

典例解析
典例1
答案A
解析 因为$OD$，$OE$是$∠ AOC$的三等分线，$OF$，$OG$是$∠ BOC$的三等分线，所以$∠ AOD = ∠ EOD = ∠ COE = \frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BOG = ∠ GOF = ∠ FOC = \frac{1}{3}∠ COB$. 所以$∠ EOF = \frac{1}{3}∠ AOB$，故A正确；不能判断
个顶点与$O$重合，$∠ COD = 30°$，$OM$平分$∠ AOD$.若$OD$在射线$OB$上，则$∠ COM =$.

1. 45° 解析 因为 OM 平分∠AOD，∠AOB=150°，所以∠DOM=1/2∠AOB=75°。因为∠COD=30°，所以∠COM=∠DOM−∠COD=75°−30°=45°。

【分析】解题时先梳理已知条件：首先由OD在射线OB上，可知∠AOD=∠AOB=150°；再结合OM平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义可求出∠DOM的度数；最后已知∠COD=30°，观察角的位置关系，利用角的差运算，用∠DOM减去∠COD就能得到∠COM的度数。
【解析】解：
∵ OD在射线OB上，
∴ ∠AOD=∠AOB=150°，
∵ OM平分∠AOD，
∴ $∠ DOM = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 150° = 75°$，
又
∵ $∠ COD=30°$，
∴ $∠ COM = ∠ DOM - ∠ COD = 75° - 30° = 45°$。
【答案】$45°$
【知识点】角平分线的定义；角的和差计算
【点评】本题属于角的计算类基础题，解题的核心是根据射线OD的位置确定∠AOD的度数，再结合角平分线的定义和角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】0.8

2. 角的乘除运算
典例2 $5° 27' × 3 - 49° 54' ÷ 6 =$
.

2. 8°2' 解析 $5°27'×3 - 49°54'÷6 = 15°81' - 8°19' = 7°62' = 8°2'$。

【分析】
本题是度分秒的混合运算，解题思路遵循有理数混合运算顺序，先算乘除，再算加减。首先计算乘法部分：将度和分分别与乘数相乘，得到乘积结果；再计算除法部分：将度和分分别除以除数，若度除以除数有余数，就将余数转化为分和原有分合并后再除以除数，得到除法结果；最后将两个结果相减，计算时注意度分秒为60进制，分满60要向度进位，不够减时要从度借1当60再计算，最终整理为规范的度分表示形式。
【解析】
解：按照先乘除后加减的顺序计算：
1. 计算乘法：
$5°27' × 3 = 5°×3 + 27'×3 = 15° + 81' = 15°81'$
2. 计算除法：
先算度：$49°÷6 = 8°\dots\dots1°$，将余数$1°$转化为$60'$，和原有$54'$合并得$60'+54'=114'$
再算分：$114'÷6 = 19'$
因此$49°54' ÷ 6 = 8°19'$
3. 计算减法：
$15°81' - 8°19' = (15°-8°) + (81'-19') = 7° + 62'$
因为$62' = 1°2'$，所以$7°+1°2' = 8°2'$
【答案】
$8°2'$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 角的四则运算
【点评】
本题属于角的运算基础题，核心是掌握度分秒的60进制规则，运算时严格按照先乘除后加减的顺序，注意进位、借位的换算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

举一反三 计算：
(1)$\frac{1}{3}×64°12'$；
(2)$65°24'÷4$。
∠COF与∠COD的大小关系及∠COD与∠COG的大小关系，故B，C不正确；若∠FOG = 2∠DOE，因为∠AOE = 2∠DOE，∠FOG=∠FOC，所以∠AOE+∠BOF=∠BOC，而∠BOC的大小无法判断，故D不正确。故选A。
典例2
答案$8°2'$
解析 $5°27'×3 - 49°54'÷6 = 15°81' - 8°19' = 7°62' = 8°2'$。

1. 解 (1) $\frac{1}{3}×64°12' = \frac{1}{3}×64° + \frac{1}{3}×12' = 21° + \frac{1}{3}×60' + 4' = 21°24'$。(2) $65°24'÷4 = 64°84'÷4 = 16°21'$。

【分析】
解决这类度分秒的运算问题，首先要明确度和分是60进制（$1°=60'$）：
1. 计算含分数的乘法时，可将度和分拆分后分别乘这个分数，若度的部分计算后有余数，把余数换算成分，再和分的运算结果相加即可；
2. 计算除法时，若度的部分除以除数有余数，把余数换算成分，和原有分的数值合并后再除以除数，分别计算度、分的结果再合并。
【解析】
(1) 计算$\frac{1}{3}×64°12'$，将度和分拆分分别运算：
$\frac{1}{3}×64°12' = \frac{1}{3}×64° + \frac{1}{3}×12'$
$64°÷3=21°$余$1°$，将$1°$换算为$60'$，则$60'×\frac{1}{3}=20'$，$\frac{1}{3}×12'=4'$
合并得：$21°+20'+4'=21°24'$
(2) 计算$65°24'÷4$，先处理度的部分的余数：
$65°÷4=16°$余$1°$，将$1°$换算为$60'$，和原有$24'$合并得$60'+24'=84'$
则$65°24'÷4=64°84'÷4=64°÷4 + 84'÷4=16°+21'=16°21'$
【答案】
(1) $21°24'$；(2) $16°21'$
【知识点】
1. 度分秒的换算
2. 度分秒的乘除运算
【点评】
本题主要考查度分秒的四则运算，解题的关键是熟练掌握度分秒的60进制换算规则，运算时分别对度、分进行计算，出现余数或不够除的情况先换算单位再运算，避免误将进制当成十进制出错。
【难度系数】
0.8