2.用加减消元法解方程组$\begin{cases} 2x-3y=4,\textcircled{1}\\ 3x+2y=-2,\textcircled{2}\\ \end{cases}$下
列解法正确的是()。

A.$\textcircled{1}×3+\textcircled{2}×2$,消去y
B.$\textcircled{1}×2-\textcircled{2}×3$,消去y
C.$\textcircled{1}×(-3)+\textcircled{2}×2$,消去x
D.$\textcircled{1}×2-\textcircled{2}×3$,消去x

2.C

【分析】
要解决这道题，需明确加减消元法的核心：通过给方程乘以适当系数，使某个未知数的系数互为相反数（相加消元）或相等（相减消元），进而消去该未知数。我们可以从消去x和消去y两种情况分别分析：
1. 消去x：方程①中x的系数是2，方程②中x的系数是3，要让x的系数互为相反数，可给①乘-3，②乘2，此时两者相加就能消去x；
2. 消去y：方程①中y的系数是-3，方程②中y的系数是2，要让y的系数互为相反数，可给①乘2，②乘3，此时两者相加就能消去y。
再对照选项逐一验证，即可找到正确解法。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$\textcircled{1}×3$得$6x-9y=12$，$\textcircled{2}×2$得$6x+4y=-4$，两式相加得$12x-5y=8$，x和y都未消去，该选项错误。
选项B：$\textcircled{1}×2$得$4x-6y=8$，$\textcircled{2}×3$得$9x+6y=-6$，两式相减得$-5x-12y=14$，x和y都未消去，该选项错误。
选项C：$\textcircled{1}×(-3)$得$-6x+9y=-12$，$\textcircled{2}×2$得$6x+4y=-4$，两式相加得$13y=-16$，成功消去x，该选项正确。
选项D：$\textcircled{1}×2$得$4x-6y=8$，$\textcircled{2}×3$得$9x+6y=-6$，两式相减得$-5x-12y=14$，x未消去，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查加减消元法的应用，核心是理解消元的本质是通过调整系数使某一未知数的系数互为相反数或相等，从而实现消元。解题时需注意系数的符号变化，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.6

3.利用加减消元法解方程组
$\begin{cases} 2x+5y=-10,\textcircled{1}\\ 5x-3y=6\textcircled{2}\\ \end{cases}$时,下列说法正确
的是()。

A.要消去y,可以将$\textcircled{1}×5+\textcircled{2}×3$
B.要消去x,可以将$\textcircled{1}×3+\textcircled{2}×(-5)$
C.要消去y,可以将$\textcircled{1}×3+\textcircled{2}×5$
D.要消去x,可以将$\textcircled{1}×5+\textcircled{2}×2$

3.C

【分析】
本题考查加减消元法解二元一次方程组的原理，解题思路是：根据加减消元法的核心——让要消去的未知数的系数互为相反数或相等，通过给方程两边同乘适当的数，再进行加减运算消元。
1. 若要消去$y$：方程①中$y$的系数为5，方程②中$y$的系数为-3，需将系数化为绝对值相等的数，5和3的最小公倍数是15，因此给①乘3，②乘5，此时$y$的系数分别为15和-15，互为相反数，相加即可消去$y$。
2. 若要消去$x$：方程①中$x$的系数为2，方程②中$x$的系数为5，最小公倍数是10，需给①乘5，②乘-2（或①乘-5，②乘2），此时$x$的系数分别为10和-10，互为相反数，相加即可消去$x$。
据此逐一分析选项即可得出正确答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：将$\textcircled{1}×5$得$10x+25y=-50$，$\textcircled{2}×3$得$15x-9y=18$，两式相加后$y$的系数为$25+(-9)=16≠0$，无法消去$y$，A错误。
选项B：将$\textcircled{1}×3$得$6x+15y=-30$，$\textcircled{2}×(-5)$得$-25x+15y=-30$，两式相加后$x$的系数为$6+(-25)=-19≠0$，无法消去$x$，B错误。
选项C：将$\textcircled{1}×3$得$6x+15y=-30$，$\textcircled{2}×5$得$25x-15y=30$，两式相加后$y$的系数为$15+(-15)=0$，可消去$y$，C正确。
选项D：将$\textcircled{1}×5$得$10x+25y=-50$，$\textcircled{2}×2$得$10x-6y=12$，两式相加后$x$的系数为$10+10=20≠0$，无法消去$x$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是对加减消元法基础原理的考查，解题关键是准确把握消元的核心：使目标未知数的系数互为相反数或相等，需熟练掌握最小公倍数的应用来确定方程的乘数，避免因系数计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8

4.用加减消元法解方程组$\begin{cases} 4x-2y=5\textcircled{1}\\ 3x+y=4\textcircled{2}\\ \end{cases}$时,下
列方法中无法消元的是()。

A.$\textcircled{1}+\textcircled{2}×2$
B.$\textcircled{1}×3+\textcircled{2}×4$
C.$\textcircled{1}×3-\textcircled{2}×4$
D.$\textcircled{2}×(-2)-\textcircled{1}$

4.B

【分析】
要判断哪个方法无法消元，需明确加减消元法的核心：通过对两个方程乘以适当系数，使某个未知数的系数相等或互为相反数，再相加/相减消去该未知数。我们逐个分析每个选项的运算后未知数的系数情况：
1. 对于选项A：先给方程②乘2，得到$6x+2y=8$，此时y的系数与方程①中y的系数（-2）互为相反数，再与方程①相加，可消去y；
2. 对于选项B：给方程①乘3得$12x-6y=15$，方程②乘4得$12x+4y=16$，将两个式子相加后，x的系数为$12+12=24$，y的系数为$-6+4=-2$，x和y的系数都不为0，无法消元；
3. 对于选项C：方程①乘3得$12x-6y=15$，方程②乘4得$12x+4y=16$，两个式子相减时，x的系数$12-12=0$，可消去x；
4. 对于选项D：方程②乘(-2)得$-6x-2y=-8$，再减去方程①，y的系数$-2-(-2)=0$，可消去y。
综上，只有选项B无法消元。
【解析】
我们对每个选项进行运算验证：
选项A：$\textcircled{2}×2$得$6x+2y=8$，与$\textcircled{1}$相加：$(4x-2y)+(6x+2y)=5+8$，化简得$10x=13$，消去了$y$，可以消元；
选项B：$\textcircled{1}×3$得$12x-6y=15$，$\textcircled{2}×4$得$12x+4y=16$，两式相加：$(12x-6y)+(12x+4y)=15+16$，化简得$24x-2y=31$，$x$和$y$均未消去，无法消元；
选项C：$\textcircled{1}×3$得$12x-6y=15$，$\textcircled{2}×4$得$12x+4y=16$，两式相减：$(12x-6y)-(12x+4y)=15-16$，化简得$-10y=-1$，消去了$x$，可以消元；
选项D：$\textcircled{2}×(-2)$得$-6x-2y=-8$，减去$\textcircled{1}$：$(-6x-2y)-(4x-2y)=-8-5$，化简得$-10x=-13$，消去了$y$，可以消元。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题主要考查加减消元法的应用，关键是理解消元的本质是让某个未知数的系数互为相反数或相等，通过加减运算消去该未知数。解题时需仔细计算每个选项的系数变化，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.6

5.已知方程组$\begin{cases} 2x+y=8,\\ x+2y=7,\\ \end{cases}$则$x-y$的值
是()。

A.5
B.-1
C.0
D.1

5.D

【分析】
要计算$x-y$的值，有两种思路：
1. 整体思想：观察方程组中两个方程的系数，发现第一个方程的$x$系数比第二个多1，$y$系数比第二个少1，直接用第一个方程减去第二个方程，左边化简后正好是$x-y$，右边计算差值即可得到结果，这种方法更简便。
2. 常规解法：先通过加减消元法或代入消元法解出$x$和$y$的值，再代入$x-y$计算。
【解析】
方法一：整体求值
已知方程组：
$\begin{cases} 2x+y=8&①,\\ x+2y=7&②,\\ \end{cases}$
用①-②得：
$(2x+y)-(x+2y)=8-7$
去括号化简：$2x+y-x-2y=1$
即$x-y=1$。
方法二：常规求解
由①得：$y=8-2x$ ③
将③代入②得：$x+2(8-2x)=7$
展开：$x+16-4x=7$
合并同类项：$-3x=7-16=-9$
解得：$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=8-2×3=2$
则$x-y=3-2=1$。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法，整体思想求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，既可以通过常规方法解出未知数再计算，也能利用整体思想直接对两个方程进行运算得到目标式，后者能大幅简化计算过程，提升解题速度，建议学生优先考虑整体思想解题。
【难度系数】
0.9

6.已知方程组$\begin{cases} 2x+3y=k,\\ 3x+5y=k+1\\ \end{cases}$的解的和是
2,则k的值是。

6.3

【分析】
要解决这个问题，核心思路是利用“方程组的解的和为2”这一条件，结合原方程组求出k的值。我们可以先通过加减消元法从原方程组中消去k，得到关于x、y的方程；再结合x+y=2组成新的二元一次方程组，解出x和y的值，最后代入原方程求出k；也可以先解原方程组，用k表示x和y，再根据x+y=2建立关于k的方程求解。
【解析】
方法一：加减消元法结合已知条件求解
1. 已知方程组$\begin{cases} 2x+3y=k&①\\ 3x+5y=k+1&②\\ \end{cases}$，用②-①得：
$(3x+5y)-(2x+3y)=(k+1)-k$
化简得：$x+2y=1$ ③
2. 由题意知方程组的解的和为2，即$x+y=2$ ④
3. 用③-④得：$(x+2y)-(x+y)=1-2$
解得：$y=-1$
4. 将$y=-1$代入④得：$x+(-1)=2$，解得$x=3$
5. 将$x=3$，$y=-1$代入①得：$2×3+3×(-1)=k$
计算得：$k=6-3=3$
方法二：用k表示x、y再求解
1. 由方程①得：$2x=k-3y$，即$x=\frac{k-3y}{2}$ ⑤
2. 将⑤代入方程②得：
$3×\frac{k-3y}{2}+5y=k+1$
两边同乘2消去分母：$3(k-3y)+10y=2(k+1)$
展开并化简：$3k-9y+10y=2k+2$，即$y=2-k$
3. 将$y=2-k$代入⑤得：
$x=\frac{k-3(2-k)}{2}=\frac{k-6+3k}{2}=2k-3$
4. 因为$x+y=2$，所以$(2k-3)+(2-k)=2$
化简得：$k-1=2$，解得$k=3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组的解法，方程解的应用
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的解法及解的应用，解题关键是灵活运用加减消元法或代入消元法，结合“解的和为2”的条件建立等量关系，需要学生熟练掌握消元法的基本步骤，理清已知条件与所求量之间的联系。
【难度系数】
0.6

7.解方程组:
(1) $\begin{cases} 2x+y=7,\\ 3x-4y=5;\\ \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+3y=7,\\ 4x-y=1;\\ \end{cases}$
(3) $\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=2,\\ 4(x+y)=20;\\ \end{cases}$
(4) $\begin{cases} \dfrac{x-1}{2}-\dfrac{y}{3}=1,\\ y+3x=5。\\ \end{cases}$

7.(1) $\begin{cases} x=3,\\ y=1\\ \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x=\dfrac{5}{7},\\ y=\dfrac{13}{7}\\ \end{cases}$ (3) $\begin{cases} x=2,\\ y=3\\ \end{cases}$ (4) $\begin{cases} x=\dfrac{19}{9},\\ y=-\dfrac{4}{3}\\ \end{cases}$

【分析】
这四道题均为二元一次方程组求解问题，核心思路是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，具体思考方向如下：
1. 方程组(1)：第一个方程中y的系数为1，优先选择代入消元法，先将y用含x的式子表示，再代入第二个方程求解x，最后回代求y；
2. 方程组(2)：第二个方程中y的系数绝对值为1，适合用代入消元法，先由第二个方程得到y的表达式，代入第一个方程计算x，再求y；
3. 方程组(3)：含有分数形式的方程，先将其化为整式方程，化简后第二个方程形式简单，用代入消元法将y用x表示，代入整理后的第一个方程求解；
4. 方程组(4)：第一个方程含分母，先去分母化为整式方程，观察到两个方程均含3x，用加减消元法消去x，先求出y的值，再回代求x。
【解析】
(1) $\begin{cases} 2x+y=7&①\\ 3x-4y=5&②\\ \end{cases}$
由①得：$y=7-2x$ ③
把③代入②得：$3x-4(7-2x)=5$
展开得：$3x-28+8x=5$
合并同类项得：$11x=33$
解得：$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=7-2×3=1$
故方程组的解为$\begin{cases} x=3\\ y=1\\ \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+3y=7&①\\ 4x-y=1&②\\ \end{cases}$
由②得：$y=4x-1$ ③
把③代入①得：$2x+3(4x-1)=7$
展开得：$2x+12x-3=7$
合并同类项得：$14x=10$
解得：$x=\frac{5}{7}$
把$x=\frac{5}{7}$代入③得：$y=4×\frac{5}{7}-1=\frac{13}{7}$
故方程组的解为$\begin{cases} x=\frac{5}{7}\\ y=\frac{13}{7}\\ \end{cases}$
(3) 先整理原方程组：
$\begin{cases} 3x+2y=12&①\\ x+y=5&②\\ \end{cases}$
由②得：$y=5-x$ ③
把③代入①得：$3x+2(5-x)=12$
展开得：$3x+10-2x=12$
合并同类项得：$x=2$
把$x=2$代入③得：$y=5-2=3$
故方程组的解为$\begin{cases} x=2\\ y=3\\ \end{cases}$
(4) 先整理原方程组：
$\begin{cases} 3x-2y=9&①\\ 3x+y=5&②\\ \end{cases}$
①-②得：$(3x-2y)-(3x+y)=9-5$
化简得：$-3y=4$
解得：$y=-\frac{4}{3}$
把$y=-\frac{4}{3}$代入②得：$3x+(-\frac{4}{3})=5$
解得：$3x=\frac{19}{3}$，即$x=\frac{19}{9}$
故方程组的解为$\begin{cases} x=\frac{19}{9}\\ y=-\frac{4}{3}\\ \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3,\\ y=1\\ \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=\dfrac{5}{7},\\ y=\dfrac{13}{7}\\ \end{cases}$；(3) $\begin{cases} x=2,\\ y=3\\ \end{cases}$；(4) $\begin{cases} x=\dfrac{19}{9},\\ y=-\dfrac{4}{3}\\ \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
这四道题涵盖了二元一次方程组的常见题型，包括直接可消元、含分数需先整理的情况，通过练习能熟练掌握代入消元和加减消元的核心技巧，解题时需注意去分母的运算准确性以及符号的处理，是巩固二元一次方程组解法的基础题型。
【难度系数】
0.6

8.要使方程组$\begin{cases} 2x+ay=16,\\ x-3y=1\\ \end{cases}$有正整数解,
求整数a的值。
自我反思
存在的问题:

改进的措施:

8.$a$的值为$-5,-4,1,8$

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先利用消元法，从方程组的第二个方程中用y表示出x，再代入第一个方程，得到关于y和a的关系式；由于方程组的解是正整数，因此y必须是正整数，也就是14的正因数，我们找出14的所有正因数，分别代入关系式求出对应的a，同时验证对应的x是否为正整数，最终确定符合条件的整数a。
【解析】
1. 消元表示x：
由方程$x - 3y = 1$，移项可得$x = 3y + 1$。
2. 代入第一个方程：
将$x = 3y + 1$代入$2x + ay = 16$，得：
$2(3y + 1) + ay = 16$
展开并整理：
$6y + 2 + ay = 16$
$(6 + a)y = 14$
3. 根据正整数解确定y的取值：
因为$x$、$y$是正整数，所以$y$是14的正因数，14的正因数为1、2、7、14。
4. 分别代入求a：
当$y=1$时，$(6+a)×1=14$，解得$a=8$，此时$x=3×1+1=4$，是正整数，符合条件；
当$y=2$时，$(6+a)×2=14$，解得$a=1$，此时$x=3×2+1=7$，是正整数，符合条件；
当$y=7$时，$(6+a)×7=14$，解得$a=-4$，此时$x=3×7+1=22$，是正整数，符合条件；
当$y=14$时，$(6+a)×14=14$，解得$a=-5$，此时$x=3×14+1=43$，是正整数，符合条件。
【答案】
$a$的值为$-5,-4,1,8$
【知识点】
二元一次方程组的正整数解，因数分解
【点评】
本题考查二元一次方程组的解法及正整数解的确定，核心是通过消元将二元问题转化为一元问题，利用正整数的性质找出未知数的可能取值，进而求出参数$a$。解题时需注意验证$x$、$y$均为正整数且$a$为整数，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4