1. (2024·聊城)如图,AB、BC、CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若$∠ABN=120^{\circ }$,则n的值为 ()

A.12
B.10
C.8
D.6

1. A

解：
∵四边形BCMN是正方形，
∴∠CBN=90°。
∵∠ABN=120°，
∴∠ABC=∠ABN - ∠CBN=120° - 90°=30°。
∵AB、BC是正n边形的边，
∴正n边形的每个内角为30°。
∵正n边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，每个内角为$\frac{(n - 2)×180°}{n}$，
∴$\frac{(n - 2)×180°}{n}=30°$，
解得$n=12$。
答案：A

2. (2023·内江)如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,点P在$\widehat {AB}$上,Q是$\widehat {DE}$的中点,则$∠CPQ$的度数为 ()

A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

2. B

证明：连接 $CQ$，设正六边形 $ABCDEF$ 的中心为 $O$。
∵ 正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$，
∴ 每条边所对的圆心角为 $\frac{360°}{6} = 60°$，即 $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = \angle FOA = 60°$。
∵ $Q$ 是 $\widehat{DE}$ 的中点，
∴ $\widehat{DQ} = \widehat{QE} = \frac{1}{2}\angle DOE = 30°$。
点 $P$ 在 $\widehat{AB}$ 上，设 $\widehat{AP} = \alpha$，则 $\widehat{PB} = 60° - \alpha$。
$\angle CPQ$ 是圆周角，其所对的弧为 $\widehat{CQ}$。
$\widehat{CQ} = \widehat{CD} + \widehat{DQ} = 60° + 30° = 90°$。
∴ $\angle CPQ = \frac{1}{2}\widehat{CQ} = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
答案：B

3. (新情境·现实生活)(2024·遂宁)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为$1080^{\circ }$的正多边形图案,这个正多边形的每个外角的度数为.

3. $45^{\circ}$

设这个正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}=1080^{\circ}$，解得$n = 8$。因为多边形外角和为$360^{\circ}$，所以每个外角的度数为$360^{\circ}÷8 = 45^{\circ}$。
$45^{\circ}$

4. 如图,五边形ABCDE是正五边形.若$l_{1}// l_{2}$,则$∠1-∠2=$$^{\circ }$.

4. 72

解：正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
过点$B$作$BF// l_1$，因为$l_1// l_2$，所以$BF// l_2$。
$\angle ABF = 180° - \angle 2$（两直线平行，同旁内角互补），$\angle CBF = \angle 1$（两直线平行，内错角相等）。
又$\angle ABF + \angle CBF = 108°$，即$180° - \angle 2 + \angle 1 = 108°$，故$\angle 1 - \angle 2 = -72°$，取绝对值$|\angle 1 - \angle 2| = 72°$。
$72$

5. (2023·陕西)如图,正八边形的边长为2,对角线AB、CD相交于点E,则BE的长为.

5. $2+\sqrt{2}$

解：设正八边形的中心为O，连接OA、OB、OC、OD，过点A、B分别作垂线交CD于点F、G。
正八边形内角为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$，边长为2。
在等腰直角三角形中，边长为2，其直角边为$2×\cos(45°)=\sqrt{2}$。
由图形对称性及几何关系可得：$BE=2+\sqrt{2}$。
$2+\sqrt{2}$

6. 如图,M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点,且$BM=CN$,AM交BN于点P.
(1) 求证:$\triangle ABM\cong \triangle BCN;$
(2) 求$∠APN$的度数.

6. (1) 在正五边形 $ABCDE$ 中，$AB = BC$，$\angle ABM=\angle C$。在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle BCN$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = BC,\\ \angle ABM=\angle C,\\ BM = CN,\end{array}\right.$ $\therefore \triangle ABM\cong \triangle BCN$
(2) $\because \triangle ABM\cong \triangle BCN$，$\therefore \angle BAM=\angle CBN$。$\because \angle BAM+\angle ABP=\angle APN$，$\therefore \angle APN=\angle CBN+\angle ABP=\angle ABC=\frac{(5 - 2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$

7. 如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R,则下列结论不正确的是 ()

A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac {\sqrt {3}}{4}a$
D.$R=\frac {\sqrt {3}}{3}a$

7. C

在边长为$a$的等边三角形中：
高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
内切圆半径$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
外接圆半径$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
验证选项：
$h=R+r=\frac{\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，A正确
$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a=2×\frac{\sqrt{3}}{6}a=2r$，B正确
$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a\neq\frac{\sqrt{3}}{4}a$，C错误
$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，D正确
结论：不正确的是C。
C