登录
1. (2024·自贡)学校群文阅读活动中,某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3、5、7、4、5.这组数据的中位数和众数分别是()
A.3、4
B.4、4
C.4、5
D.5、5
A.3、4
B.4、4
C.4、5
D.5、5
答案
D
解析
将数据3、5、7、4、5从小到大排列为3、4、5、5、7。中间的数为5，故中位数是5；数字5出现2次，次数最多，故众数是5。
2. (2024·太仓期中)已知一组数据26、36、36、3■、41、42,其中一个两位数的个位数字被墨水涂污,则下列统计量中仍能计算结果的是()
A.平均数
B.方差
C.中位数
D.众数
A.平均数
B.方差
C.中位数
D.众数
答案
D
解析
这组数据共有6个数，其中3■的个位数字被涂污，设被涂污的数字为x（0≤x≤9，x为整数），则这组数据为26、36、36、30+x、41、42。
平均数：需要所有数据之和除以6，由于30+x的值不确定，所以平均数无法计算。
方差：方差计算需要先求平均数，平均数无法计算，方差也无法计算。
中位数：将数据从小到大排列，第3个数和第4个数的平均数为中位数。无论x取何值，30+x在数据中的位置可能为第3位或第4位。当x≤6时，数据排列为26、30+x、36、36、41、42，中位数为(36+36)÷2=36；当x＞6时，数据排列为26、36、36、30+x、41、42，中位数仍为(36+36)÷2=36，所以中位数始终为36，能计算结果。
众数：原数据中36出现2次，若30+x=36（即x=6），则众数为36；若30+x为其他值（如x=0时为30，x=1时为31等），则36仍是出现次数最多的数，众数为36；但当30+x出现次数与36相同时（如x=6时36出现3次，其他情况36出现2次，30+x出现1次），众数始终是36。不过，严格来说，若x=6，众数是36；若x≠6，众数也是36，所以众数能确定为36。但题目中问的是“仍能计算结果”，中位数的计算结果唯一且确定，而众数虽然在本题中结果是36，但需要考虑是否存在其他可能使众数变化的情况，不过在这组数据中，36已经出现2次，其他数都是1次，30+x无论取何值，要么等于36（众数36），要么不等于（众数36），所以众数也能计算结果。但通常这类题目更倾向于中位数，因为中位数的位置确定，不受个别数据的影响。综合来看，中位数和众数似乎都可以，但根据选项设置，可能更侧重中位数。不过严格分析，众数也是可以的。但原数据中36出现两次，其他数都是一次，所以30+x无论是什么，众数都是36，所以众数也能计算。但题目可能设计的意图是中位数，因为中位数的计算不依赖具体数值，只看位置。这里可能存在争议，但根据常规这类题目，答案通常是中位数和众数，但选项中C和D都是。不过仔细看题目，数据是26、36、36、3■、41、42，共6个数。中位数是第3和第4个数的平均，3■最小是30，最大是39。当3■≤36时，排序后第3和第4个数是36和36，中位数36；当3■＞36时，排序后第3和第4个数是36和3■，此时中位数是(36+3■)/2，由于3■不确定，中位数会变化吗？比如x=7时，3■=37，数据排序为26、36、36、37、41、42，中位数是(36+37)/2=36.5；x=8时，中位数(36+38)/2=37；x=9时，(36+39)/2=37.5。啊！之前分析错误，当x＞6时，3■=37、38、39，此时第3个数是36，第4个数是3■，中位数为(36+3■)/2，结果会随x变化，所以中位数不能确定！之前的错误在于以为3■的位置，当x＞6时，3■=37、38、39，此时数据从小到大排列是26、36、36、37、41、42（x=7），所以第3个是36，第4个是37，中位数是(36+37)/2=36.5，不是36了，所以中位数会变化，不能计算结果。而众数，36出现2次，其他数1次，3■无论多少，众数都是36，所以众数能计算结果。但之前错误分析了中位数，正确的是：当3■＞36时，中位数=(36+3■)/2，3■不确定，所以中位数结果不确定；当3■≤36时，中位数=36，所以中位数可能是36或(36+3■)/2，结果不确定。而众数，36出现2次，其他数都是1次，所以众数一定是36，能计算结果。但再看选项，C是中位数，D是众数。现在正确分析：中位数不确定，众数确定为36，所以能计算结果的是众数。但之前的错误在于对中位数的位置判断，正确的排序应该是：当3■≤36时，数据为26，3■，36，36，41，42（如x=0时，30），中位数是(36+36)/2=36；当3■＞36时，数据为26，36，36，3■，41，42（如x=7时，37），中位数是(36+37)/2=36.5，所以中位数结果不唯一，不能计算。众数：36出现2次，其他数1次，所以众数是36，能计算。所以正确答案是D和C吗？不，刚才众数的分析是对的，中位数的分析之前错了，现在纠正后中位数不能计算，众数能计算。但题目选项中C和D，到底哪个对？再仔细看：原数据有6个数，3■的个位被涂污，即这个数是三十几，可能是30-39。众数是出现次数最多的数，36出现2次，其他数（26、41、42）各1次，三十几的数如果不是36，就是1次，所以众数是36；如果是36（即个位是6），则36出现3次，众数还是36，所以众数一定是36，能计算。中位数：当三十几的数≤36时（即个位0-6），排序后第3和4个数是36和36，中位数36；当三十几的数＞36时（即个位7-9），排序后第3和4个数是36和三十几的数，中位数是（36+三十几的数）/2，这个结果随个位数字变化，所以中位数不能确定具体值。因此，能计算结果的是众数。但之前的错误让我以为中位数可以，现在纠正后，中位数不能，众数能。所以答案是D。但又有疑问，题目中“仍能计算结果”，众数的结果是确定的36，所以能计算。所以正确答案是D。
平均数：需要所有数据之和除以6，由于30+x的值不确定，所以平均数无法计算。
方差：方差计算需要先求平均数，平均数无法计算，方差也无法计算。
中位数：将数据从小到大排列，第3个数和第4个数的平均数为中位数。无论x取何值，30+x在数据中的位置可能为第3位或第4位。当x≤6时，数据排列为26、30+x、36、36、41、42，中位数为(36+36)÷2=36；当x＞6时，数据排列为26、36、36、30+x、41、42，中位数仍为(36+36)÷2=36，所以中位数始终为36，能计算结果。
众数：原数据中36出现2次，若30+x=36（即x=6），则众数为36；若30+x为其他值（如x=0时为30，x=1时为31等），则36仍是出现次数最多的数，众数为36；但当30+x出现次数与36相同时（如x=6时36出现3次，其他情况36出现2次，30+x出现1次），众数始终是36。不过，严格来说，若x=6，众数是36；若x≠6，众数也是36，所以众数能确定为36。但题目中问的是“仍能计算结果”，中位数的计算结果唯一且确定，而众数虽然在本题中结果是36，但需要考虑是否存在其他可能使众数变化的情况，不过在这组数据中，36已经出现2次，其他数都是1次，30+x无论取何值，要么等于36（众数36），要么不等于（众数36），所以众数也能计算结果。但通常这类题目更倾向于中位数，因为中位数的位置确定，不受个别数据的影响。综合来看，中位数和众数似乎都可以，但根据选项设置，可能更侧重中位数。不过严格分析，众数也是可以的。但原数据中36出现两次，其他数都是一次，所以30+x无论是什么，众数都是36，所以众数也能计算。但题目可能设计的意图是中位数，因为中位数的计算不依赖具体数值，只看位置。这里可能存在争议，但根据常规这类题目，答案通常是中位数和众数，但选项中C和D都是。不过仔细看题目，数据是26、36、36、3■、41、42，共6个数。中位数是第3和第4个数的平均，3■最小是30，最大是39。当3■≤36时，排序后第3和第4个数是36和36，中位数36；当3■＞36时，排序后第3和第4个数是36和3■，此时中位数是(36+3■)/2，由于3■不确定，中位数会变化吗？比如x=7时，3■=37，数据排序为26、36、36、37、41、42，中位数是(36+37)/2=36.5；x=8时，中位数(36+38)/2=37；x=9时，(36+39)/2=37.5。啊！之前分析错误，当x＞6时，3■=37、38、39，此时第3个数是36，第4个数是3■，中位数为(36+3■)/2，结果会随x变化，所以中位数不能确定！之前的错误在于以为3■的位置，当x＞6时，3■=37、38、39，此时数据从小到大排列是26、36、36、37、41、42（x=7），所以第3个是36，第4个是37，中位数是(36+37)/2=36.5，不是36了，所以中位数会变化，不能计算结果。而众数，36出现2次，其他数1次，3■无论多少，众数都是36，所以众数能计算结果。但之前错误分析了中位数，正确的是：当3■＞36时，中位数=(36+3■)/2，3■不确定，所以中位数结果不确定；当3■≤36时，中位数=36，所以中位数可能是36或(36+3■)/2，结果不确定。而众数，36出现2次，其他数都是1次，所以众数一定是36，能计算结果。但再看选项，C是中位数，D是众数。现在正确分析：中位数不确定，众数确定为36，所以能计算结果的是众数。但之前的错误在于对中位数的位置判断，正确的排序应该是：当3■≤36时，数据为26，3■，36，36，41，42（如x=0时，30），中位数是(36+36)/2=36；当3■＞36时，数据为26，36，36，3■，41，42（如x=7时，37），中位数是(36+37)/2=36.5，所以中位数结果不唯一，不能计算。众数：36出现2次，其他数1次，所以众数是36，能计算。所以正确答案是D和C吗？不，刚才众数的分析是对的，中位数的分析之前错了，现在纠正后中位数不能计算，众数能计算。但题目选项中C和D，到底哪个对？再仔细看：原数据有6个数，3■的个位被涂污，即这个数是三十几，可能是30-39。众数是出现次数最多的数，36出现2次，其他数（26、41、42）各1次，三十几的数如果不是36，就是1次，所以众数是36；如果是36（即个位是6），则36出现3次，众数还是36，所以众数一定是36，能计算。中位数：当三十几的数≤36时（即个位0-6），排序后第3和4个数是36和36，中位数36；当三十几的数＞36时（即个位7-9），排序后第3和4个数是36和三十几的数，中位数是（36+三十几的数）/2，这个结果随个位数字变化，所以中位数不能确定具体值。因此，能计算结果的是众数。但之前的错误让我以为中位数可以，现在纠正后，中位数不能，众数能。所以答案是D。但又有疑问，题目中“仍能计算结果”，众数的结果是确定的36，所以能计算。所以正确答案是D。
3. 学校组织学生进行知识竞赛,5名参赛选手的得分(单位:分)分别为96、97、98、96、98.下列说法中,正确的是()
A.该组数据的中位数为98
B.该组数据的方差为0.7
C.该组数据的平均数为98
D.该组数据的众数为96和98
A.该组数据的中位数为98
B.该组数据的方差为0.7
C.该组数据的平均数为98
D.该组数据的众数为96和98
答案
D
解析
将这组数据从小到大排列：96, 96, 97, 98, 98。
中位数为97，所以A选项错误。
计算平均数：
$平均数 = \frac{96 + 96 + 97 + 98 + 98}{5} = \frac{485}{5} = 97$，
所以C选项错误。
计算方差：
$方差 = \frac{1}{5} × \left[ 2 × (96 - 97)^{2} + (97 - 97)^{2} + 2 × (98 - 97)^{2} \right]$
$ = \frac{1}{5} × [2 × 1 + 0 + 2 × 1] $
$= \frac{4}{5} $
$= 0.8$
所以B选项错误。
众数为出现次数最多的数，96和98各出现2次，所以众数为96和98，D选项正确。
中位数为97，所以A选项错误。
计算平均数：
$平均数 = \frac{96 + 96 + 97 + 98 + 98}{5} = \frac{485}{5} = 97$，
所以C选项错误。
计算方差：
$方差 = \frac{1}{5} × \left[ 2 × (96 - 97)^{2} + (97 - 97)^{2} + 2 × (98 - 97)^{2} \right]$
$ = \frac{1}{5} × [2 × 1 + 0 + 2 × 1] $
$= \frac{4}{5} $
$= 0.8$
所以B选项错误。
众数为出现次数最多的数，96和98各出现2次，所以众数为96和98，D选项正确。
4. 甲组数据为11、12、13、14、15,乙组数据为12、12、13、14、14.若甲、乙两组数据的方差分别为$s_{甲}^{2}$、$s_{乙}^{2}$,则$s_{甲}^{2}$$s_{乙}^{2}$(填“＞”“＜”或“=”).
答案
＞
解析
甲组数据的平均数为：
$\bar{x}_{甲} = \frac{11 + 12 + 13 + 14 + 15}{5} = 13$，
甲组数据的方差 $s_{甲}^{2}$ 为：
$s_{甲}^{2} = \frac{1}{5}[(11 - 13)^{2} + (12 - 13)^{2} + (13 - 13)^{2} + (14 - 13)^{2} + (15 - 13)^{2}]$
$ = \frac{1}{5}[4 + 1 + 0 + 1 + 4] = 2$，
乙组数据的平均数为：
$\bar{x}_{乙} = \frac{12 + 12 + 13 + 14 + 14}{5} = 13$，
乙组数据的方差 $s_{乙}^{2}$ 为：
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{5}[(12 - 13)^{2} + (12 - 13)^{2} + (13 - 13)^{2} + (14 - 13)^{2} + (14 - 13)^{2}]$
$ = \frac{1}{5}[1 + 1 + 0 + 1 + 1] = 0.8$，
通过比较，可以看出 $s_{甲}^{2} ＞ s_{乙}^{2}$。
$\bar{x}_{甲} = \frac{11 + 12 + 13 + 14 + 15}{5} = 13$，
甲组数据的方差 $s_{甲}^{2}$ 为：
$s_{甲}^{2} = \frac{1}{5}[(11 - 13)^{2} + (12 - 13)^{2} + (13 - 13)^{2} + (14 - 13)^{2} + (15 - 13)^{2}]$
$ = \frac{1}{5}[4 + 1 + 0 + 1 + 4] = 2$，
乙组数据的平均数为：
$\bar{x}_{乙} = \frac{12 + 12 + 13 + 14 + 14}{5} = 13$，
乙组数据的方差 $s_{乙}^{2}$ 为：
$s_{乙}^{2} = \frac{1}{5}[(12 - 13)^{2} + (12 - 13)^{2} + (13 - 13)^{2} + (14 - 13)^{2} + (14 - 13)^{2}]$
$ = \frac{1}{5}[1 + 1 + 0 + 1 + 1] = 0.8$，
通过比较，可以看出 $s_{甲}^{2} ＞ s_{乙}^{2}$。
5. 一组数据2、4、a、7、7的平均数为5,则这组数据的极差为.
答案
5
解析
根据平均数的定义，平均数等于所有数据之和除以数据的个数，已知数据$2$、$4$、$a$、$7$、$7$的平均数为$5$，则可列出$(2 + 4 + a + 7 + 7)÷5 = 5$，即$20 + a = 25$，解得$a = 5$。极差是一组数据中的最大值减去最小值，这组数据中最大值为$7$，最小值为$2$，所以极差为$7 - 2 = 5$。
6. 一组数据1、5、7、x的众数与中位数相等,则这组数据的平均数是.
答案
$4.5$（或$\frac{9}{2}$）
解析
数据为1，5，7，x，分情况讨论：
若众数为1，则x=1，中位数是3，而1=3不成立，不符合题意；
若众数为5，则x=5，中位数是5，此时众数与中位数相等，符合题意，此时平均数为$\frac{1 + 5 + 5 + 7}{4} = \frac{18}{4}=4.5$；
若众数为7，则x=7，中位数是6，而7=6不成立，不符合题意。
若众数为1，则x=1，中位数是3，而1=3不成立，不符合题意；
若众数为5，则x=5，中位数是5，此时众数与中位数相等，符合题意，此时平均数为$\frac{1 + 5 + 5 + 7}{4} = \frac{18}{4}=4.5$；
若众数为7，则x=7，中位数是6，而7=6不成立，不符合题意。
7. (教材P100问题2变式)某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名管理人员,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试,三人的测试成绩如下表:
根据录用程序,学生会组织200名学生采用投票推荐的方式,对三人进行民主评议,三人的得票率(没有弃权票,每名学生只能推荐1人)如扇形统计图所示,每得一票记1分.
(1)分别计算三人民主评议的得分;
(2)根据实际需要,学生会将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3确定个人成绩,三人中谁的成绩最好?
根据录用程序,学生会组织200名学生采用投票推荐的方式,对三人进行民主评议,三人的得票率(没有弃权票,每名学生只能推荐1人)如扇形统计图所示,每得一票记1分.
(1)分别计算三人民主评议的得分;
(2)根据实际需要,学生会将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3确定个人成绩,三人中谁的成绩最好?
答案
(1) 甲：$200 × 25\% = 50$（分），
乙：$200 × 40\% = 80$（分），
丙：$200 × 35\% = 70$（分），
所以甲，乙，丙民主评议的得分分别为$50$分，$80$分，$70$分。
(2) 将笔试、面试、民主评议三项得分按$4:3:3$的比例确定个人成绩，
则个人成绩：
甲：$\frac{4 × 75 + 3 × 93 + 3 × 50}{4 + 3 + 3} = \frac{300 + 279 + 150}{10} = \frac{729}{10} = 72.9$（分），
乙：$\frac{4 × 80 + 3 × 70 + 3 × 80}{4 + 3 + 3} = \frac{320 + 210 + 240}{10} = \frac{770}{10} = 77$（分），
丙：$\frac{4 × 90 + 3 × 68 + 3 × 70}{4 + 3 + 3} = \frac{360 + 204 + 210}{10} = \frac{774}{10} = 77.4 (分),$
因为$77.4 ＞ 77 ＞ 72.9$，
所以，丙的成绩最好。
乙：$200 × 40\% = 80$（分），
丙：$200 × 35\% = 70$（分），
所以甲，乙，丙民主评议的得分分别为$50$分，$80$分，$70$分。
(2) 将笔试、面试、民主评议三项得分按$4:3:3$的比例确定个人成绩，
则个人成绩：
甲：$\frac{4 × 75 + 3 × 93 + 3 × 50}{4 + 3 + 3} = \frac{300 + 279 + 150}{10} = \frac{729}{10} = 72.9$（分），
乙：$\frac{4 × 80 + 3 × 70 + 3 × 80}{4 + 3 + 3} = \frac{320 + 210 + 240}{10} = \frac{770}{10} = 77$（分），
丙：$\frac{4 × 90 + 3 × 68 + 3 × 70}{4 + 3 + 3} = \frac{360 + 204 + 210}{10} = \frac{774}{10} = 77.4 (分),$
因为$77.4 ＞ 77 ＞ 72.9$，
所以，丙的成绩最好。
