8. 在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$AC=9$，$BC=12$，则斜边上中线的长等于()

A.3
B.6
C.$\frac {36}{5}$
D.$\frac {15}{2}$

8. D

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=9$，$BC=12$。
由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81 + 144}=\sqrt{225}=15$。
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上中线的长为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×15=\frac{15}{2}$。
D

9. (整体思想)在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，a，b，c分别是$∠A$，$∠B$，$∠C$的对边长. 若$a+b=14cm$，$c=10cm$，则$Rt\triangle ABC$的面积为()

A.$24cm^{2}$
B.$36cm^{2}$
C.$48cm^{2}$
D.$60cm^{2}$

9. A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。已知$a+b=14\,cm$，$c=10\,cm$，则$(a+b)^{2}=14^{2}=196$，即$a^{2}+2ab+b^{2}=196$。又因为$a^{2}+b^{2}=10^{2}=100$，所以$100 + 2ab=196$，解得$ab=48$。故$Rt\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48=24\,cm^{2}$。
A

10. 如图，点O在数轴原点处，A，B两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴的正半轴于点M，则点M对应的实数为.
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$10. \sqrt{7}$

解：
∵点O为原点，A，B分别对应-3，3，
∴OA=OB=3，AB=6，O为AB中点。
∵△ABC为等腰三角形，
∴当AC=BC=4时，OC⊥AB（三线合一）。
在Rt△AOC中，OA=3，AC=4，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{AC^2-OA^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
∵以O为圆心，OC为半径画弧交正半轴于M，
∴OM=OC=$\sqrt{7}$，即点M对应的实数为$\sqrt{7}$。
$\sqrt{7}$

11. (2025·苏州期末)如图，在$\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$AC=4$，$BC=3$. 若$∠ABC$的平分线交AC于点D，则CD的长为.
]

$11. \frac{3}{2} $解析: 设 CD = x. 过点 D 作$ DE \perp AB, $垂足为$ E. \because BD $平分$ \angle ABC, \therefore DE = CD = x. \because \angle C = 90^{\circ}, AC = 4, BC = 3, \therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 5. \because S_{\triangle ABC} = S_{\triangle BCD} + S_{\triangle ABD}, \therefore \frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 3x + \frac{1}{2} × 5x, $解得$ x = \frac{3}{2}, \therefore CD $的长为$ \frac{3}{2}.$

解：设$CD = x$。过点$D$作$DE \perp AB$，垂足为$E$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE \perp AB$，
$\therefore DE = CD = x$。
$\because \angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，
$\therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$。
$\because S_{\triangle ABC} = S_{\triangle BCD} + S_{\triangle ABD}$，
$\therefore \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × BC × CD + \frac{1}{2} × AB × DE$，
即$\frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 3x + \frac{1}{2} × 5x$，
解得$x = \frac{3}{2}$。
$\therefore CD$的长为$\frac{3}{2}$。

12. （2024·陕西）如图，在$6×7$的网格中，每个小正方形的边长均为1，$\triangle ABC$和$\triangle DFE$的顶点都在格点上. 求证：$∠ABC=∠EFD$.
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12. 由题意, 易得$ AB^{2} = EF^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5, AC^{2} = ED^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10, BC^{2} = FD^{2} = 1^{2} + 4^{2} = 17. \therefore AB = EF, AC = ED, BC = FD. $在$ \triangle ABC $和$ \triangle EFD $中$, \begin{cases} AB = EF, \\ BC = FD, \\ AC = ED, \end{cases} \therefore \triangle ABC \cong \triangle EFD (SSS), \therefore \angle ABC = \angle EFD$

13. 如图，将长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处. 若点E在边AB上，$AB=3$，$BC=5$，求AE的长.
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$13. \because $四边形 ABCD 是长方形$, \therefore \angle A = \angle D = 90^{\circ}, CD = AB = 3, AD = BC = 5. \because CE $是折痕$, \therefore FC = BC = 5, EF = BE. \because $在$ Rt \triangle CDF $中$, DF^{2} + CD^{2} = FC^{2}, \therefore DF^{2} = FC^{2} - CD^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16, \therefore DF = 4, \therefore AF = AD - DF = 1. $设 AE = x, 则$ BE = EF = 3 - x. \because $在$ Rt \triangle AEF $中$, EF^{2} = AE^{2} + AF^{2}, \therefore (3 - x)^{2} = x^{2} + 1^{2}, $解得$ x = \frac{4}{3}, \therefore AE = \frac{4}{3}$

解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5．
∵CE是折痕，
∴FC=BC=5，EF=BE．
在Rt△CDF中，DF²+CD²=FC²，
∴DF²=FC²-CD²=5²-3²=16，
∴DF=4，
∴AF=AD-DF=5-4=1．
设AE=x，则BE=EF=3-x．
在Rt△AEF中，EF²=AE²+AF²，
∴(3-x)²=x²+1²，
解得x=4/3，
∴AE=4/3．