题型研究 二次函数与角度(二) 二倍角(一题多法)
如图,抛物线$y= \frac {1}{2}x^{2}-x-4$与x轴交于点A,B,P为第四象限内抛物线上一点,$C(-1,-\frac {5}{2})$为抛物线上一点,连接PC,BC,若$∠PCB= 2∠CBO$,求点P的坐标.
类型一 二倍角→加倍
方法一:
类型二 二倍角→减半
方法二:
类型三 二倍角→减半
方法三:

二次函数与角度(二)
二倍角(一题多法)
方法一 解:过点B作BE//PC,交y轴于点E,设BC交y轴于点D,则∠PCB = ∠EBD = 2∠CBO,
∴∠EBO = ∠DBO,
∴OE = OD,易得B(4,0).
∵C(-1,-$\frac{5}{2}$),
∴BC:y = $\frac{1}{2}$x - 2,∴D(0,-2),
∴E(0,2),∴BE:y = -$\frac{1}{2}$x + 2,
∴可设PC:y = -$\frac{1}{2}$x + b,
将C(-1,-$\frac{5}{2}$)代入,
得b = -3,PC:y = -$\frac{1}{2}$x - 3,
由$\frac{1}{2}$x² - x - 4 = -$\frac{1}{2}$x - 3,
得xₚ = 2,∴P(2,-4).
方法二 解:延长PC交x轴于点Q.
∵∠PCB = 2∠CBO,
∴∠CBO = ∠CQB,
∵C(-1,-$\frac{5}{2}$),B(4,0),
∴Q(-6,0),
∴直线QC:y = -$\frac{1}{2}$x - 3,
由$\frac{1}{2}$x² - x - 4 = -$\frac{1}{2}$x - 3,
得xₚ = 2,∴P(2,-4).
方法三 解:过点B作y轴的平行线,交CP的延长线于点D,过点C作CH⊥BD于点H,则∠BCH = ∠ABC.
∵∠PCB = 2∠CBO,
∴∠DCH = ∠BCH = ∠ABC,
∴DB = 2BH = 5,
由y = $\frac{1}{2}$x² - x - 4,
得B(4,0),∴D(4,-5),
∵C(-1,-$\frac{5}{2}$),
∴直线CD:y = -$\frac{1}{2}$x - 3,
由$\frac{1}{2}$x² - x - 4 = -$\frac{1}{2}$x - 3,解得xₚ = 2,∴P(2,-4).