15. 一个多边形的内角和比它的外角和的$3倍少180^{\circ }$,求这个多边形的边数和内角和。

【解析】：本题可先根据多边形外角和定理得出该多边形的外角和，再结合已知条件求出其内角和，最后根据多边形内角和公式求出边数。
- **步骤一：求出多边形的外角和**
多边形的外角和定理为：任意多边形的外角和都为$360^{\circ}$，所以该多边形的外角和是$360^{\circ}$。
- **步骤二：求出多边形的内角和**
已知该多边形的内角和比它外角和的$3$倍少$180^{\circ}$，则该多边形内角和为：
$3×360^{\circ}-180^{\circ}=1080^{\circ}-180^{\circ}=900^{\circ}$
- **步骤三：求出多边形的边数**
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180^{\circ}$（$n\geqslant 3$且$n$为整数），可得方程：
$(n - 2)×180^{\circ}=900^{\circ}$
两边同时除以$180^{\circ}$可得：$n - 2 = 900^{\circ}÷180^{\circ}= 5$
移项可得：$n = 5 + 2 = 7$
【答案】：边数为$7$，内角和为$900^{\circ}$

16. 如图,$AD是\triangle ABC的BC$边上的高,$AE平分∠BAC$,若$∠B = 42^{\circ }$,$∠C = 70^{\circ }$,求$∠AEC$的度数为，$∠DAE$的度数为。

【解析】：
- 首先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle B = 42^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-42^{\circ}-70^{\circ}=68^{\circ}$。
- 然后求$\angle BAE$的度数：
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\angle EAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×68^{\circ}=34^{\circ}$。
- 接着求$\angle AEC$的度数：
根据三角形外角性质，$\angle AEC$是$\triangle ABE$的外角，$\angle AEC=\angle B+\angle BAE$，把$\angle B = 42^{\circ}$，$\angle BAE = 34^{\circ}$代入可得$\angle AEC=42^{\circ}+34^{\circ}=76^{\circ}$。
- 最后求$\angle DAE$的度数：
因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angle ADC = 90^{\circ}$，在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=180^{\circ}-\angle ADC-\angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
又因为$\angle EAC = 34^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle EAC-\angle DAC=34^{\circ}-20^{\circ}=14^{\circ}$。
【答案】：$\angle AEC = 76^{\circ}$，$\angle DAE = 14^{\circ}$。

17. 完成下面的证明。
已知：如图,$BE平分∠ABD$,$DE平分∠BDC$,且$∠1 + ∠2 = 90^{\circ }$,求证：$AB// CD$。
证明：$\because DE平分∠BDC$(已知),
$\therefore ∠BDC = 2∠1$()。
$\because BE平分∠ABD$(已知),
$\therefore ∠ABD = $()；
$\therefore ∠BDC + ∠ABD = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2)$()；
$\because ∠1 + ∠2 = 90^{\circ }$(已知),
$\therefore ∠ABD + ∠BDC = 180^{\circ }$()。
$\therefore AB// CD$()。

【解析】：
1. 因为$DE$平分$\angle BDC$（已知），根据角平分线的定义，所以$\angle BDC = 2\angle1$。
2. 因为$BE$平分$\angle ABD$（已知），根据角平分线的定义，所以$\angle ABD = 2\angle2$。
3. 所以$\angle BDC+\angle ABD = 2\angle1 + 2\angle2 = 2(\angle1+\angle2)$，这里运用了等量代换。
4. 因为$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$（已知），所以$\angle ABD+\angle BDC = 180^{\circ}$，这是等量代换的结果。
5. 最后根据同旁内角互补，两直线平行，得出$AB// CD$。
【答案】：
角平分线的定义；$2\angle2$；角平分线的定义；等量代换；等量代换；同旁内角互补，两直线平行。

18. 如图,直线$AB与CD相交于点O$,$OM⊥AB于点O$。
(1)如图$1$,若$OC平分∠AOM$,求钝角$∠AOD$的度数为；
(2)如图$2$,若$∠BOC = 4∠NOB$,且$OM平分∠NOC$,求$∠MON$的度数为。

【解析】：
### $(1)$ 求钝角$\angle AOD$的度数
- 因为$OM\perp AB$，根据垂直的定义可知$\angle AOM = 90^{\circ}$。
- 又因为$OC$平分$\angle AOM$，根据角平分线的定义，$\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AOM$，所以$\angle AOC = \frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
- 由于$\angle AOC$与$\angle AOD$互为邻补角，即$\angle AOC+\angle AOD = 180^{\circ}$，那么$\angle AOD=180^{\circ}-\angle AOC$，将$\angle AOC = 45^{\circ}$代入可得$\angle AOD = 180^{\circ}- 45^{\circ}=135^{\circ}$。
### $(2)$ 求$\angle MON$的度数
- 设$\angle NOB=x$，因为$\angle BOC = 4\angle NOB$，所以$\angle BOC = 4x$。
- 则$\angle NOC=\angle BOC-\angle NOB=4x - x = 3x$。
- 因为$OM$平分$\angle NOC$，根据角平分线定义，$\angle MOC=\angle MON=\frac{1}{2}\angle NOC$，所以$\angle MOC=\angle MON=\frac{3}{2}x$。
- 又因为$OM\perp AB$，所以$\angle BOM = 90^{\circ}$，即$\angle MON+\angle NOB = 90^{\circ}$，也就是$\frac{3}{2}x+x = 90^{\circ}$。
- 合并同类项得$\frac{3x + 2x}{2}=90^{\circ}$，即$\frac{5}{2}x = 90^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
- 所以$\angle MON=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×36^{\circ}=54^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{135^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{54^{\circ}}$