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9. [2026天津月考]已知$A=2x+1$，$B=5x-4$，若$A$比$B$小1，则$x$的值为（
A.2
B.-2
C.3
D.-3
A
）A.2
B.-2
C.3
D.-3
答案
9.A 由题意,得2x+1=5x-4-1,移项,得2x-5x=-4-1-1,合并同类项,得-3x=-6,方程的两边都除以-3,得x=2。
10. [2026永州月考]某同学在解方程$5x -1 = ■x +3$时，把■处的数字看错了，解得$x=-2$，则该同学把■看成了（
A.3
B.-3
C.-7
D.7
D
）A.3
B.-3
C.-7
D.7
答案
10.D 由题意可知,x=-2是方程5x-1=
x+3的解,所以5×(-2)-1=
×(-2)+3,所以
=7。变式[2026 烟台牟平区期中]小强在解方程“$-3x -1 =2x +k$”时，将“$-3x$”中的“$-$”抄漏了，解得$x=4$，则原方程正确的解是（
A.$x=-\dfrac{4}{5}$
B.$x=\dfrac{4}{5}$
C.$x=\dfrac{2}{5}$
D.$x=-4$
A
）A.$x=-\dfrac{4}{5}$
B.$x=\dfrac{4}{5}$
C.$x=\dfrac{2}{5}$
D.$x=-4$
答案
变式 A 由题意可知3×4-1=2×4+k,解得k=3,则原方程为-3x-1=2x+3,解得$x=-\frac{4}{5}$。
11. [2026泉州七中质检]对于两个不相等的有理数$a,b$,我们规定符号$\min\{a,b\}$表示$a,b$两数中较小的数,例如$\min\{2,-4\}=-4$,则方程$\min\{x,-x\}=3x+4$的解为 (
A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.$x=-1$或$x=-2$
D.$x=1$或$x=2$
B
)A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.$x=-1$或$x=-2$
D.$x=1$或$x=2$
答案
11.B 当x≥-x时,方程min{x,-x}=3x+4可化为3x+4=-x,解得x=-1,此时-x=1＞x,不合题意,舍去;当x＜-x时,方程min{x,-x}=3x+4可化为3x+4=x,解得x=-2,此时-x=2＞x,符合题意。综上,方程min{x,-x}=3x+4的解为x=-2。
12. [2025 泉州期中]当 m 为何值时,关于 x 的方程$3x - 2m = 5x - 2$的解与方程$x - 1 = 2x + 3$的解相同?
答案
解:解方程x-1=2x+3,得x=-4,
根据题意,把x=-4代入关于x的方程3x-2m=5x-2,
得-12-2m=-20-2,
解得m=5。
根据题意,把x=-4代入关于x的方程3x-2m=5x-2,
得-12-2m=-20-2,
解得m=5。
13. [2025六安期末] 小红根据方程 $5x + 2 = 6x - 8$ 编写了一道应用题:某手工兴趣小组计划在教师节前做一批手工品赠送给老师,如果每人做5个,那么就比计划少做了2个;
如果每人做6个,那么就比计划多做了8个
。手工兴趣小组有几人?设手工兴趣小组有x人。根据以上信息请你把空缺部分补充完整,并解答本题。答案
解:填空内容为“如果每人做6个,那么就比计划多做了8个”
由题意,得5x+2=6x-8,解得x=10。
答:手工兴趣小组有10人。
由题意,得5x+2=6x-8,解得x=10。
答:手工兴趣小组有10人。
14. 运算能力 [2026 南宁月考] 观察下列两个等式：
$2 - \frac{1}{3} = 2 × \frac{1}{3} + 1$，$5 - \frac{2}{3} = 5 × \frac{2}{3} + 1$。我们称使等式$a - b = ab + 1$成立的一对有理数$a, b$为“共生有理数对”，记为$(a, b)$，如数对$(2, \frac{1}{3}), (5, \frac{2}{3})$都是“共生有理数对”。
(1) 数对$(-2, 1), (3, \frac{1}{2})$中是“共生有理数对”的是
(2) 若$(a, 3)$是“共生有理数对”，则$a$的值为
(3) 若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”。
$2 - \frac{1}{3} = 2 × \frac{1}{3} + 1$，$5 - \frac{2}{3} = 5 × \frac{2}{3} + 1$。我们称使等式$a - b = ab + 1$成立的一对有理数$a, b$为“共生有理数对”，记为$(a, b)$，如数对$(2, \frac{1}{3}), (5, \frac{2}{3})$都是“共生有理数对”。
(1) 数对$(-2, 1), (3, \frac{1}{2})$中是“共生有理数对”的是
$(3,\frac{1}{2})$
；(2) 若$(a, 3)$是“共生有理数对”，则$a$的值为
-2
；(3) 若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”。
答案
14.解:(1)$(3,\frac{1}{2})$
因为$-2 - 1 = -3$,$-2 × 1 + 1 = -1$,所以$-2 - 1 ≠ -2 × 1 + 1$,所以$(-2,1)$不是“共生有理数对”。因为$3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$,$3 × \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$,所以$3 - \frac{1}{2} = 3 × \frac{1}{2} + 1$,所以$(3,\frac{1}{2})$是“共生有理数对”。
(2)-2
因为$(a,3)$是“共生有理数对”,所以$a - 3 = 3a + 1$,移项、合并同类项,得$-2a = 4$,方程的两边都除以$-2$,得$a = -2$。
(3)设“共生有理数对”中的另一个有理数为x,分两种情况:
①当“共生有理数对”是$(x,4)$时,则有$x - 4 = 4x + 1$,
移项、合并同类项,得$-3x = 5$,
方程的两边都除以$-3$,得$x = -\frac{5}{3}$,
所以“共生有理数对”是$(-\frac{5}{3},4)$;
②当“共生有理数对”是$(4,x)$时,则有$4 - x = 4x + 1$,
移项、合并同类项,得$-5x = 3$,
方程的两边都除以$-5$,得$x = \frac{3}{5}$,
所以“共生有理数对”是$(4,\frac{3}{5})$。
综上,这个“共生有理数对”是$(-\frac{5}{3},4)$或$(4,\frac{3}{5})$。
因为$-2 - 1 = -3$,$-2 × 1 + 1 = -1$,所以$-2 - 1 ≠ -2 × 1 + 1$,所以$(-2,1)$不是“共生有理数对”。因为$3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$,$3 × \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$,所以$3 - \frac{1}{2} = 3 × \frac{1}{2} + 1$,所以$(3,\frac{1}{2})$是“共生有理数对”。
(2)-2
因为$(a,3)$是“共生有理数对”,所以$a - 3 = 3a + 1$,移项、合并同类项,得$-2a = 4$,方程的两边都除以$-2$,得$a = -2$。
(3)设“共生有理数对”中的另一个有理数为x,分两种情况:
①当“共生有理数对”是$(x,4)$时,则有$x - 4 = 4x + 1$,
移项、合并同类项,得$-3x = 5$,
方程的两边都除以$-3$,得$x = -\frac{5}{3}$,
所以“共生有理数对”是$(-\frac{5}{3},4)$;
②当“共生有理数对”是$(4,x)$时,则有$4 - x = 4x + 1$,
移项、合并同类项,得$-5x = 3$,
方程的两边都除以$-5$,得$x = \frac{3}{5}$,
所以“共生有理数对”是$(4,\frac{3}{5})$。
综上,这个“共生有理数对”是$(-\frac{5}{3},4)$或$(4,\frac{3}{5})$。
