登录
1. 易错题 [2025 南通海南中学期中] 已知一次函数$y = kx + b$，当$1 ≤ x ≤ 4$时，$3 ≤ y ≤ 6$，则$\frac{b}{k}$的值是
2或-7
。答案
2或-7
当$k＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时,$3 ≤ y ≤ 6$,
∴当$x=1$时,$y=3$;当$x=4$时,$y=6$,
∴$\begin{cases}k+b=3,\\4k+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$
∴$\frac{b}{k}=2$. 当$k＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时,$3 ≤ y ≤ 6$,
∴当$x=1$时,$y=6$;当$x=4$时,$y=3$,
∴$\begin{cases}k+b=6,\\4k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=7,\end{cases}$
∴$\frac{b}{k}=-7$. 综上可知,$\frac{b}{k}$的值是2或-7.
当$k＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时,$3 ≤ y ≤ 6$,
∴当$x=1$时,$y=3$;当$x=4$时,$y=6$,
∴$\begin{cases}k+b=3,\\4k+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$
∴$\frac{b}{k}=2$. 当$k＜0$时,$y$随$x$的增大而减小.
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时,$3 ≤ y ≤ 6$,
∴当$x=1$时,$y=6$;当$x=4$时,$y=3$,
∴$\begin{cases}k+b=6,\\4k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=7,\end{cases}$
∴$\frac{b}{k}=-7$. 综上可知,$\frac{b}{k}$的值是2或-7.
解析
【分析】
一次函数的增减性由k的符号决定，k的正负不确定时需要分类讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，因此x取最小值时y取最小值，x取最大值时y取最大值；②当k＜0时，y随x的增大而减小，因此x取最小值时y取最大值，x取最大值时y取最小值。将对应的x、y值代入函数解析式得到二元一次方程组，求解得到k、b的值后即可计算$\frac{b}{k}$的结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时，$3 ≤ y ≤ 6$，
∴当$x=1$时，$y=3$；当$x=4$时，$y=6$，
代入解析式得$\begin{cases}k+b=3\\4k+b=6\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$，
∴$\frac{b}{k}=\frac{2}{1}=2$。
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时，$3 ≤ y ≤ 6$，
∴当$x=1$时，$y=6$；当$x=4$时，$y=3$，
代入解析式得$\begin{cases}k+b=6\\4k+b=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=7\end{cases}$，
∴$\frac{b}{k}=\frac{7}{-1}=-7$。
【答案】
2或-7
【知识点】
一次函数的性质；解二元一次方程组；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不确定，仅考虑k＞0的情况导致漏解，解题时要牢牢把握一次函数的增减性与k的符号的对应关系，遇到参数符号不确定的情况要主动分类讨论。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由k的符号决定，k的正负不确定时需要分类讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，因此x取最小值时y取最小值，x取最大值时y取最大值；②当k＜0时，y随x的增大而减小，因此x取最小值时y取最大值，x取最大值时y取最小值。将对应的x、y值代入函数解析式得到二元一次方程组，求解得到k、b的值后即可计算$\frac{b}{k}$的结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时，$3 ≤ y ≤ 6$，
∴当$x=1$时，$y=3$；当$x=4$时，$y=6$，
代入解析式得$\begin{cases}k+b=3\\4k+b=6\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$，
∴$\frac{b}{k}=\frac{2}{1}=2$。
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵当$1 ≤ x ≤ 4$时，$3 ≤ y ≤ 6$，
∴当$x=1$时，$y=6$；当$x=4$时，$y=3$，
代入解析式得$\begin{cases}k+b=6\\4k+b=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=7\end{cases}$，
∴$\frac{b}{k}=\frac{7}{-1}=-7$。
【答案】
2或-7
【知识点】
一次函数的性质；解二元一次方程组；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不确定，仅考虑k＞0的情况导致漏解，解题时要牢牢把握一次函数的增减性与k的符号的对应关系，遇到参数符号不确定的情况要主动分类讨论。
【难度系数】
0.6
2. [2026南京东山外国语学校月考]已知一次函数$y=kx+4$（$k$为常数，$k≠0$），当$x＜1$时，$y＞0$，则$k$的取值范围是
-4≤k＜0
。答案
-4≤k＜0
当$k＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,当$y=0$时,$x=-\frac{4}{k}$.
∵$k＞0$,
∴$x=-\frac{4}{k}＜0$,
∴当$x ＜ -\frac{4}{k}$时,$y ＜ 0$,不满足题意,故$k＞0$不成立;当$k＜0$时,$y$随$x$的增大而减小,要使$x ＜ 1$时$y ＞ 0$,需保证$x=1$时$y ≥ 0$,即$k + 4 ≥ 0$,解得$k ≥ -4$. 又
∵$k ＜ 0$,
∴$k$的取值范围是$-4 ≤ k ＜ 0$.
当$k＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,当$y=0$时,$x=-\frac{4}{k}$.
∵$k＞0$,
∴$x=-\frac{4}{k}＜0$,
∴当$x ＜ -\frac{4}{k}$时,$y ＜ 0$,不满足题意,故$k＞0$不成立;当$k＜0$时,$y$随$x$的增大而减小,要使$x ＜ 1$时$y ＞ 0$,需保证$x=1$时$y ≥ 0$,即$k + 4 ≥ 0$,解得$k ≥ -4$. 又
∵$k ＜ 0$,
∴$k$的取值范围是$-4 ≤ k ＜ 0$.
解析
【分析】
本题需结合一次函数的增减性求解参数范围，解题思路如下：首先一次函数的增减性由k的正负决定，因此要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论：①判断k＞0时函数的变化规律，验证是否满足x＜1时y＞0的条件；②当k＜0时，函数随x增大而减小，要让x＜1时y恒大于0，只需x取临界值1时y≥0即可，最后综合两种情况的结论得到k的取值范围。
【解析】
已知一次函数$y=kx+4$（$k≠0$），分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，令$y=0$，解得$x=-\frac{4}{k}$。
∵$k＞0$，
∴$x=-\frac{4}{k}＜0$，
∴当$x＜-\frac{4}{k}$时，$y＜0$，不满足“$x＜1$时，$y＞0$”的要求，故$k＞0$不符合题意。
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，要使$x＜1$时$y＞0$，只需$x=1$时$y≥0$（$x＜1$时的y值都大于$x=1$时的y值）。
将$x=1$代入函数得：$k+4≥0$，解得$k≥-4$。
结合$k＜0$的前提，可得$-4≤k＜0$。
综上，$k$的取值范围是$-4≤k＜0$。
【答案】
$-4≤k＜0$
【知识点】
一次函数的性质，解一元一次不等式，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查一次函数增减性的应用，解题核心是根据k的正负分类讨论，结合函数的增减性确定临界位置的取值要求，要注意验证端点值是否可取，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.6
本题需结合一次函数的增减性求解参数范围，解题思路如下：首先一次函数的增减性由k的正负决定，因此要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论：①判断k＞0时函数的变化规律，验证是否满足x＜1时y＞0的条件；②当k＜0时，函数随x增大而减小，要让x＜1时y恒大于0，只需x取临界值1时y≥0即可，最后综合两种情况的结论得到k的取值范围。
【解析】
已知一次函数$y=kx+4$（$k≠0$），分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，令$y=0$，解得$x=-\frac{4}{k}$。
∵$k＞0$，
∴$x=-\frac{4}{k}＜0$，
∴当$x＜-\frac{4}{k}$时，$y＜0$，不满足“$x＜1$时，$y＞0$”的要求，故$k＞0$不符合题意。
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，要使$x＜1$时$y＞0$，只需$x=1$时$y≥0$（$x＜1$时的y值都大于$x=1$时的y值）。
将$x=1$代入函数得：$k+4≥0$，解得$k≥-4$。
结合$k＜0$的前提，可得$-4≤k＜0$。
综上，$k$的取值范围是$-4≤k＜0$。
【答案】
$-4≤k＜0$
【知识点】
一次函数的性质，解一元一次不等式，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查一次函数增减性的应用，解题核心是根据k的正负分类讨论，结合函数的增减性确定临界位置的取值要求，要注意验证端点值是否可取，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.6
3. [2026 苏州昆山秀峰中学月考] 当$1≤ x≤5$时,一次函数$y=(a+1)x-3a-1$($a$为常数)的图象在$x$轴上方,则$a$的取值范围是
-2＜a＜-1或-1＜a＜0
.答案
-2＜a＜-1或-1＜a＜0
当$a+1＞0$,即$a＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴当$x=1$时取得最小值,最小值为$y=(a+1)×1 - 3a - 1 = -2a$.
∵当$1 ≤ x ≤ 5$时,一次函数的图象在$x$轴上方,
∴$-2a ＞ 0$,
∴$a ＜ 0$,
∴$-1 ＜ a ＜ 0$. 当$a+1＜0$,即$a＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴当$x=5$时取得最小值,最小值为$y=(a+1)×5 - 3a - 1 = 2a + 4$.
∵当$1 ≤ x ≤ 5$时,一次函数的图象在$x$轴上方,
∴$2a + 4 ＞ 0$,
∴$a ＞ -2$,
∴$-2 ＜ a ＜ -1$. 综上,$a$的取值范围是$-2 ＜ a ＜ -1$或$-1 ＜ a ＜ 0$.
当$a+1＞0$,即$a＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴当$x=1$时取得最小值,最小值为$y=(a+1)×1 - 3a - 1 = -2a$.
∵当$1 ≤ x ≤ 5$时,一次函数的图象在$x$轴上方,
∴$-2a ＞ 0$,
∴$a ＜ 0$,
∴$-1 ＜ a ＜ 0$. 当$a+1＜0$,即$a＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴当$x=5$时取得最小值,最小值为$y=(a+1)×5 - 3a - 1 = 2a + 4$.
∵当$1 ≤ x ≤ 5$时,一次函数的图象在$x$轴上方,
∴$2a + 4 ＞ 0$,
∴$a ＞ -2$,
∴$-2 ＜ a ＜ -1$. 综上,$a$的取值范围是$-2 ＜ a ＜ -1$或$-1 ＜ a ＜ 0$.
解析
【分析】
首先明确这是一次函数，因此一次项系数不能为0，即$a≠ -1$。一次函数的增减性由一次项系数的正负决定，要使$1≤ x≤5$时函数图象都在x轴上方，等价于该区间内y的最小值大于0。因此分两种情况讨论：①当一次项系数大于0时，函数单调递增，区间左端点$x=1$处取最小值；②当一次项系数小于0时，函数单调递减，区间右端点$x=5$处取最小值。分别列不等式求解后，合并符合条件的a的范围即可。
【解析】
一次函数的一次项系数$a+1≠0$，即$a≠-1$，分两种情况讨论：
1. 当$a+1＞0$，即$a＞-1$时，y随x的增大而增大，
∴在$1≤ x≤5$范围内，$x=1$时y取得最小值，
代入解析式得最小值：$y=(a+1)×1 - 3a -1=-2a$，
∵$1≤ x≤5$时图象在x轴上方，即$y＞0$恒成立，
∴$-2a＞0$，解得$a＜0$，
结合前提$a＞-1$，得$-1＜a＜0$；
2. 当$a+1＜0$，即$a＜-1$时，y随x的增大而减小，
∴在$1≤ x≤5$范围内，$x=5$时y取得最小值，
代入解析式得最小值：$y=(a+1)×5 - 3a -1=2a+4$，
∵$1≤ x≤5$时图象在x轴上方，即$y＞0$恒成立，
∴$2a+4＞0$，解得$a＞-2$，
结合前提$a＜-1$，得$-2＜a＜-1$。
综上，a的取值范围是$-2＜a＜-1$或$-1＜a＜0$。
【答案】
$-2＜a＜-1$或$-1＜a＜0$
【知识点】
一次函数的性质，一元一次不等式求解，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查一次函数增减性与区间最值的应用，解题核心是根据一次项系数的正负分类讨论，准确找到给定区间内函数的最小值点，再结合图象在x轴上方的条件列不等式求解，解题时需注意一次项系数不为0的隐含条件，避免漏判情况。
【难度系数】
0.6
首先明确这是一次函数，因此一次项系数不能为0，即$a≠ -1$。一次函数的增减性由一次项系数的正负决定，要使$1≤ x≤5$时函数图象都在x轴上方，等价于该区间内y的最小值大于0。因此分两种情况讨论：①当一次项系数大于0时，函数单调递增，区间左端点$x=1$处取最小值；②当一次项系数小于0时，函数单调递减，区间右端点$x=5$处取最小值。分别列不等式求解后，合并符合条件的a的范围即可。
【解析】
一次函数的一次项系数$a+1≠0$，即$a≠-1$，分两种情况讨论：
1. 当$a+1＞0$，即$a＞-1$时，y随x的增大而增大，
∴在$1≤ x≤5$范围内，$x=1$时y取得最小值，
代入解析式得最小值：$y=(a+1)×1 - 3a -1=-2a$，
∵$1≤ x≤5$时图象在x轴上方，即$y＞0$恒成立，
∴$-2a＞0$，解得$a＜0$，
结合前提$a＞-1$，得$-1＜a＜0$；
2. 当$a+1＜0$，即$a＜-1$时，y随x的增大而减小，
∴在$1≤ x≤5$范围内，$x=5$时y取得最小值，
代入解析式得最小值：$y=(a+1)×5 - 3a -1=2a+4$，
∵$1≤ x≤5$时图象在x轴上方，即$y＞0$恒成立，
∴$2a+4＞0$，解得$a＞-2$，
结合前提$a＜-1$，得$-2＜a＜-1$。
综上，a的取值范围是$-2＜a＜-1$或$-1＜a＜0$。
【答案】
$-2＜a＜-1$或$-1＜a＜0$
【知识点】
一次函数的性质，一元一次不等式求解，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查一次函数增减性与区间最值的应用，解题核心是根据一次项系数的正负分类讨论，准确找到给定区间内函数的最小值点，再结合图象在x轴上方的条件列不等式求解，解题时需注意一次项系数不为0的隐含条件，避免漏判情况。
【难度系数】
0.6
1. 如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0, -2),直线$y = -\frac{3}{4}x + 3$与x轴、y轴分别交于点A,B,且M是直线AB上的一个动点,则PM长的最小值为
4
.答案
4
如图,过点$P$作$PM ⊥ AB$于$M$,则$∠PMB=90°$,此时$PM$取最小值. 在$y = -\frac{3}{4}x + 3$中,当$x=0$时,$y=3$;当$y=0$时,$-\frac{3}{4}x + 3 = 0$,解得$x=4$,
∴$B(0,3)$,$A(4,0)$,
∴$OB=3$,$OA=4$. 由勾股定理,得$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
∵$P(0,-2)$,
∴$OP=2$,
∴$PB=5$.
∵$S_{△PAB} = \frac{1}{2}PB · OA = \frac{1}{2}AB · PM$,
∴$\frac{1}{2} × 5 × 4 = \frac{1}{2} × 5PM$,
∴$PM=4$,即$PM$长的最小值为4
.解析
【分析】
要找PM的最小值，根据“垂线段最短”的性质，当PM垂直于直线AB时，PM的长度最小，此时PM为点P到直线AB的垂线段。解题时先求出直线AB与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，用勾股定理算出AB的长度，再求出线段PB的长度，最后利用三角形面积的两种计算方式，通过等面积法列等式即可求出PM的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短，过点P作$PM ⊥ AB$于M，此时PM的长度最小，$∠PMB=90°$。
对于直线$y = -\frac{3}{4}x + 3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$，$OB=3$；
令$y=0$，得$-\frac{3}{4}x + 3 = 0$，解得$x=4$，故$A(4,0)$，$OA=4$。
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
已知$P(0,-2)$，则$OP=2$，因此$PB = OB + OP = 3 + 2 = 5$。
$△PAB$的面积可表示为$\frac{1}{2}PB · OA$，也可表示为$\frac{1}{2}AB · PM$，因此可得：
$\frac{1}{2} × 5 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × PM$
解得$PM=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的交点求法，垂线段最短，等面积法计算
【点评】
本题结合一次函数与几何最短路径问题，解题核心是利用垂线段最短确定PM的最小值位置，再通过等面积法简化计算，有效考察了数形结合思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要找PM的最小值，根据“垂线段最短”的性质，当PM垂直于直线AB时，PM的长度最小，此时PM为点P到直线AB的垂线段。解题时先求出直线AB与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，用勾股定理算出AB的长度，再求出线段PB的长度，最后利用三角形面积的两种计算方式，通过等面积法列等式即可求出PM的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短，过点P作$PM ⊥ AB$于M，此时PM的长度最小，$∠PMB=90°$。
对于直线$y = -\frac{3}{4}x + 3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$B(0,3)$，$OB=3$；
令$y=0$，得$-\frac{3}{4}x + 3 = 0$，解得$x=4$，故$A(4,0)$，$OA=4$。
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
已知$P(0,-2)$，则$OP=2$，因此$PB = OB + OP = 3 + 2 = 5$。
$△PAB$的面积可表示为$\frac{1}{2}PB · OA$，也可表示为$\frac{1}{2}AB · PM$，因此可得：
$\frac{1}{2} × 5 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × PM$
解得$PM=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的交点求法，垂线段最短，等面积法计算
【点评】
本题结合一次函数与几何最短路径问题，解题核心是利用垂线段最短确定PM的最小值位置，再通过等面积法简化计算，有效考察了数形结合思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2. [2026南京玄武区期末]如图,直线$y = -x + 4$与$y$轴,$x$轴分别交于点$A$和点$B$,$C$是线段$OA$的中点,点$D(m,1)$在直线$AB$上,$P$为$x$轴上一动点,当$PC + PD$的值最小时,点$P$的坐标为
(2,0)
.答案
(2,0)
如图,作点$C$关于$x$轴的对称点$C'$,连接$C'D$交$x$轴于点$P$,此时$PC + PD$的值最小(两点之间,线段最短). 对于直线$y = -x + 4$,当$x=0$时,$y=4$,
∴点$A$的坐标为$(0,4)$,当$y=0$时,$x=4$,
∴点$B$的坐标为$(4,0)$,
∴点$C$的坐标为$(0,2)$,则点$C'$的坐标为$(0,-2)$. 又$1 = -m + 4$,解得$m=3$,
∴$D(3,1)$. 设直线$C'D$的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$,将$C'(0,-2)$,$D(3,1)$分别代入$y = kx + b$,得$\begin{cases}b=-2,\\3k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴直线$C'D$的函数表达式为$y = x - 2$. 当$y=0$时,$x=2$,
∴点$P$的坐标为$(2,0)$
.解析
【分析】
本题属于一次函数结合最短路径的综合题，解题思路如下：1. 点C、D在x轴同侧，要使x轴上的点P到C、D的距离和最小，可利用轴对称性质：作点C关于x轴的对称点$C'$，此时$PC=PC'$，则$PC+PD=PC'+PD$，根据两点之间线段最短，$C'D$与x轴的交点就是所求的点P；2. 先根据直线AB的解析式求出点A坐标，再得到OA中点C的坐标，进而得到对称点$C'$的坐标；3. 利用点D在直线AB上的条件，代入解析式求出D的坐标；4. 用待定系数法求出直线$C'D$的解析式，再求该直线与x轴的交点，即为点P的坐标。
【解析】
解：作点C关于x轴的对称点$C'$，连接$C'D$交x轴于点P，此时$PC + PD$的值最小（两点之间，线段最短）。
对于直线$y = -x + 4$：
当$x=0$时，$y=4$，
∴点A的坐标为$(0,4)$；
当$y=0$时，$x=4$，
∴点B的坐标为$(4,0)$。
∵C是线段OA的中点，
∴点C的坐标为$(0,2)$，则点C关于x轴的对称点$C'$的坐标为$(0,-2)$。
∵点$D(m,1)$在直线$AB$上，将$D(m,1)$代入$y=-x+4$得：$1 = -m + 4$，解得$m=3$，
∴$D(3,1)$。
设直线$C'D$的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$，将$C'(0,-2)$、$D(3,1)$分别代入得：
$\begin{cases}b=-2\\3k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-2\end{cases}$
∴直线$C'D$的函数表达式为$y = x - 2$。
令$y=0$，得$0=x-2$，解得$x=2$，
∴点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
最短路径问题，一次函数坐标特征，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与几何的常见综合题型，解题核心是掌握轴对称求最短路径的固定思路，同时需要熟练运用一次函数的性质、点与函数解析式的关系以及待定系数法求函数解析式，这类题型是一次函数的高频考点，梳理清解题逻辑即可轻松掌握。
【难度系数】
0.7
本题属于一次函数结合最短路径的综合题，解题思路如下：1. 点C、D在x轴同侧，要使x轴上的点P到C、D的距离和最小，可利用轴对称性质：作点C关于x轴的对称点$C'$，此时$PC=PC'$，则$PC+PD=PC'+PD$，根据两点之间线段最短，$C'D$与x轴的交点就是所求的点P；2. 先根据直线AB的解析式求出点A坐标，再得到OA中点C的坐标，进而得到对称点$C'$的坐标；3. 利用点D在直线AB上的条件，代入解析式求出D的坐标；4. 用待定系数法求出直线$C'D$的解析式，再求该直线与x轴的交点，即为点P的坐标。
【解析】
解：作点C关于x轴的对称点$C'$，连接$C'D$交x轴于点P，此时$PC + PD$的值最小（两点之间，线段最短）。
对于直线$y = -x + 4$：
当$x=0$时，$y=4$，
∴点A的坐标为$(0,4)$；
当$y=0$时，$x=4$，
∴点B的坐标为$(4,0)$。
∵C是线段OA的中点，
∴点C的坐标为$(0,2)$，则点C关于x轴的对称点$C'$的坐标为$(0,-2)$。
∵点$D(m,1)$在直线$AB$上，将$D(m,1)$代入$y=-x+4$得：$1 = -m + 4$，解得$m=3$，
∴$D(3,1)$。
设直线$C'D$的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$，将$C'(0,-2)$、$D(3,1)$分别代入得：
$\begin{cases}b=-2\\3k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-2\end{cases}$
∴直线$C'D$的函数表达式为$y = x - 2$。
令$y=0$，得$0=x-2$，解得$x=2$，
∴点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
最短路径问题，一次函数坐标特征，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与几何的常见综合题型，解题核心是掌握轴对称求最短路径的固定思路，同时需要熟练运用一次函数的性质、点与函数解析式的关系以及待定系数法求函数解析式，这类题型是一次函数的高频考点，梳理清解题逻辑即可轻松掌握。
【难度系数】
0.7
3. [2026南京郑和外国语学校月考]如图，一次函数$y=\frac{1}{2}x + 2$的图象与x轴交于点A，将该函数图象绕点A逆时针旋转$45°$，则得到的新图象的函数表达式为
y=3x+12
。答案
y=3x+12
解题思路:利用$45°$角,作辅助线构造等腰直角三角形$ADB$,证$△AMD ≌ △BND$,利用全等三角形的性质得到点$D$的坐标,依据待定系数法求出表达式即可.
∵一次函数$y=\frac{1}{2}x + 2$的图象与$x$轴交于点$A$,
∴$A(-4,0)$.
设一次函数$y=\frac{1}{2}x + 2$的图象与$y$轴交于点$B$,则$B(0,2)$.
设直线$y=\frac{1}{2}x + 2$绕点$A$逆时针旋转$45°$后得到的直线为$l$,过点$B$作$BD ⊥ l$,垂足为点$D$,过点$D$作$DN ⊥ y$轴,$DM ⊥ x$轴,则$△ABD$为等腰直角三角形,如图
,∴$AD=BD$. 在$△AMD$和$△BND$中,$\begin{cases}∠AMD=∠BND,\\∠ADM=∠BDN,\\AD=BD,\end{cases}$
∴$△AMD ≌ △BND(AAS)$,
∴$AM=BN$,$DM=DN$. 易知四边形$OMDN$是正方形,
∴$OM=ON$. 又$OM=OA - AM=4 - BN$,$ON=OB + BN=2 + BN$,
∴$2 + NB=4 - NB$,
∴$NB=AM=1$,
∴$D(-3,3)$. 设直线$l$的函数表达式为$y=kx + b$,将点$A(-4,0)$,$D(-3,3)$的坐标代入,得$\begin{cases}-4k+b=0,\\-3k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=12,\end{cases}$
∴直线$l$的函数表达式为$y=3x+12$.
解析
【分析】
解决这道题我们可以按三步思考：第一步，先求出原一次函数与x轴的交点A的坐标，因为旋转是绕点A进行的，所以点A一定在旋转后的新直线上；第二步，结合旋转45°的条件，构造等腰直角三角形，通过作辅助线证明三角形全等，求出旋转后新直线上另一个点的坐标；第三步，已知新直线上两个点的坐标，用待定系数法即可求出新的函数表达式。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
∵一次函数$y=\frac{1}{2}x + 2$的图象与x轴交于点A，令$y=0$，
则$0=\frac{1}{2}x + 2$，解得$x=-4$，
∴$A(-4,0)$。
设原一次函数图象与y轴交于点B，令$x=0$，得$y=2$，
∴$B(0,2)$。
2. 构造全等三角形求点D坐标：
设绕点A逆时针旋转45°后得到的直线为$l$，过点B作$BD⊥l$，垂足为D，过D作$DM⊥x$轴于M，$DN⊥y$轴于N，如图。
∵旋转角为45°，$BD⊥l$，
∴$△ABD$是等腰直角三角形，即$AD=BD$。
∵$∠ADM + ∠MDB = 90°$，$∠BDN + ∠MDB = 90°$，
∴$∠ADM = ∠BDN$。
在$△AMD$和$△BND$中：
$\begin{cases}∠AMD = ∠BND = 90° \\∠ADM = ∠BDN \\AD = BD\end{cases}$
∴$△AMD ≌ △BND(AAS)$，
∴$AM=BN$，$DM=DN$。
易知四边形$OMDN$是矩形，又$DM=DN$，故四边形$OMDN$是正方形，得$OM=ON$。
设$BN=AM=a$，
则$OM = OA - AM = 4 - a$，$ON = OB + BN = 2 + a$，
由$OM=ON$得：$4 - a = 2 + a$，
解得$a=1$。
∴$OM=4-1=3$，$DM=OM=3$，即点D的坐标为$(-3,3)$。
3. 待定系数法求解析式：
设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,0)$、$D(-3,3)$代入得：
$\begin{cases}-4k + b = 0 \\-3k + b = 3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$k=3$，将$k=3$代入$-4k + b = 0$，得$b=12$。
【答案】
$y=3x+12$
【知识点】
一次函数图象变换，全等三角形判定与性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题将一次函数旋转与几何全等知识结合，解题关键是利用45°角构造等腰直角三角形，通过全等得到旋转后直线上另一个点的坐标，再用待定系数法求解，很好地考察了数形结合思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
解决这道题我们可以按三步思考：第一步，先求出原一次函数与x轴的交点A的坐标，因为旋转是绕点A进行的，所以点A一定在旋转后的新直线上；第二步，结合旋转45°的条件，构造等腰直角三角形，通过作辅助线证明三角形全等，求出旋转后新直线上另一个点的坐标；第三步，已知新直线上两个点的坐标，用待定系数法即可求出新的函数表达式。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
∵一次函数$y=\frac{1}{2}x + 2$的图象与x轴交于点A，令$y=0$，
则$0=\frac{1}{2}x + 2$，解得$x=-4$，
∴$A(-4,0)$。
设原一次函数图象与y轴交于点B，令$x=0$，得$y=2$，
∴$B(0,2)$。
2. 构造全等三角形求点D坐标：
设绕点A逆时针旋转45°后得到的直线为$l$，过点B作$BD⊥l$，垂足为D，过D作$DM⊥x$轴于M，$DN⊥y$轴于N，如图
。∵旋转角为45°，$BD⊥l$，
∴$△ABD$是等腰直角三角形，即$AD=BD$。
∵$∠ADM + ∠MDB = 90°$，$∠BDN + ∠MDB = 90°$，
∴$∠ADM = ∠BDN$。
在$△AMD$和$△BND$中：
$\begin{cases}∠AMD = ∠BND = 90° \\∠ADM = ∠BDN \\AD = BD\end{cases}$
∴$△AMD ≌ △BND(AAS)$，
∴$AM=BN$，$DM=DN$。
易知四边形$OMDN$是矩形，又$DM=DN$，故四边形$OMDN$是正方形，得$OM=ON$。
设$BN=AM=a$，
则$OM = OA - AM = 4 - a$，$ON = OB + BN = 2 + a$，
由$OM=ON$得：$4 - a = 2 + a$，
解得$a=1$。
∴$OM=4-1=3$，$DM=OM=3$，即点D的坐标为$(-3,3)$。
3. 待定系数法求解析式：
设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-4,0)$、$D(-3,3)$代入得：
$\begin{cases}-4k + b = 0 \\-3k + b = 3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$k=3$，将$k=3$代入$-4k + b = 0$，得$b=12$。
【答案】
$y=3x+12$
【知识点】
一次函数图象变换，全等三角形判定与性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题将一次函数旋转与几何全等知识结合，解题关键是利用45°角构造等腰直角三角形，通过全等得到旋转后直线上另一个点的坐标，再用待定系数法求解，很好地考察了数形结合思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
4. [2026 徐州树人初级中学月考]如图,直线$y=kx+b$($k≠0$)与坐标轴分别交于点$A,B$,$OA=8,OB=$
6,点$M(4,m)$在直线上,动点$P$从点$O$出发,沿$x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动.
(1)点$A$的坐标为
(2)求直线$AB$的函数表达式.
(3)设点$P$的运动时间为$t$秒($0≤t≤4$),$△ BPA$的面积为$S$,求$S$与$t$之间的函数关系式,并求出当$S=8$时点$P$的坐标.
(4)$x$轴正半轴上是否存在一点$P$,使$△ OPM$为等腰三角形?若存在,请求出满足条件的所有$P$点的坐标;若不存在,请说明理由.
6,点$M(4,m)$在直线上,动点$P$从点$O$出发,沿$x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动.
(1)点$A$的坐标为
(8,0)
,点$B$的坐标为(0,6)
.(2)求直线$AB$的函数表达式.
(3)设点$P$的运动时间为$t$秒($0≤t≤4$),$△ BPA$的面积为$S$,求$S$与$t$之间的函数关系式,并求出当$S=8$时点$P$的坐标.
(4)$x$轴正半轴上是否存在一点$P$,使$△ OPM$为等腰三角形?若存在,请求出满足条件的所有$P$点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)(8,0) (0,6)
(2)将$A(8,0),B(0,6)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}8k+b=0,\\b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=6,\end{cases}$
∴直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 6$.
(3)动点$P$从点$O$出发,沿$x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动,则$OP=2t$.
当$0 ≤ t ≤ 4$时,点$P$在线段$OA$上,
∴$AP=8 - 2t$,
∴$△BPA$的面积$S = \frac{1}{2}AP · OB = \frac{1}{2}(8 - 2t) × 6 = -6t + 24$.
当$S=8$时,$-6t + 24 = 8$,解得$t = \frac{8}{3}$,
∴$OP = 2 × \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$,
∴点$P$的坐标为$(\frac{16}{3},0)$.
(4)存在.
∵点$M(4,m)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 6$上,
∴$m = -\frac{3}{4} × 4 + 6 = 3$,
∴点$M$的坐标为$(4,3)$,如图
,连接$OM$,则$OM = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
设点$P$的坐标为$(2t,0)(t ＞ 0)$.
当$△OPM$为等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当$OP=OM=5$时,点$P$的坐标为$(5,0)$;
②当$OP=PM$时,$(2t)^2 = (4 - 2t)^2 + 3^2$,
解得$t = \frac{25}{16}$,
∴$2t = \frac{25}{8}$,
∴点$P$的坐标为$(\frac{25}{8},0)$;
③当$OM=MP$时,过点$M$作$MN ⊥ x$轴于点$N$,如图所示,
则$ON=4$,$OP=2ON=8$,
∴点$P$的坐标为$(8,0)$.
综上所述,$x$轴正半轴上存在一点$P$,使$△OPM$为等腰三角形,满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$,$(\frac{25}{8},0)$或$(8,0)$.
解析
【分析】
(1) 点A在x轴上，纵坐标为0，结合OA=8可得横坐标为8；点B在y轴上，横坐标为0，结合OB=6可得纵坐标为6，直接写出坐标即可。
(2) 求一次函数解析式使用待定系数法，将A、B两点坐标代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k和b的值即可得到直线表达式。
(3) 先根据点P的运动速度和时间表示出OP的长度，0≤t≤4时P在线段OA上，所以AP=OA-OP，△BPA的高为OB的长度，利用三角形面积公式即可列出S与t的函数关系式；令S=8，解方程求出t的值，再计算OP的长度即可得到P点坐标。
(4) 先将M点的横坐标代入直线AB的解析式求出m的值，得到M点坐标，再计算OM的长度。△OPM为等腰三角形时分三类讨论：①OP=OM；②OP=PM；③OM=MP，分别根据等腰三角形的性质列方程求解，即可得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) 点A在x轴正半轴，OA=8，故A(8,0)；点B在y轴正半轴，OB=6，故B(0,6)。
(2) 将$A(8,0),B(0,6)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}8k+b=0,\\b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=6,\end{cases}$
∴直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 6$。
(3) 动点$P$从点$O$出发,沿$x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动,则$OP=2t$。
当$0 ≤ t ≤ 4$时,点$P$在线段$OA$上,
∴$AP=8 - 2t$,
∴$△BPA$的面积$S = \frac{1}{2}AP · OB = \frac{1}{2}(8 - 2t) × 6 = -6t + 24$。
当$S=8$时,$-6t + 24 = 8$,解得$t = \frac{8}{3}$,
∴$OP = 2 × \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$,
∴点$P$的坐标为$(\frac{16}{3},0)$。
(4) 存在。
∵点$M(4,m)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 6$上,
∴$m = -\frac{3}{4} × 4 + 6 = 3$,
∴点$M$的坐标为$(4,3)$,如图,连接$OM$,
则$OM = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
设点$P$的坐标为$(2t,0)(t ＞ 0)$。
当$△OPM$为等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当$OP=OM=5$时,点$P$的坐标为$(5,0)$;
②当$OP=PM$时,$(2t)^2 = (4 - 2t)^2 + 3^2$,
解得$t = \frac{25}{16}$,
∴$2t = \frac{25}{8}$,
∴点$P$的坐标为$(\frac{25}{8},0)$;
③当$OM=MP$时,过点$M$作$MN ⊥ x$轴于点$N$,如图所示,
则$ON=4$,$OP=2ON=8$,
∴点$P$的坐标为$(8,0)$。
综上所述,$x$轴正半轴上存在一点$P$,使$△OPM$为等腰三角形,满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$,$(\frac{25}{8},0)$或$(8,0)$。
【答案】
(1)$(8,0)$；$(0,6)$
(2)$y = -\frac{3}{4}x + 6$
(3)$S=-6t+24(0≤t≤4)$，当$S=8$时，点$P$的坐标为$(\frac{16}{3},0)$
(4)存在，满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$、$(\frac{25}{8},0)$、$(8,0)$，辅助图如图
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 三角形面积计算
3. 等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数的综合典型题，涵盖了一次函数解析式求解、动点面积计算、等腰三角形存在性问题，要求熟练掌握待定系数法，同时在解决存在性问题时要灵活运用分类讨论思想，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 点A在x轴上，纵坐标为0，结合OA=8可得横坐标为8；点B在y轴上，横坐标为0，结合OB=6可得纵坐标为6，直接写出坐标即可。
(2) 求一次函数解析式使用待定系数法，将A、B两点坐标代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k和b的值即可得到直线表达式。
(3) 先根据点P的运动速度和时间表示出OP的长度，0≤t≤4时P在线段OA上，所以AP=OA-OP，△BPA的高为OB的长度，利用三角形面积公式即可列出S与t的函数关系式；令S=8，解方程求出t的值，再计算OP的长度即可得到P点坐标。
(4) 先将M点的横坐标代入直线AB的解析式求出m的值，得到M点坐标，再计算OM的长度。△OPM为等腰三角形时分三类讨论：①OP=OM；②OP=PM；③OM=MP，分别根据等腰三角形的性质列方程求解，即可得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) 点A在x轴正半轴，OA=8，故A(8,0)；点B在y轴正半轴，OB=6，故B(0,6)。
(2) 将$A(8,0),B(0,6)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}8k+b=0,\\b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=6,\end{cases}$
∴直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 6$。
(3) 动点$P$从点$O$出发,沿$x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动,则$OP=2t$。
当$0 ≤ t ≤ 4$时,点$P$在线段$OA$上,
∴$AP=8 - 2t$,
∴$△BPA$的面积$S = \frac{1}{2}AP · OB = \frac{1}{2}(8 - 2t) × 6 = -6t + 24$。
当$S=8$时,$-6t + 24 = 8$,解得$t = \frac{8}{3}$,
∴$OP = 2 × \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$,
∴点$P$的坐标为$(\frac{16}{3},0)$。
(4) 存在。
∵点$M(4,m)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 6$上,
∴$m = -\frac{3}{4} × 4 + 6 = 3$,
∴点$M$的坐标为$(4,3)$,如图
,连接$OM$,则$OM = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
设点$P$的坐标为$(2t,0)(t ＞ 0)$。
当$△OPM$为等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当$OP=OM=5$时,点$P$的坐标为$(5,0)$;
②当$OP=PM$时,$(2t)^2 = (4 - 2t)^2 + 3^2$,
解得$t = \frac{25}{16}$,
∴$2t = \frac{25}{8}$,
∴点$P$的坐标为$(\frac{25}{8},0)$;
③当$OM=MP$时,过点$M$作$MN ⊥ x$轴于点$N$,如图所示,
则$ON=4$,$OP=2ON=8$,
∴点$P$的坐标为$(8,0)$。
综上所述,$x$轴正半轴上存在一点$P$,使$△OPM$为等腰三角形,满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$,$(\frac{25}{8},0)$或$(8,0)$。
【答案】
(1)$(8,0)$；$(0,6)$
(2)$y = -\frac{3}{4}x + 6$
(3)$S=-6t+24(0≤t≤4)$，当$S=8$时，点$P$的坐标为$(\frac{16}{3},0)$
(4)存在，满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$、$(\frac{25}{8},0)$、$(8,0)$，辅助图如图
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 三角形面积计算
3. 等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数的综合典型题，涵盖了一次函数解析式求解、动点面积计算、等腰三角形存在性问题，要求熟练掌握待定系数法，同时在解决存在性问题时要灵活运用分类讨论思想，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
