7 一题多解 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC//AB.若AB＝4，CF＝3，则BD的长为.

7. 1 【解析】解法一：$\because FC// AB,\therefore ∠ A = ∠ ECF.$ 在
$△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ ECF,\\∠ AED=∠ CEF,\\DE=FE,\end{cases}\therefore △ ADE≌△ CFE$
(AAS), $\therefore AD = CF = 3,\therefore BD = AB - AD = 1.$ 解法二：
$\because FC// AB,\therefore ∠ ADE = ∠ F.$ 在 $△ ADE$ 和 $△ CFE$ 中，
$\begin{cases}∠ ADE=∠ F,\\DE=FE,\\∠ AED=∠ CEF,\end{cases}$ $\therefore △ ADE≌△ CFE(\mathrm{ASA}),\therefore AD=CF=$
$3,\therefore BD=AB-AD=1.$

8 如图，CA平分∠∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E。若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为。

8. $82°$ 【解析】设 $∠ B=x,∠ BCA=y$,则易得 $∠ BCA = ∠ DCA=y$. 证 $△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$,得 $∠ B=∠ D=x$. 由 $∠ EAC=∠ D+∠ DCA$,得 $x+y=49°$. 在 $△ ABC$ 中,由三角形的内角和为 $180°$,得 $∠ BAE=180°-49°-(x+y)=82°$.

9 如图,在$△ ABC$和$△ DCB$中,$AC$与$BD$交于点$E$,且$∠ A=∠ D$,$AB=DC$.
（1）写出图中所有全等的三角形:________;
（2）若$∠ AEB=50°$,则$∠ EBC$的度数为________.

9. (1) $△ ABE≌△ DCE,△ ABC≌△ DCB$ (2) $25°$

10 转化与化归思想 如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD，DB，已知$CA=CB$，$DA=DB$，$EA=EB$.求证：C，D，E三点在一条直线上。

10. 连接 $CD$，$ED$. 在 $△ ADC$ 和 $△ BDC$ 中，$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BD,\\CD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDC(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADC=∠ BDC.$ 在 $△ ADE$ 和
$△ BDE$ 中,$\begin{cases}AD=BD,\\AE=BE,\\ED=ED,\end{cases}\therefore △ ADE≌△ BDE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ ADE=$
$∠ BDE. \because ∠ ADC + ∠ BDC + ∠ ADE + ∠ BDE = 360°,$
$\therefore 2∠ ADC + 2∠ ADE = 360°,\therefore ∠ ADC + ∠ ADE = 180°,$
$\therefore C,D,E$ 三点在一条直线上

11 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E,F分别在AD,BC上,AE=CF,过点A,C分别作直线EF的垂线,垂足分别为G,H.
(1) 求证:△AGE≌△CHF.
(2) 连接AC,线段GH与AC是否互相平分?请说明理由.

11. (1) $\because AG⊥ EF,CH⊥ EF,\therefore ∠ G=∠ H=90°. \because AD// BC,\therefore ∠ DEF=∠ CFH. \because ∠ AEG=∠ DEF,\therefore ∠ AEG=∠ CFH.$ 在 $△ AGE$ 和 $△ CHF$ 中，$\begin{cases}∠ G=∠ H,\\∠ AEG=∠ CFH,\\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ AGE≌△ CHF(\mathrm{AAS})$ (2) 线段 $GH$ 与 $AC$ 互相平分
理由: 设 $GH, AC$ 交于点 $O$. 由 (1), 得 $△ AGE≌△ CHF$,
$\therefore AG = CH.$ 在 $△ AGO$ 和 $△ CHO$ 中，$\begin{cases}∠ AOG=∠ COH,\\∠ G=∠ H,\\AG=CH,\end{cases}$
$\therefore △ AGO≌△ CHO(\mathrm{AAS}),\therefore AO=CO,GO=HO$, 即线段
$GH$ 与 $AC$ 互相平分.