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7.某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种月季花的共同生长情况.当他们尝试施用某种药物时,发现会对A,B两种月季花分别产生促进生长和抑制生长的作用.通过实验,A,B两种月季花的生长高度$y_A$ cm,$y_B$ cm与药物施用量x mg的关系数据统计如表:
| $x$/mg | 0 | 4 | 6 | 8 | 10 | 15 | 18 | 21 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y_A$/cm | 25 | 21 | 19 |
| 15 | 10 | 7 | 4 |
| $y_B$/cm | 10 | 18 | 22 | 26 | 30 | 40 | 46 | 52 |
(1)根据以上数据,在如图带网格的平面直角坐标系中通过描点,连线,画出A,B两种月季花的生长高度$y_A$,$y_B$与药物施用量x的函数图象;
(2)猜想A,B两种月季花的生长高度$y_A$,$y_B$与药物施用量的函数关系;分别求出$y_A$,$y_B$与x的函数关系式;
(3)同学们研究发现,当两种月季花高度差距不超过5 cm时,两种月季花的生长会处于一种良好的平衡状态,求出满足平衡状态时,该药物施用量x的取值范围.
| $x$/mg | 0 | 4 | 6 | 8 | 10 | 15 | 18 | 21 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y_A$/cm | 25 | 21 | 19 |
| 15 | 10 | 7 | 4 || $y_B$/cm | 10 | 18 | 22 | 26 | 30 | 40 | 46 | 52 |
(1)根据以上数据,在如图带网格的平面直角坐标系中通过描点,连线,画出A,B两种月季花的生长高度$y_A$,$y_B$与药物施用量x的函数图象;
(2)猜想A,B两种月季花的生长高度$y_A$,$y_B$与药物施用量的函数关系;分别求出$y_A$,$y_B$与x的函数关系式;
(3)同学们研究发现,当两种月季花高度差距不超过5 cm时,两种月季花的生长会处于一种良好的平衡状态,求出满足平衡状态时,该药物施用量x的取值范围.
答案
(1)略
(2)由图象得,A,B两种月季花的生长高度$y_A,y_B$与药物施用量x是一次函数关系.
设$y_A=k_1x+b_1$.
∵图象过$(0,25)$和$(4,21)$,
∴$\begin{cases} b_1=25,\\4k_1+b_1=21,\end{cases}$
∴$\begin{cases} k_1=-1,\\b_1=25,\end{cases}$
∴$y_A=-x+25$.
同理可得:$y_B=2x+10$.
(3)由题意,令$y_A-y_B=5$,
则$-x+25-(2x+10)=5$,
∴$x=\dfrac{10}{3}$.
令$y_B-y_A=5$,则$2x+10-(-x+25)=5$,
∴$x=\dfrac{20}{3}$.
∴结合图象可得,满足平衡状态时,该药物施用量x的取值范围为$\dfrac{10}{3}≤ x≤\dfrac{20}{3}$.
(2)由图象得,A,B两种月季花的生长高度$y_A,y_B$与药物施用量x是一次函数关系.
设$y_A=k_1x+b_1$.
∵图象过$(0,25)$和$(4,21)$,
∴$\begin{cases} b_1=25,\\4k_1+b_1=21,\end{cases}$
∴$\begin{cases} k_1=-1,\\b_1=25,\end{cases}$
∴$y_A=-x+25$.
同理可得:$y_B=2x+10$.
(3)由题意,令$y_A-y_B=5$,
则$-x+25-(2x+10)=5$,
∴$x=\dfrac{10}{3}$.
令$y_B-y_A=5$,则$2x+10-(-x+25)=5$,
∴$x=\dfrac{20}{3}$.
∴结合图象可得,满足平衡状态时,该药物施用量x的取值范围为$\dfrac{10}{3}≤ x≤\dfrac{20}{3}$.
解析
【分析】
(1)第一问为作图题，只需将表格中x对应的$y_A$、$y_B$数值作为点的坐标，在坐标系中依次描出各点，再用直线连接即可。
(2)观察描出的点都在同一条直线上，可判断$y_A$、$y_B$均是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般式$y=kx+b$，选取两组对应数据代入解析式，解二元一次方程组求出k、b的值，再验证其余点满足所求解析式即可。
(3)“高度差距不超过5cm”即两种花的高度差的绝对值小于等于5，分两种情况：①$y_A$比$y_B$高5cm；②$y_B$比$y_A$高5cm，分别列方程求出对应的x值，再结合两个函数的增减性确定x的取值范围。
【解析】
(1)根据表格数据描点、连线即可，作图略。
(2)观察图象可得，$y_A$、$y_B$与x的函数关系均为一次函数：
①求$y_A$的解析式：设$y_A = k_1x + b_1$，
将$x=0,y_A=25$和$x=4,y_A=21$代入得：
$\begin{cases} b_1=25 \\4k_1 + b_1 = 21 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_1=-1 \\b_1=25 \end{cases}$，
验证其余数据均满足该式，故$y_A=-x+25$。
②求$y_B$的解析式：设$y_B = k_2x + b_2$，
将$x=0,y_B=10$和$x=4,y_B=18$代入得：
$\begin{cases} b_2=10 \\4k_2 + b_2 = 18 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_2=2 \\b_2=10 \end{cases}$，
验证其余数据均满足该式，故$y_B=2x+10$。
(3)由题意得两种花高度差满足$|y_A - y_B| ≤5$：
当$y_A - y_B = 5$时，$-x+25 - (2x+10) = 5$，解得$x=\frac{10}{3}$；
当$y_B - y_A = 5$时，$2x+10 - (-x+25) = 5$，解得$x=\frac{20}{3}$。
结合函数增减性：$y_A$随x增大而减小，$y_B$随x增大而增大，因此满足平衡状态的x取值范围为$\frac{10}{3} ≤x ≤\frac{20}{3}$。
【答案】
(1)略；
(2)$y_A=-x+25$，$y_B=2x+10$；
(3)$\dfrac{10}{3}≤ x≤\dfrac{20}{3}$
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合植物生长的实际情境考查一次函数相关知识，要求学生具备从表格数据中提取信息、建立函数模型的能力，同时需要准确理解“高度差不超过5cm”的数学含义，将实际问题转化为数学问题求解，较好地考查了知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)第一问为作图题，只需将表格中x对应的$y_A$、$y_B$数值作为点的坐标，在坐标系中依次描出各点，再用直线连接即可。
(2)观察描出的点都在同一条直线上，可判断$y_A$、$y_B$均是x的一次函数，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般式$y=kx+b$，选取两组对应数据代入解析式，解二元一次方程组求出k、b的值，再验证其余点满足所求解析式即可。
(3)“高度差距不超过5cm”即两种花的高度差的绝对值小于等于5，分两种情况：①$y_A$比$y_B$高5cm；②$y_B$比$y_A$高5cm，分别列方程求出对应的x值，再结合两个函数的增减性确定x的取值范围。
【解析】
(1)根据表格数据描点、连线即可，作图略。
(2)观察图象可得，$y_A$、$y_B$与x的函数关系均为一次函数：
①求$y_A$的解析式：设$y_A = k_1x + b_1$，
将$x=0,y_A=25$和$x=4,y_A=21$代入得：
$\begin{cases} b_1=25 \\4k_1 + b_1 = 21 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_1=-1 \\b_1=25 \end{cases}$，
验证其余数据均满足该式，故$y_A=-x+25$。
②求$y_B$的解析式：设$y_B = k_2x + b_2$，
将$x=0,y_B=10$和$x=4,y_B=18$代入得：
$\begin{cases} b_2=10 \\4k_2 + b_2 = 18 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k_2=2 \\b_2=10 \end{cases}$，
验证其余数据均满足该式，故$y_B=2x+10$。
(3)由题意得两种花高度差满足$|y_A - y_B| ≤5$：
当$y_A - y_B = 5$时，$-x+25 - (2x+10) = 5$，解得$x=\frac{10}{3}$；
当$y_B - y_A = 5$时，$2x+10 - (-x+25) = 5$，解得$x=\frac{20}{3}$。
结合函数增减性：$y_A$随x增大而减小，$y_B$随x增大而增大，因此满足平衡状态的x取值范围为$\frac{10}{3} ≤x ≤\frac{20}{3}$。
【答案】
(1)略；
(2)$y_A=-x+25$，$y_B=2x+10$；
(3)$\dfrac{10}{3}≤ x≤\dfrac{20}{3}$
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合植物生长的实际情境考查一次函数相关知识，要求学生具备从表格数据中提取信息、建立函数模型的能力，同时需要准确理解“高度差不超过5cm”的数学含义，将实际问题转化为数学问题求解，较好地考查了知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
