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三、画函数图象找最优方案
(1)在方格纸上画出$y_A,y_B,y_C$的图象(可简化手绘)。
(2)观察图象交点，对比$x$不同的取值范围(喝凉茶碗数)，看哪家店最省钱：
当$x$在时，A店划算；
当$x$在时，B店划算；
当$x$在时，C店划算。
(3)结合家庭需求选方案。
和家人聊聊每月喝凉茶(或对应消费)的频率，比如：
若家人每月喝20碗，选店，算一算比其他店省多少钱；
若每月喝60碗，选店，说说为啥它最划算。
(1)在方格纸上画出$y_A,y_B,y_C$的图象(可简化手绘)。
(2)观察图象交点，对比$x$不同的取值范围(喝凉茶碗数)，看哪家店最省钱：
当$x$在时，A店划算；
当$x$在时，B店划算；
当$x$在时，C店划算。
(3)结合家庭需求选方案。
和家人聊聊每月喝凉茶(或对应消费)的频率，比如：
若家人每月喝20碗，选店，算一算比其他店省多少钱；
若每月喝60碗，选店，说说为啥它最划算。
答案
解：
(1) 设喝凉茶的碗数为$x$（$x≥0$，且$x$为整数），该类题型常规收费规则下三个店的费用函数为：
$y_A=4x$，$y_B=3x+20$，$y_C=2x+80$。
建立平面直角坐标系，横轴表示凉茶碗数$x$，纵轴表示总费用$y$：
画$y_A$：过点$(0,0)$、$(10,40)$作第一象限内的射线；
画$y_B$：过点$(0,20)$、$(20,80)$作第一象限内的射线；
画$y_C$：过点$(0,80)$、$(60,200)$作第一象限内的射线。
(2) 联立方程求交点：
联立$\begin{cases}y_A=4x\\y_B=3x+20\end{cases}$，解得$x=20$；
联立$\begin{cases}y_B=3x+20\\y_C=2x+80\end{cases}$，解得$x=60$。
当$x$在 $\boldsymbol{0＜x＜20}$（x为正整数） 时，A店划算；
当$x$在 $\boldsymbol{20＜x＜60}$（x为正整数） 时，B店划算；
当$x$在 $\boldsymbol{x＞60}$（x为正整数） 时，C店划算。
(3) 当$x=20$时：
$y_A=4×20=80$元，$y_B=3×20+20=80$元，$y_C=2×20+80=120$元。
选 $\boldsymbol{A（或B）}$ 店，比C店省$120-80=40$元，与另一店花费持平。
当$x=60$时：
$y_A=4×60=240$元，$y_B=3×60+20=200$元，$y_C=2×60+80=200$元。
选 $\boldsymbol{C}$ 店，因为当月喝凉茶碗数超过60时，C店的总费用会低于A、B两店，长期消费总花费最低，最划算。
(1) 设喝凉茶的碗数为$x$（$x≥0$，且$x$为整数），该类题型常规收费规则下三个店的费用函数为：
$y_A=4x$，$y_B=3x+20$，$y_C=2x+80$。
建立平面直角坐标系，横轴表示凉茶碗数$x$，纵轴表示总费用$y$：
画$y_A$：过点$(0,0)$、$(10,40)$作第一象限内的射线；
画$y_B$：过点$(0,20)$、$(20,80)$作第一象限内的射线；
画$y_C$：过点$(0,80)$、$(60,200)$作第一象限内的射线。
(2) 联立方程求交点：
联立$\begin{cases}y_A=4x\\y_B=3x+20\end{cases}$，解得$x=20$；
联立$\begin{cases}y_B=3x+20\\y_C=2x+80\end{cases}$，解得$x=60$。
当$x$在 $\boldsymbol{0＜x＜20}$（x为正整数） 时，A店划算；
当$x$在 $\boldsymbol{20＜x＜60}$（x为正整数） 时，B店划算；
当$x$在 $\boldsymbol{x＞60}$（x为正整数） 时，C店划算。
(3) 当$x=20$时：
$y_A=4×20=80$元，$y_B=3×20+20=80$元，$y_C=2×20+80=120$元。
选 $\boldsymbol{A（或B）}$ 店，比C店省$120-80=40$元，与另一店花费持平。
当$x=60$时：
$y_A=4×60=240$元，$y_B=3×60+20=200$元，$y_C=2×60+80=200$元。
选 $\boldsymbol{C}$ 店，因为当月喝凉茶碗数超过60时，C店的总费用会低于A、B两店，长期消费总花费最低，最划算。
解析
【分析】
这是一道结合生活消费场景的一次函数最优方案问题，解题思路可分为三步：①首先明确三个店铺的总费用都是关于凉茶碗数x的一次函数，由于x代表碗数为非负整数，绘制函数图象时只需取第一象限内的两个点连线作射线即可；②判断哪家店划算的本质是相同x值下比较总费用y的大小，因此先通过联立两个函数解析式求交点，交点就是两个店铺费用相同的临界值，再用临界值将x的取值范围划分成不同区间，每个区间内图象位置最低的函数对应的店铺最划算；③最后代入具体的碗数数值，分别计算三个店铺的费用，对比后选出最优惠的店铺并计算差价即可。
【解析】
(1) 设喝凉茶的碗数为$x$（$x≥0$，且$x$为整数），三个店的费用函数分别为：$y_A=4x$，$y_B=3x+20$，$y_C=2x+80$。
建立平面直角坐标系，横轴表示凉茶碗数$x$，纵轴表示总费用$y$：
画$y_A$：取点$(0,0)$、$(10,40)$，连接两点作第一象限内的射线；
画$y_B$：取点$(0,20)$、$(20,80)$，连接两点作第一象限内的射线；
画$y_C$：取点$(0,80)$、$(60,200)$，连接两点作第一象限内的射线。
(2) 联立函数解析式求交点（即两店费用相等的临界碗数）：
联立$\begin{cases}y_A=4x\\y_B=3x+20\end{cases}$，解得$x=20$，即x=20时A、B两店费用相同；
联立$\begin{cases}y_B=3x+20\\y_C=2x+80\end{cases}$，解得$x=60$，即x=60时B、C两店费用相同。
结合图象的上下位置对比：
当$0＜x＜20$（x为正整数）时，$y_A$值最小，A店划算；
当$20＜x＜60$（x为正整数）时，$y_B$值最小，B店划算；
当$x＞60$（x为正整数）时，$y_C$值最小，C店划算。
(3) 代入具体数值计算：
① 当$x=20$时：
$y_A=4×20=80$元，$y_B=3×20+20=80$元，$y_C=2×20+80=120$元。
此时A、B两店费用相同且低于C店，可选A（或B）店，比C店省$120-80=40$元，和另一店花费持平。
② 当$x=60$时：
$y_A=4×60=240$元，$y_B=3×60+20=200$元，$y_C=2×60+80=200$元。
此时选C店最划算，因为当月喝凉茶碗数超过60时，C店的总费用增长速度最慢，后续消费总花费会低于A、B两店，长期消费更优惠。
【答案】
(2) $0＜x＜20$（x为正整数）；$20＜x＜60$（x为正整数）；$x＞60$（x为正整数）
(3) A（或B）；C
【知识点】
一次函数图象绘制，一次函数交点求解，最优方案选择
【点评】
本题贴近生活消费场景，将一次函数的知识与实际选择问题结合，既考查了一次函数的图象绘制、交点计算等基础能力，也引导学生学会用数学知识解决生活中的实际问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活消费场景的一次函数最优方案问题，解题思路可分为三步：①首先明确三个店铺的总费用都是关于凉茶碗数x的一次函数，由于x代表碗数为非负整数，绘制函数图象时只需取第一象限内的两个点连线作射线即可；②判断哪家店划算的本质是相同x值下比较总费用y的大小，因此先通过联立两个函数解析式求交点，交点就是两个店铺费用相同的临界值，再用临界值将x的取值范围划分成不同区间，每个区间内图象位置最低的函数对应的店铺最划算；③最后代入具体的碗数数值，分别计算三个店铺的费用，对比后选出最优惠的店铺并计算差价即可。
【解析】
(1) 设喝凉茶的碗数为$x$（$x≥0$，且$x$为整数），三个店的费用函数分别为：$y_A=4x$，$y_B=3x+20$，$y_C=2x+80$。
建立平面直角坐标系，横轴表示凉茶碗数$x$，纵轴表示总费用$y$：
画$y_A$：取点$(0,0)$、$(10,40)$，连接两点作第一象限内的射线；
画$y_B$：取点$(0,20)$、$(20,80)$，连接两点作第一象限内的射线；
画$y_C$：取点$(0,80)$、$(60,200)$，连接两点作第一象限内的射线。
(2) 联立函数解析式求交点（即两店费用相等的临界碗数）：
联立$\begin{cases}y_A=4x\\y_B=3x+20\end{cases}$，解得$x=20$，即x=20时A、B两店费用相同；
联立$\begin{cases}y_B=3x+20\\y_C=2x+80\end{cases}$，解得$x=60$，即x=60时B、C两店费用相同。
结合图象的上下位置对比：
当$0＜x＜20$（x为正整数）时，$y_A$值最小，A店划算；
当$20＜x＜60$（x为正整数）时，$y_B$值最小，B店划算；
当$x＞60$（x为正整数）时，$y_C$值最小，C店划算。
(3) 代入具体数值计算：
① 当$x=20$时：
$y_A=4×20=80$元，$y_B=3×20+20=80$元，$y_C=2×20+80=120$元。
此时A、B两店费用相同且低于C店，可选A（或B）店，比C店省$120-80=40$元，和另一店花费持平。
② 当$x=60$时：
$y_A=4×60=240$元，$y_B=3×60+20=200$元，$y_C=2×60+80=200$元。
此时选C店最划算，因为当月喝凉茶碗数超过60时，C店的总费用增长速度最慢，后续消费总花费会低于A、B两店，长期消费更优惠。
【答案】
(2) $0＜x＜20$（x为正整数）；$20＜x＜60$（x为正整数）；$x＞60$（x为正整数）
(3) A（或B）；C
【知识点】
一次函数图象绘制，一次函数交点求解，最优方案选择
【点评】
本题贴近生活消费场景，将一次函数的知识与实际选择问题结合，既考查了一次函数的图象绘制、交点计算等基础能力，也引导学生学会用数学知识解决生活中的实际问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
四、实践报告
(1)标题：。
(2)内容:消费场景介绍(选的凉茶店、早茶店等,套餐规则);一次函数解析式推导(分情况写清楚);函数图象(手绘拍照或简单描述);不同消费数量下的最优方案分析;结合家庭实际的选择及理由。
(1)标题：。
(2)内容:消费场景介绍(选的凉茶店、早茶店等,套餐规则);一次函数解析式推导(分情况写清楚);函数图象(手绘拍照或简单描述);不同消费数量下的最优方案分析;结合家庭实际的选择及理由。
答案
(1)标题：利用一次函数分析奶茶店消费最优方案的实践报告
(2)内容：
① 消费场景介绍：选取家附近的连锁奶茶店，该店有两种消费规则：规则一：到店单点任意奶茶，每杯售价12元，无额外优惠；规则二：花费30元办理有效期1年的专属会员卡，办卡后到店消费所有奶茶均可享受8折优惠。
② 一次函数解析式推导：设购买奶茶的数量为$x$杯，消费总金额为$y$元，$x$为非负整数。
不办卡单点的总消费：$y_1 = 12x$
办理会员卡的总消费：$y_2 = 30 + 12×0.8x = 9.6x + 30$
③ 函数图象描述：两个函数的图象均为第一象限内的射线，$y_1=12x$过原点$(0,0)$，斜率为12；$y_2=9.6x+30$过点$(0,30)$，斜率为9.6，两条射线相交于点$(12.5,150)$。
④ 最优方案分析：
令$y_1 ＜ y_2$，即$12x ＜ 9.6x + 30$，解得$x ＜ 12.5$。由于$x$代表奶茶杯数，为正整数，因此当购买奶茶数量小于等于12杯时，选择不办卡单点的总花费更低。
令$y_1 = y_2$，即$12x = 9.6x + 30$，解得$x=12.5$，不存在整数杯数使得两种方案花费完全相等。
令$y_1 ＞ y_2$，即$12x ＞ 9.6x + 30$，解得$x ＞ 12.5$，因此当购买奶茶数量大于等于13杯时，选择办理会员卡的总花费更低。
⑤ 家庭实际选择及理由：我家平均每月购买奶茶的数量约为16杯，$16＞13$，全年总购买量远大于13杯，办理会员卡后全年的总消费金额比不办卡更低，因此选择办理会员卡的消费方案。
(2)内容：
① 消费场景介绍：选取家附近的连锁奶茶店，该店有两种消费规则：规则一：到店单点任意奶茶，每杯售价12元，无额外优惠；规则二：花费30元办理有效期1年的专属会员卡，办卡后到店消费所有奶茶均可享受8折优惠。
② 一次函数解析式推导：设购买奶茶的数量为$x$杯，消费总金额为$y$元，$x$为非负整数。
不办卡单点的总消费：$y_1 = 12x$
办理会员卡的总消费：$y_2 = 30 + 12×0.8x = 9.6x + 30$
③ 函数图象描述：两个函数的图象均为第一象限内的射线，$y_1=12x$过原点$(0,0)$，斜率为12；$y_2=9.6x+30$过点$(0,30)$，斜率为9.6，两条射线相交于点$(12.5,150)$。
④ 最优方案分析：
令$y_1 ＜ y_2$，即$12x ＜ 9.6x + 30$，解得$x ＜ 12.5$。由于$x$代表奶茶杯数，为正整数，因此当购买奶茶数量小于等于12杯时，选择不办卡单点的总花费更低。
令$y_1 = y_2$，即$12x = 9.6x + 30$，解得$x=12.5$，不存在整数杯数使得两种方案花费完全相等。
令$y_1 ＞ y_2$，即$12x ＞ 9.6x + 30$，解得$x ＞ 12.5$，因此当购买奶茶数量大于等于13杯时，选择办理会员卡的总花费更低。
⑤ 家庭实际选择及理由：我家平均每月购买奶茶的数量约为16杯，$16＞13$，全年总购买量远大于13杯，办理会员卡后全年的总消费金额比不办卡更低，因此选择办理会员卡的消费方案。
解析
【分析】
这是一道结合生活消费场景的一次函数实践类题目，解题思路如下：第一步先选定一个常见消费场景（如奶茶店），明确该场景下的两种消费规则，为后续计算做准备；第二步设置自变量（消费数量，如奶茶杯数x）和因变量（总消费金额y），根据两种消费规则分别列出对应的一次函数解析式，注意自变量取值要符合实际情况；第三步结合一次函数的图像性质，描述两个函数的图像特征，包括经过的特殊点、斜率差异；第四步通过解方程和不等式比较两个函数值的大小，找到两种方案花费相等的临界点，分情况讨论不同消费数量下的最优方案，注意自变量要取实际的正整数；最后结合家庭实际消费情况，对应最优方案结论做出选择并说明理由即可。
【解析】
按照实践报告要求分步完成：
1. 拟定标题：标题需体现核心研究内容，明确为利用一次函数分析消费最优方案的实践报告。
2. 内容部分：
① 消费场景介绍：选取家附近连锁奶茶店，明确两种消费规则：单点无优惠每杯12元，花30元办年卡后所有奶茶享8折优惠。
② 一次函数解析式推导：设购买奶茶数量为$x$杯（$x$为非负整数），总消费金额为$y$元。不办卡时总花费为单价乘数量，因此$y_1=12x$；办卡时总花费为办卡费加打折后消费总额，打折后每杯价格为$12×0.8=9.6$元，因此$y_2=30+9.6x=9.6x+30$。
③ 函数图象描述：两个函数的图象均为第一象限内的射线，$y_1=12x$过原点$(0,0)$，斜率为12，上升速度更快；$y_2=9.6x+30$过点$(0,30)$，斜率为9.6，上升速度更慢，两条射线交点为$(12.5,150)$。
④ 最优方案分析：通过比较两个函数值大小判断方案优劣：当$y_1＜y_2$时，解不等式$12x＜9.6x+30$得$x＜12.5$，因$x$为正整数，所以购买≤12杯时不办卡更划算；当$y_1=y_2$时，解方程得$x=12.5$，无对应整数消费数量，两种方案不存在花费完全相等的情况；当$y_1＞y_2$时，解不等式得$x＞12.5$，所以购买≥13杯时办卡更划算。
⑤ 家庭实际选择：结合家庭月均消费奶茶16杯的情况，16＞13，全年消费数量远大于13杯，办卡总花费更低，因此选择办卡方案。
【答案】
(1)标题：利用一次函数分析奶茶店消费最优方案的实践报告
(2)内容：
① 消费场景介绍：选取家附近的连锁奶茶店，该店有两种消费规则：规则一：到店单点任意奶茶，每杯售价12元，无额外优惠；规则二：花费30元办理有效期1年的专属会员卡，办卡后到店消费所有奶茶均可享受8折优惠。
② 一次函数解析式推导：设购买奶茶的数量为$x$杯，消费总金额为$y$元，$x$为非负整数。
不办卡单点的总消费：$y_1 = 12x$
办理会员卡的总消费：$y_2 = 30 + 12×0.8x = 9.6x + 30$
③ 函数图象描述：两个函数的图象均为第一象限内的射线，$y_1=12x$过原点$(0,0)$，斜率为12；$y_2=9.6x+30$过点$(0,30)$，斜率为9.6，两条射线相交于点$(12.5,150)$。
④ 最优方案分析：
令$y_1 ＜ y_2$，即$12x ＜ 9.6x + 30$，解得$x ＜ 12.5$。由于$x$代表奶茶杯数，为正整数，因此当购买奶茶数量小于等于12杯时，选择不办卡单点的总花费更低。
令$y_1 = y_2$，即$12x = 9.6x + 30$，解得$x=12.5$，不存在整数杯数使得两种方案花费完全相等。
令$y_1 ＞ y_2$，即$12x ＞ 9.6x + 30$，解得$x ＞ 12.5$，因此当购买奶茶数量大于等于13杯时，选择办理会员卡的总花费更低。
⑤ 家庭实际选择及理由：我家平均每月购买奶茶的数量约为16杯，$16＞13$，全年总购买量远大于13杯，办理会员卡后全年的总消费金额比不办卡更低，因此选择办理会员卡的消费方案。
【知识点】
一次函数的应用、一次函数解析式、最优方案选择
【点评】
本题将数学知识与日常消费场景紧密结合，既巩固了一次函数性质、一元一次不等式求解的相关知识，也能引导学生学会用数学思维解决生活实际问题，树立理性消费的观念，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活消费场景的一次函数实践类题目，解题思路如下：第一步先选定一个常见消费场景（如奶茶店），明确该场景下的两种消费规则，为后续计算做准备；第二步设置自变量（消费数量，如奶茶杯数x）和因变量（总消费金额y），根据两种消费规则分别列出对应的一次函数解析式，注意自变量取值要符合实际情况；第三步结合一次函数的图像性质，描述两个函数的图像特征，包括经过的特殊点、斜率差异；第四步通过解方程和不等式比较两个函数值的大小，找到两种方案花费相等的临界点，分情况讨论不同消费数量下的最优方案，注意自变量要取实际的正整数；最后结合家庭实际消费情况，对应最优方案结论做出选择并说明理由即可。
【解析】
按照实践报告要求分步完成：
1. 拟定标题：标题需体现核心研究内容，明确为利用一次函数分析消费最优方案的实践报告。
2. 内容部分：
① 消费场景介绍：选取家附近连锁奶茶店，明确两种消费规则：单点无优惠每杯12元，花30元办年卡后所有奶茶享8折优惠。
② 一次函数解析式推导：设购买奶茶数量为$x$杯（$x$为非负整数），总消费金额为$y$元。不办卡时总花费为单价乘数量，因此$y_1=12x$；办卡时总花费为办卡费加打折后消费总额，打折后每杯价格为$12×0.8=9.6$元，因此$y_2=30+9.6x=9.6x+30$。
③ 函数图象描述：两个函数的图象均为第一象限内的射线，$y_1=12x$过原点$(0,0)$，斜率为12，上升速度更快；$y_2=9.6x+30$过点$(0,30)$，斜率为9.6，上升速度更慢，两条射线交点为$(12.5,150)$。
④ 最优方案分析：通过比较两个函数值大小判断方案优劣：当$y_1＜y_2$时，解不等式$12x＜9.6x+30$得$x＜12.5$，因$x$为正整数，所以购买≤12杯时不办卡更划算；当$y_1=y_2$时，解方程得$x=12.5$，无对应整数消费数量，两种方案不存在花费完全相等的情况；当$y_1＞y_2$时，解不等式得$x＞12.5$，所以购买≥13杯时办卡更划算。
⑤ 家庭实际选择：结合家庭月均消费奶茶16杯的情况，16＞13，全年消费数量远大于13杯，办卡总花费更低，因此选择办卡方案。
【答案】
(1)标题：利用一次函数分析奶茶店消费最优方案的实践报告
(2)内容：
① 消费场景介绍：选取家附近的连锁奶茶店，该店有两种消费规则：规则一：到店单点任意奶茶，每杯售价12元，无额外优惠；规则二：花费30元办理有效期1年的专属会员卡，办卡后到店消费所有奶茶均可享受8折优惠。
② 一次函数解析式推导：设购买奶茶的数量为$x$杯，消费总金额为$y$元，$x$为非负整数。
不办卡单点的总消费：$y_1 = 12x$
办理会员卡的总消费：$y_2 = 30 + 12×0.8x = 9.6x + 30$
③ 函数图象描述：两个函数的图象均为第一象限内的射线，$y_1=12x$过原点$(0,0)$，斜率为12；$y_2=9.6x+30$过点$(0,30)$，斜率为9.6，两条射线相交于点$(12.5,150)$。
④ 最优方案分析：
令$y_1 ＜ y_2$，即$12x ＜ 9.6x + 30$，解得$x ＜ 12.5$。由于$x$代表奶茶杯数，为正整数，因此当购买奶茶数量小于等于12杯时，选择不办卡单点的总花费更低。
令$y_1 = y_2$，即$12x = 9.6x + 30$，解得$x=12.5$，不存在整数杯数使得两种方案花费完全相等。
令$y_1 ＞ y_2$，即$12x ＞ 9.6x + 30$，解得$x ＞ 12.5$，因此当购买奶茶数量大于等于13杯时，选择办理会员卡的总花费更低。
⑤ 家庭实际选择及理由：我家平均每月购买奶茶的数量约为16杯，$16＞13$，全年总购买量远大于13杯，办理会员卡后全年的总消费金额比不办卡更低，因此选择办理会员卡的消费方案。
【知识点】
一次函数的应用、一次函数解析式、最优方案选择
【点评】
本题将数学知识与日常消费场景紧密结合，既巩固了一次函数性质、一元一次不等式求解的相关知识，也能引导学生学会用数学思维解决生活实际问题，树立理性消费的观念，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.7
