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9. 如图6，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为
135°
。答案
9. 135°
10. 如图7，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$，$P$是边$BC$上的一个动点，过点$P$分别作$PD⊥ AB$于点$D$，$PE⊥ AC$于点$E$，连接$DE$，则$DE$的最小值为
$\frac{24}{5}$
。答案
10. $\frac{24}{5}$
11. 如图8，已知四边形ABCD是平行四边形，P，Q是对角线BD上的两点，且BP = DQ. 求证：AP // QC，AP = QC. 
图8
图8答案
11. 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = DC，AB//DC.
∴ ∠ABP = ∠CDQ.
∵ BP = DQ，
∴ △ABP≌△CDQ(SAS).
∴ ∠APB = ∠CQD，AP = QC.
∴ 180°−∠APB = 180°−∠DQC，即∠APQ = ∠CQP.
∴ AP//QC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = DC，AB//DC.
∴ ∠ABP = ∠CDQ.
∵ BP = DQ，
∴ △ABP≌△CDQ(SAS).
∴ ∠APB = ∠CQD，AP = QC.
∴ 180°−∠APB = 180°−∠DQC，即∠APQ = ∠CQP.
∴ AP//QC.
12. 如图9，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD = BC，∠PEF = 30°，求∠PFE的度数.
答案
12. 解：
∵ 在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴ PF，PE分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴ $PF = \frac{1}{2}BC$，$PE = \frac{1}{2}AD$.
∵ AD = BC，
∴ PF = PE. 故△EPF是等腰三角形.
∵ ∠PEF = 30°，
∴ ∠PFE = ∠PEF = 30°.
∵ 在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴ PF，PE分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴ $PF = \frac{1}{2}BC$，$PE = \frac{1}{2}AD$.
∵ AD = BC，
∴ PF = PE. 故△EPF是等腰三角形.
∵ ∠PEF = 30°，
∴ ∠PFE = ∠PEF = 30°.
13. 如图10，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点P，BF⊥DC于点F.
（1）判断四边形DEBF的形状，并写出证明过程；
（2）若BE=2，BF=4，求DP的长.
（1）判断四边形DEBF的形状，并写出证明过程；
（2）若BE=2，BF=4，求DP的长.
答案
13. 解：(1) 四边形DEBF是矩形.
证明如下：
∵ DE⊥AB，BF⊥DC，
∴ ∠DEB = ∠BFD = 90°.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB//CD.
∴ ∠DEB + ∠EDF = 180°.
∴ ∠EDF = ∠DEB = ∠BFD = 90°.
∴ 四边形DEBF是矩形.
(2) 如答图1，连接PB.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC垂直平分BD.
∴ PB = PD.
由(1)知四边形DEBF是矩形，
∴ DE = FB = 4.
设PD = BP = x，则PE = 4−x.
在Rt△PEB中，BE = 2，由勾股定理，得$(4 - x)^2 + 2^2 = x^2$.
解得$x = \frac{5}{2}$.
∴ $DP = \frac{5}{2}$.
