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1 如图,直线$AB:y=x+b$分别与$x$轴,$y$轴交于$A,B$两点,点$A$的坐标为$(-3,0)$,过点$B$的直线交$x$轴的正半轴于点$C$,且$OB:OC=3:1$.
(1) 求点$B$的坐标及直线$BC$的表达式;
(2) 在$x$轴上方存在点$D$,使以点$A,B,D$为顶点的三角形与$△ ABC$全等,画出$△ ABD$,并求出点$D$的坐标;
(3) 在线段$OB$上存在点$P$,使点$P$到点$B,C$的距离相等,求出点$P$的坐标.
(1) 求点$B$的坐标及直线$BC$的表达式;
(2) 在$x$轴上方存在点$D$,使以点$A,B,D$为顶点的三角形与$△ ABC$全等,画出$△ ABD$,并求出点$D$的坐标;
(3) 在线段$OB$上存在点$P$,使点$P$到点$B,C$的距离相等,求出点$P$的坐标.
答案
解:(1) 因为直线$AB:y=x+b$过点$A(-3,0)$,
所以$0=-3+b$,
解得$b=3$.
当$x=0$时,$y=b=3$,
所以点$B$的坐标为$(0,3)$,即$OB=3$.
因为$OB:OC=3:1$,
所以$OC=1$.
因为点$C$在$x$轴的正半轴上,
所以点$C$的坐标为$(1,0)$.
设直线$BC$的表达式为$y=kx+c(k≠0)$,
将点$B(0,3),C(1,0)$代入$y=kx+c$,
得$\begin{cases} c=3,\\k+c=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-3,\\c=3, \end{cases}$
所以直线$BC$的表达式为$y=-3x+3$.
(2) 如图1,①当$△ BAD≌△ ABC$时,
因为$OA=OB=3$,
所以$∠ BAC=45°$.
因为$△ BAD≌△ ABC$,
所以$∠ ABD=∠ BAC=45°,BD=AC=4$,
所以$BD// AC$,
所以点$D$的坐标为$(-4,3)$;
②当$△ ABD≌△ ABC$时,
因为$∠ BAD=∠ BAC=45°,AD=AC=4$,
所以$∠ DAC=90°$,
所以点$D$的坐标为$(-3,4)$.
综上,点$D$的坐标为$(-4,3)$或$(-3,4)$.
(3) 点$P$如图2所示.
因为$PB=PC$,
所以设$OP=x$,则$PB=PC=3-x$.
在$\mathrm{Rt}△ POC$中,$∠ POC=90°$,
所以$OP^2+OC^2=PC^2$,即$x^2+1^2=(3-x)^2$,
解得$x=\frac{4}{3}$,
所以点$P$的坐标为$(0,\frac{4}{3})$.
解析
【分析】
(1) 首先将点A的坐标代入直线AB的解析式求出参数b，即可得到直线AB的表达式，令x=0即可求出点B的坐标；再根据OB与OC的比例关系求出OC的长度，结合点C在x轴正半轴得到点C的坐标，最后利用待定系数法，代入B、C两点坐标即可求出直线BC的表达式。
(2) 因为△ABD与△ABC有公共边AB，所以需分两种全等情况讨论：①△BAD≌△ABC，根据全等对应角相等可推出BD平行于x轴，对应边BD=AC，即可求出D点坐标；②△ABD≌△ABC，根据全等对应角相等可推出AD垂直于x轴，对应边AD=AC，即可求出D点坐标。
(3) 设OP的长度为x，由PB=PC可得PC=3-x，在直角三角形POC中利用勾股定理列方程求解x，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 因为直线$AB:y=x+b$过点$A(-3,0)$，
所以$0=-3+b$，
解得$b=3$。
当$x=0$时，$y=b=3$，
所以点$B$的坐标为$(0,3)$，即$OB=3$。
因为$OB:OC=3:1$，
所以$OC=1$。
因为点$C$在$x$轴的正半轴上，
所以点$C$的坐标为$(1,0)$。
设直线$BC$的表达式为$y=kx+c(k≠0)$，
将点$B(0,3),C(1,0)$代入$y=kx+c$，
得$\begin{cases} c=3,\\k+c=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-3,\\c=3, \end{cases}$
所以直线$BC$的表达式为$y=-3x+3$。
(2) ①当$△ BAD≌△ ABC$时，
因为$OA=OB=3$，
所以$∠ BAC=45°$。
因为$△ BAD≌△ ABC$，
所以$∠ ABD=∠ BAC=45°,BD=AC=4$，
所以$BD// AC$，
所以点$D$的坐标为$(-4,3)$；
②当$△ ABD≌△ ABC$时，
因为$∠ BAD=∠ BAC=45°,AD=AC=4$，
所以$∠ DAC=90°$，
所以点$D$的坐标为$(-3,4)$。
综上，点$D$的坐标为$(-4,3)$或$(-3,4)$。
(3) 因为$PB=PC$，
所以设$OP=x$，则$PB=PC=3-x$。
在$\mathrm{Rt}△ POC$中，$∠ POC=90°$，
所以$OP^2+OC^2=PC^2$，即$x^2+1^2=(3-x)^2$，
解得$x=\frac{4}{3}$，
所以点$P$的坐标为$(0,\frac{4}{3})$。
【答案】
(1) 点$B$的坐标为$(0,3)$，直线$BC$的表达式为$y=-3x+3$；
(2) 点$D$的坐标为$(-4,3)$或$(-3,4)$，$△ ABD$如下图：
(3) 点$P$的坐标为$(0,\frac{4}{3})$，位置如下图：
【知识点】
待定系数法求解析式，全等三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查一次函数与三角形相关知识，既考查了求函数解析式的基础方法，也需要结合全等性质进行分类讨论，还渗透了方程思想求解线段长度的思路，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先将点A的坐标代入直线AB的解析式求出参数b，即可得到直线AB的表达式，令x=0即可求出点B的坐标；再根据OB与OC的比例关系求出OC的长度，结合点C在x轴正半轴得到点C的坐标，最后利用待定系数法，代入B、C两点坐标即可求出直线BC的表达式。
(2) 因为△ABD与△ABC有公共边AB，所以需分两种全等情况讨论：①△BAD≌△ABC，根据全等对应角相等可推出BD平行于x轴，对应边BD=AC，即可求出D点坐标；②△ABD≌△ABC，根据全等对应角相等可推出AD垂直于x轴，对应边AD=AC，即可求出D点坐标。
(3) 设OP的长度为x，由PB=PC可得PC=3-x，在直角三角形POC中利用勾股定理列方程求解x，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 因为直线$AB:y=x+b$过点$A(-3,0)$，
所以$0=-3+b$，
解得$b=3$。
当$x=0$时，$y=b=3$，
所以点$B$的坐标为$(0,3)$，即$OB=3$。
因为$OB:OC=3:1$，
所以$OC=1$。
因为点$C$在$x$轴的正半轴上，
所以点$C$的坐标为$(1,0)$。
设直线$BC$的表达式为$y=kx+c(k≠0)$，
将点$B(0,3),C(1,0)$代入$y=kx+c$，
得$\begin{cases} c=3,\\k+c=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-3,\\c=3, \end{cases}$
所以直线$BC$的表达式为$y=-3x+3$。
(2) ①当$△ BAD≌△ ABC$时，
因为$OA=OB=3$，
所以$∠ BAC=45°$。
因为$△ BAD≌△ ABC$，
所以$∠ ABD=∠ BAC=45°,BD=AC=4$，
所以$BD// AC$，
所以点$D$的坐标为$(-4,3)$；
②当$△ ABD≌△ ABC$时，
因为$∠ BAD=∠ BAC=45°,AD=AC=4$，
所以$∠ DAC=90°$，
所以点$D$的坐标为$(-3,4)$。
综上，点$D$的坐标为$(-4,3)$或$(-3,4)$。
(3) 因为$PB=PC$，
所以设$OP=x$，则$PB=PC=3-x$。
在$\mathrm{Rt}△ POC$中，$∠ POC=90°$，
所以$OP^2+OC^2=PC^2$，即$x^2+1^2=(3-x)^2$，
解得$x=\frac{4}{3}$，
所以点$P$的坐标为$(0,\frac{4}{3})$。
【答案】
(1) 点$B$的坐标为$(0,3)$，直线$BC$的表达式为$y=-3x+3$；
(2) 点$D$的坐标为$(-4,3)$或$(-3,4)$，$△ ABD$如下图：
(3) 点$P$的坐标为$(0,\frac{4}{3})$，位置如下图：
【知识点】
待定系数法求解析式，全等三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查一次函数与三角形相关知识，既考查了求函数解析式的基础方法，也需要结合全等性质进行分类讨论，还渗透了方程思想求解线段长度的思路，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
2 (2025天宁月考)如图1，已知直线$y=-2x+4$与$x$轴，$y$轴分别交于$A$，$C$两点，以$OA$，$OC$为边在第一象限内作长方形$OABC$.
(1) 求点$A$，$C$的坐标；
(2) 如图2，将$△ ABC$对折，使得点$A$与点$C$重合，折痕交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，求直线$CD$的表达式；
(3) 在平面直角坐标系内，是否存在点$P$(除点$B$外)，使得$△ APC$与$△ ABC$全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1) 求点$A$，$C$的坐标；
(2) 如图2，将$△ ABC$对折，使得点$A$与点$C$重合，折痕交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，求直线$CD$的表达式；
(3) 在平面直角坐标系内，是否存在点$P$(除点$B$外)，使得$△ APC$与$△ ABC$全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
解:(1) 因为直线$y=-2x+4$与$x$轴,$y$轴分别交于$A,C$两点,
当$x=0$时,$y=4$;
当$y=0$时,$x=2$,
所以点$A$的坐标为$(2,0)$,点$C$的坐标为$(0,4)$.
(2) 由折叠可知$CD=AD$.
设$AD=x$,则$CD=x,BD=4-x$.
由题意,得$(4-x)^2+2^2=x^2$,
解得$x=\frac{5}{2}$,即$AD=\frac{5}{2}$,点$D$的坐标为$(2,\frac{5}{2})$.
设直线$CD$的表达式为$y=kx+4$,
把点$D(2,\frac{5}{2})$代入,得$\frac{5}{2}=2k+4$,
解得$k=-\frac{3}{4}$,
所以直线$CD$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+4$.
(3) 存在点$P$(除点$B$外),使得$△ APC$与$△ ABC$全等,
点$P$的坐标为$(0,0)$或$(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$或$(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$.
当$x=0$时,$y=4$;
当$y=0$时,$x=2$,
所以点$A$的坐标为$(2,0)$,点$C$的坐标为$(0,4)$.
(2) 由折叠可知$CD=AD$.
设$AD=x$,则$CD=x,BD=4-x$.
由题意,得$(4-x)^2+2^2=x^2$,
解得$x=\frac{5}{2}$,即$AD=\frac{5}{2}$,点$D$的坐标为$(2,\frac{5}{2})$.
设直线$CD$的表达式为$y=kx+4$,
把点$D(2,\frac{5}{2})$代入,得$\frac{5}{2}=2k+4$,
解得$k=-\frac{3}{4}$,
所以直线$CD$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+4$.
(3) 存在点$P$(除点$B$外),使得$△ APC$与$△ ABC$全等,
点$P$的坐标为$(0,0)$或$(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$或$(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$.
解析
【分析】
(1) 求直线与坐标轴交点时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入直线解析式计算即可得到A、C的坐标；
(2) 折叠属于轴对称变换，根据轴对称性质可得折叠后对应边相等，即$CD=AD$。设$AD$长度为x，可表示出$BD$的长度，在$Rt△ BCD$中利用勾股定理列方程求解x，得到D点坐标后，结合C点坐标用待定系数法即可求出直线CD的表达式；
(3) $△ APC$和$△ ABC$有公共边AC，全等时需分类讨论对应顶点的情况，排除点B后分别计算对应点P的坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=-2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，故点C坐标为$(0,4)$；
令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，故点A坐标为$(2,0)$。
(2) 由折叠性质可得$CD=AD$。
因为四边形OABC是长方形，所以$BC=OA=2$，$AB=OC=4$，$∠ B=90°$。
设$AD=x$，则$CD=x$，$BD=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得$BC^2+BD^2=CD^2$，
代入得：$2^2+(4-x)^2=x^2$，
展开化简得：$4+16-8x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{5}{2}$，
所以$AD=\frac{5}{2}$，D点坐标为$(2,\frac{5}{2})$。
设直线CD的表达式为$y=kx+b$，将$C(0,4)$代入得$b=4$，
再将$D(2,\frac{5}{2})$代入$y=kx+4$得：$\frac{5}{2}=2k+4$，解得$k=-\frac{3}{4}$，
因此直线CD的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+4$。
(3) 存在除点B外的点P使$△ APC$和$△ ABC$全等，AC为公共边，分三种对应情况计算，得到符合条件的点P坐标为$(0,0)$、$(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$、$(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$。
【答案】
(1) $A(2,0)$，$C(0,4)$；
(2) $y=-\frac{3}{4}x+4$；
(3) 存在，点P的坐标为$(0,0)$、$\boldsymbol{(\frac{16}{5},\frac{8}{5})}$、$\boldsymbol{(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})}$。
【知识点】
一次函数图象与性质，折叠的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问考查基础的坐标轴交点求解、勾股定理和待定系数法求解析式，难度较低；第三问需要结合全等的性质分类讨论，容易出现漏解的问题，能有效锻炼数形结合思想和分类讨论能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线与坐标轴交点时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入直线解析式计算即可得到A、C的坐标；
(2) 折叠属于轴对称变换，根据轴对称性质可得折叠后对应边相等，即$CD=AD$。设$AD$长度为x，可表示出$BD$的长度，在$Rt△ BCD$中利用勾股定理列方程求解x，得到D点坐标后，结合C点坐标用待定系数法即可求出直线CD的表达式；
(3) $△ APC$和$△ ABC$有公共边AC，全等时需分类讨论对应顶点的情况，排除点B后分别计算对应点P的坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=-2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，故点C坐标为$(0,4)$；
令$y=0$，得$0=-2x+4$，解得$x=2$，故点A坐标为$(2,0)$。
(2) 由折叠性质可得$CD=AD$。
因为四边形OABC是长方形，所以$BC=OA=2$，$AB=OC=4$，$∠ B=90°$。
设$AD=x$，则$CD=x$，$BD=4-x$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得$BC^2+BD^2=CD^2$，
代入得：$2^2+(4-x)^2=x^2$，
展开化简得：$4+16-8x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{5}{2}$，
所以$AD=\frac{5}{2}$，D点坐标为$(2,\frac{5}{2})$。
设直线CD的表达式为$y=kx+b$，将$C(0,4)$代入得$b=4$，
再将$D(2,\frac{5}{2})$代入$y=kx+4$得：$\frac{5}{2}=2k+4$，解得$k=-\frac{3}{4}$，
因此直线CD的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+4$。
(3) 存在除点B外的点P使$△ APC$和$△ ABC$全等，AC为公共边，分三种对应情况计算，得到符合条件的点P坐标为$(0,0)$、$(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$、$(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})$。
【答案】
(1) $A(2,0)$，$C(0,4)$；
(2) $y=-\frac{3}{4}x+4$；
(3) 存在，点P的坐标为$(0,0)$、$\boldsymbol{(\frac{16}{5},\frac{8}{5})}$、$\boldsymbol{(-\frac{6}{5},\frac{12}{5})}$。
【知识点】
一次函数图象与性质，折叠的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问考查基础的坐标轴交点求解、勾股定理和待定系数法求解析式，难度较低；第三问需要结合全等的性质分类讨论，容易出现漏解的问题，能有效锻炼数形结合思想和分类讨论能力。
【难度系数】
0.6
