1. 一块三角形材料如图所示，$∠ A = 30°$，$∠ C = 90°$，$AB=12$. 九年级(8)班的同学在劳动课上用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在边AC，AB，BC上. 设AE的长为$x$，矩形CDEF的面积为$S$.
(1)写出$S$关于$x$的函数表达式，并写出$x$的取值范围；
(2)当矩形CDEF的面积为$8\sqrt{3}$时，求AE的长；
(3)若矩形CDEF的面积不小于$5\sqrt{3}$，请直接写出AE的长$x$的取值范围.

(1)
∵四边形CDEF为矩形，
∴∠CDE=90°.
∴∠ADE=90°.
又
∵在Rt△ADE中，∠A=30°,AE=x，
∴$DE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}x$，
∴$AD=\sqrt{AE^2-DE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$.
∵在Rt△ABC中，∠A = 30°, ∠C = 90°, AB = 12，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$,
∴$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=6\sqrt{3}$，
∴$CD=AC-AD=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴$S=CD·DE=(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)·\frac{1}{2}x=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x$（0＜x＜12）.
(2)由题意，得$-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x=8\sqrt{3}$，
整理，得$x^2-12x+32=0$,解得$x_1=4$,$x_2=8$，
即AE的长为4或8.
(3)$2≤x≤10$. 【点拨】由题意，得$-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x≥5\sqrt{3}$，
整理，得$x^2-12x+20≤0$,解得$2≤x≤10$.

2. 在一次劳动课中，老师准备了一些长为40 cm、宽为20 cm的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）. 如图①，活动小组将纸板在四个角裁掉四个边长均为x cm的正方形，再在中间裁掉一个正方形BCFE，将纸板沿EP，CQ剪开，折叠后得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形ABCD（如图②）.
(1)求制作的无盖纸盒的底面的边AB的长；
(2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：cm³）与x（单位：cm）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值.

(1)由题意可知，$BE=BC=(20-2x)\mathrm{cm}$，
∴$AB=\frac{1}{2}×[40-2x-(20-2x)]=10(\mathrm{cm})$.
(2)根据题意，可知无盖纸盒的长、宽、高分别为10 cm，$(20-2x)\mathrm{cm}$,$x\ \mathrm{cm}$，
∴$y=10×(20-2x)×x=-20x^2+200x$，
∴当x=5时，$y=-20×5^2+200×5=500$.