一、选择题
1. 方程 $4x^{2}-x = 5$ 化成一般形式后的 $a$，$b$，$c$ 的值分别为()。
A.$a = 4$，$b = 1$，$c = 5$
B.$a = 1$，$b = 4$，$c = 5$
C.$a = 4$，$b = -1$，$c = -5$
D.$a = 4$，$b = -5$，$c = 1$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路是将给定的方程通过移项转化为一般形式，再对应找出$a$、$b$、$c$的值，注意移项时要改变符号，避免系数符号出错。
【解析】
1. 将方程$4x^2 - x = 5$化为一元二次方程的一般形式：
移项，得$4x^2 - x - 5 = 0$；
2. 对比一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得：
二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-5$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题，主要考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题关键是正确移项并准确把握各项系数的符号，防止因符号判断错误而选错答案。
【难度系数】
0.9

2. 下列方程中，两个根为 $\frac{b\pm\sqrt{b^{2}+4ac}}{2a}$ 的方程是()。

A.$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$
B.$ax^{2}-bx + c = 0(a≠0)$
C.$ax^{2}+bx = c(a≠0)$
D.$ax^{2}=bx + c(a≠0)$

2. D

【解析】
对于一元二次方程的一般形式$Ax^{2}+Bx + C = 0(A≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$。
- 选项A：方程$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，不符合。
- 选项B：方程$ax^{2}-bx + c = 0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，不符合。
- 选项C：方程$ax^{2}+bx = c(a≠0)$，移项化为一般形式为$ax^{2}+bx - c = 0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}+4ac}}{2a}$，不符合。
- 选项D：方程$ax^{2}=bx + c(a≠0)$，移项化为一般形式为$ax^{2}-bx - c = 0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}+4ac}}{2a}$，符合。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式、求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的应用，需要先将方程化为一般形式，再根据求根公式判断。
【难度系数】
0.6

3. 用公式法解方程 $\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x = 2\sqrt{2}$，其中 $b^{2}-4ac$ 的值是()。

A.16
B.4
C.$\sqrt{32}$
D.64

3. D

解：将方程化为一般形式：$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2}=0$，其中$a = \sqrt{2}$，$b = 4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$。
$b^{2}-4ac=(4\sqrt{3})^{2}-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})$
$=16×3 + 8×(\sqrt{2}×\sqrt{2})$
$=48 + 8×2$
$=48 + 16$
$=64$
D

二、填空题
4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$ 的求根公式为，用求根公式的前提条件为。

4. $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } $ $ b ^ { 2 } - 4 a c ≥ 0 $

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求解逻辑：求根公式是通过配方法推导而来的，在推导过程中会出现含有二次根式的表达式，根据二次根式的性质，根号内的数必须是非负数，否则在实数范围内无意义，这就是使用求根公式的前提。同时需要准确记住配方法推导得出的求根公式的具体形式。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，通过配方法推导求根公式：
1. 移项得：$ax^2 + bx = -c$；
2. 两边同时除以$a$（$a≠0$）：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$；
3. 配方，两边加$(\frac{b}{2a})^2$：$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}$；
4. 左边写成完全平方式，右边通分：$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$；
5. 当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，两边开平方：$x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；
6. 移项得到求根公式：$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
其中，只有当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，根号内的数非负，方程才有实数根，才能使用该求根公式。
【答案】
$x = \frac{ - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$；$b^2 - 4ac ≥ 0$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础考点，重点考查求根公式的形式及其使用条件，理解求根公式的推导过程能帮助更牢固地掌握该知识点，同时明确根的判别式的作用是判断方程是否有实数根，也是使用求根公式的关键前提。
【难度系数】
0.9

5. 一位同学在解方程 $2x^{2}-3x = 4$ 时，算出 $b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4×2×4＜0$，于是得到方程无实数根的结论，其中的错误是。

5. $ c $ 应该等于 $ - 4 $

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需先将方程化为一般形式 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再根据此形式确定$a$、$b$、$c$的值计算判别式$b^2-4ac$。原方程$2x^2-3x=4$未化为一般形式，同学直接将常数项当成4代入判别式，忽略了移项时符号的变化，正确的常数项应为-4，这是导致错误的原因。
【解析】
一元二次方程的一般形式为 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），将原方程$2x^2-3x=4$移项化为一般形式：
$2x^2-3x-4=0$，此时$a=2$，$b=-3$，$c=-4$。
该同学在计算判别式时，错误地将$c$取为4，而实际上$c$应为-4，这是不符合一元二次方程一般形式下$c$的取值要求的。
【答案】
$ c $ 应该等于 $ - 4 $
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用前提，核心是必须将方程化为一般形式后再确定$a$、$b$、$c$的值，尤其要注意常数项的符号，这是初学者易犯的错误，需重点关注。
【难度系数】
0.8

6. 方程 $x^{2}+4x = 2$ 的正根为。

6. $ \sqrt { 6 } - 2 $

解：方程两边同时加4，得$x^{2}+4x + 4=6$，即$(x + 2)^{2}=6$，开平方得$x + 2=\pm\sqrt{6}$，解得$x_{1}=\sqrt{6}-2$，$x_{2}=-\sqrt{6}-2$，正根为$\sqrt{6}-2$。

三、解答题
7. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-7x - 8 = 0$；
(2) $x^{2}=2\sqrt{2}x - 1$；
(3) $\frac{x^{2}-2}{3}+\frac{x}{2}=x$；
(4) $\frac{1}{2}x^{2}-5\sqrt{2}x + 1 = 0$；
(5) $0.09y^{2}-0.21y + 0.1 = 0$；
(6) $2x^{2}-4nx + 2n^{2}=0$（$n$ 为常数）。

7. (1) $ x _ { 1 } = 8 $，$ x _ { 2 } = - 1 $ (2) $ x _ { 1 } = \sqrt { 2 } + 1 $，$ x _ { 2 } = \sqrt { 2 } - 1 $ (3) $ x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 41 } } { 4 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 41 } } { 4 } $ (4) $ x _ { 1 } = 5 \sqrt { 2 } + 4 \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = 5 \sqrt { 2 } - 4 \sqrt { 3 } $ (5) $ y _ { 1 } = \frac { 5 } { 3 } $，$ y _ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } $ (6) $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = n $

(1)这里$a = 1$，$b=-7$，$c=-8$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×1×(-8)=49 + 32=81$，$x=\frac{7\pm\sqrt{81}}{2×1}=\frac{7\pm9}{2}$，$x_{1}=\frac{7 + 9}{2}=8$，$x_{2}=\frac{7-9}{2}=-1$
(2)方程化为$x^{2}-2\sqrt{2}x + 1=0$，这里$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = 1$，$\Delta=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×1=8 - 4=4$，$x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}\pm2}{2}=\sqrt{2}\pm1$，$x_{1}=\sqrt{2}+1$，$x_{2}=\sqrt{2}-1$
(3)方程两边同乘6得$2(x^{2}-2)+3x=6x$，$2x^{2}-4 + 3x=6x$，$2x^{2}-3x - 4=0$，这里$a = 2$，$b=-3$，$c=-4$，$\Delta=(-3)^{2}-4×2×(-4)=9 + 32=41$，$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$，$x_{1}=\frac{3+\sqrt{41}}{4}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$
(4)这里$a=\frac{1}{2}$，$b=-5\sqrt{2}$，$c = 1$，$\Delta=(-5\sqrt{2})^{2}-4×\frac{1}{2}×1=50 - 2=48$，$x=\frac{5\sqrt{2}\pm\sqrt{48}}{2×\frac{1}{2}}=5\sqrt{2}\pm4\sqrt{3}$，$x_{1}=5\sqrt{2}+4\sqrt{3}$，$x_{2}=5\sqrt{2}-4\sqrt{3}$
(5)方程两边同乘100得$9y^{2}-21y + 10=0$，这里$a = 9$，$b=-21$，$c = 10$，$\Delta=(-21)^{2}-4×9×10=441 - 360=81$，$y=\frac{21\pm\sqrt{81}}{2×9}=\frac{21\pm9}{18}$，$y_{1}=\frac{21 + 9}{18}=\frac{30}{18}=\frac{5}{3}$，$y_{2}=\frac{21-9}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
(6)这里$a = 2$，$b=-4n$，$c = 2n^{2}$，$\Delta=(-4n)^{2}-4×2×2n^{2}=16n^{2}-16n^{2}=0$，$x=\frac{4n\pm\sqrt{0}}{2×2}=\frac{4n}{4}=n$，$x_{1}=x_{2}=n$