7. (2025·泸州)如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$BD$为$\odot O$的直径.若$AB=AC,∠ ACB=70°$,则$∠ CBD=$（）

A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$

7.B

8. 如图,半径为 10 的$\odot A$中,弦$ BC,ED $所对的圆心角分别是$∠ BAC,∠ EAD$.已知$DE=12$,$∠ BAC+∠ EAD=180°,$则弦$ BC $的长为.

8.16

9. (2025·秦淮区二模)如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD⊥ AB$,点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上.若$∠ ABC=\dfrac{3}{2}∠ E$,则$\overset{\frown}{CD}$的度数为.

9.144°

10. 如图,矩形 $ABCD$ 的宽为 10,长为 12,$E$ 是矩形内的动点,$AE ⊥ BE$,则 $CE$ 长的最小值为.

10.8

11. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,连接$BC$并延长至点$D$,使$CD=BC$,连接$DA$并延长交$\odot O$于点$E$,连接$AC$,$CE$.
(1)求证:$∠ E=∠ D$;
(2)若$AB=5$,$BC-AC=1$,求$CE$的长.

11.(1)证明:
∵AB是直径,
∴AC⊥BD.
∵CD=BC,
∴AD=AB,
∴∠D=∠B.
∵∠E=∠B,
∴∠E=∠D.
(2)解:
∵BC-AC=1,
∴BC=AC+1.
在Rt△ABC中,AC²+BC²=AB²,
∴AC²+(AC+1)²=25,解得AC=3(负值舍去),
∴BC=4,
∴DC=BC=4.
∵∠D=∠E,
∴CE=CD=4.

12. 如图,以 $AB$ 为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点$C$,$AE$,$BE$分别平分$∠ BAC$和$∠ ABC$,$AE$的延长线交$\odot O$于点$D$,连接$BD$.
(1)判断$△ BDE$的形状,并证明你的结论；
(2)若$AB=10,BE=\sqrt{10}$,求$BC$的长.

12.(1)△BDE为等腰直角三角形.
证明:
∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.
∵∠BED = ∠BAE + ∠ABE, ∠DBE = ∠DBC + ∠CBE,
∴∠BED=∠DBE,
∴BD=ED.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴△BDE为等腰直角三角形.
(2)如答图,连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.

∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,
∴BD=DC.
∵OB=OC,
∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=√10,
∴BD=√2/2 ×√10=√5.
∵AB=10,
∴OB=OD=5.
设OF=t,则DF=5-t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中,5²-t²=(√5)²-(5-t)²,
解得t=4.5,
∴BF=√(5²-4.5²)=√19/2,
∴BC=2BF=√19.