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14. （10 分）如图，AB // CD，若∠ABC = 50°，∠CEF = 150°，∠BFE = 60°，∠D = 60°，求∠BCE 的度数。
答案
解：因为 $ ∠ BFE = 60 ^ { \circ } $，$ ∠ D = 60 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ BFE = ∠ D $。
所以 $ EF // CD $。
所以 $ ∠ CEF + ∠ ECD = 180 ^ { \circ } $。
因为 $ ∠ CEF = 150 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ ECD = 30 ^ { \circ } $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ ∠ ABC = ∠ BCD $。
因为 $ ∠ ABC = 50 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ BCD = 50 ^ { \circ } $。
所以 $ ∠ BCE = ∠ BCD - ∠ ECD = 50 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 20 ^ { \circ } $。
所以 $ ∠ BFE = ∠ D $。
所以 $ EF // CD $。
所以 $ ∠ CEF + ∠ ECD = 180 ^ { \circ } $。
因为 $ ∠ CEF = 150 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ ECD = 30 ^ { \circ } $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ ∠ ABC = ∠ BCD $。
因为 $ ∠ ABC = 50 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ BCD = 50 ^ { \circ } $。
所以 $ ∠ BCE = ∠ BCD - ∠ ECD = 50 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 20 ^ { \circ } $。
解析
【分析】
我们可以按照先判定平行、再利用平行性质求角、最后做差得到目标角的思路来解题：第一步，观察已知条件发现∠BFE和∠D都等于60°，同位角相等即可推出EF平行于CD；第二步，根据两直线平行同旁内角互补，结合已知∠CEF=150°，就能算出∠ECD的度数；第三步，已知AB平行CD，根据两直线平行内错角相等，得到∠BCD等于∠ABC的50°；第四步，∠BCE是∠BCD减去∠ECD的差，代入数值计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
1. 判定EF//CD
已知∠BFE = 60°，∠D = 60°，因此∠BFE = ∠D，根据同位角相等，两直线平行，可得EF // CD。
2. 计算∠ECD的度数
由EF // CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CEF + ∠ECD = 180°。
代入∠CEF = 150°，得∠ECD = 180° - 150° = 30°。
3. 计算∠BCD的度数
已知AB // CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABC = ∠BCD。
代入∠ABC = 50°，因此∠BCD = 50°。
4. 计算∠BCE的度数
∠BCE = ∠BCD - ∠ECD = 50° - 30° = 20°。
【答案】
∠BCE = 20°
【知识点】
平行线判定，平行线性质，角度和差运算
【点评】
本题是平行线章节的经典基础综合题，核心考察平行线判定与性质的结合运用，解题突破口是先通过等角关系推出EF与CD平行，再结合已知的AB//CD条件分别求出两个相关角的度数，最终通过角的差得到所求角度，能够有效检验学生对平行线相关定理的掌握熟练度。
【难度系数】
0.7
我们可以按照先判定平行、再利用平行性质求角、最后做差得到目标角的思路来解题：第一步，观察已知条件发现∠BFE和∠D都等于60°，同位角相等即可推出EF平行于CD；第二步，根据两直线平行同旁内角互补，结合已知∠CEF=150°，就能算出∠ECD的度数；第三步，已知AB平行CD，根据两直线平行内错角相等，得到∠BCD等于∠ABC的50°；第四步，∠BCE是∠BCD减去∠ECD的差，代入数值计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
1. 判定EF//CD
已知∠BFE = 60°，∠D = 60°，因此∠BFE = ∠D，根据同位角相等，两直线平行，可得EF // CD。
2. 计算∠ECD的度数
由EF // CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CEF + ∠ECD = 180°。
代入∠CEF = 150°，得∠ECD = 180° - 150° = 30°。
3. 计算∠BCD的度数
已知AB // CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABC = ∠BCD。
代入∠ABC = 50°，因此∠BCD = 50°。
4. 计算∠BCE的度数
∠BCE = ∠BCD - ∠ECD = 50° - 30° = 20°。
【答案】
∠BCE = 20°
【知识点】
平行线判定，平行线性质，角度和差运算
【点评】
本题是平行线章节的经典基础综合题，核心考察平行线判定与性质的结合运用，解题突破口是先通过等角关系推出EF与CD平行，再结合已知的AB//CD条件分别求出两个相关角的度数，最终通过角的差得到所求角度，能够有效检验学生对平行线相关定理的掌握熟练度。
【难度系数】
0.7
15. （10 分）如图，∠1 + ∠2 = 180°，∠B = ∠E，试猜想 AB 与 CE 之间有怎样的位置关系，并说明理由。
答案
解：$ AB // CE $。理由如下：
因为 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ^ { \circ } $，
所以 $ DE // BC $。
所以 $ ∠ ADF = ∠ B $。
因为 $ ∠ B = ∠ E $，
所以 $ ∠ ADF = ∠ E $。
所以 $ AB // CE $。
因为 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ^ { \circ } $，
所以 $ DE // BC $。
所以 $ ∠ ADF = ∠ B $。
因为 $ ∠ B = ∠ E $，
所以 $ ∠ ADF = ∠ E $。
所以 $ AB // CE $。
解析
【分析】
我们可以从已知条件逐步推导目标的位置关系：首先观察到∠1和∠2是直线DE、BC被AC所截形成的同旁内角，已知∠1+∠2=180°，可以先推出DE//BC；接着利用平行线的性质，得到同位角∠ADF和∠B相等；再结合题目给出的∠B=∠E做等量代换，得到内错角∠ADF=∠E，最终就可以判定AB和CE平行，整个推导过程从已知条件逐步向待证的线的位置关系靠拢，逻辑连贯。
【解析】
解：猜想$AB// CE$，理由如下：
1. 因为$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据同旁内角互补，两直线平行，可得$DE// BC$；
2. 由$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ ADF = ∠ B$；
3. 已知$∠ B = ∠ E$，通过等量代换得到$∠ ADF = ∠ E$；
4. ∠ADF和∠E是直线AB、CE被直线DE所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，因此$AB// CE$。
【答案】$AB// CE$
【知识点】平行线判定，平行线性质，等量代换
【点评】本题是平行线相关的基础证明题，核心是区分平行线的判定和性质的使用逻辑：先通过角的互补关系推出第一组线平行，再利用平行线的性质完成角的等量转换，最终推导出目标线平行，能帮助学生厘清“角的关系推线平行”和“线平行推角的关系”的区别。
【难度系数】
0.8
我们可以从已知条件逐步推导目标的位置关系：首先观察到∠1和∠2是直线DE、BC被AC所截形成的同旁内角，已知∠1+∠2=180°，可以先推出DE//BC；接着利用平行线的性质，得到同位角∠ADF和∠B相等；再结合题目给出的∠B=∠E做等量代换，得到内错角∠ADF=∠E，最终就可以判定AB和CE平行，整个推导过程从已知条件逐步向待证的线的位置关系靠拢，逻辑连贯。
【解析】
解：猜想$AB// CE$，理由如下：
1. 因为$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据同旁内角互补，两直线平行，可得$DE// BC$；
2. 由$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ ADF = ∠ B$；
3. 已知$∠ B = ∠ E$，通过等量代换得到$∠ ADF = ∠ E$；
4. ∠ADF和∠E是直线AB、CE被直线DE所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，因此$AB// CE$。
【答案】$AB// CE$
【知识点】平行线判定，平行线性质，等量代换
【点评】本题是平行线相关的基础证明题，核心是区分平行线的判定和性质的使用逻辑：先通过角的互补关系推出第一组线平行，再利用平行线的性质完成角的等量转换，最终推导出目标线平行，能帮助学生厘清“角的关系推线平行”和“线平行推角的关系”的区别。
【难度系数】
0.8
16. （10 分）（1）【问题解决】如图 1，已知 AB // CD，∠BEP = 36°，∠CFP = 152°，求∠EPF 的度数；
（2）【问题迁移】如图 2，若 AB // CD，点 P 在 AB 的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF 之间有何数量关系？并说明理由。
（3）【联想拓展】如图 3，在（2）的条件下，已知∠EPF = α，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点 G，求∠G 的度数（结果用含 α 的式子表示）。
（2）【问题迁移】如图 2，若 AB // CD，点 P 在 AB 的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF 之间有何数量关系？并说明理由。
（3）【联想拓展】如图 3，在（2）的条件下，已知∠EPF = α，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点 G，求∠G 的度数（结果用含 α 的式子表示）。
答案
解：（1）如图 1，过点 $ P $ 作 $ PG // AB $，
则 $ ∠ BEP = ∠ EPG = 36 ^ { \circ } $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ GP // CD $。
所以 $ ∠ FPG = 180 ^ { \circ } - ∠ CFP = 28 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ EPF = ∠ EPG + ∠ FPG = 64 ^ { \circ } $。
第16题解答图（2）$ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA $。
理由如下：如图 2，过点 $ P $ 作 $ PG // AB $，
则 $ ∠ EPG = ∠ PEA $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ PG // CD $。
所以 $ ∠ PFC = ∠ FPG $。
因为 $ ∠ EPF = ∠ FPG - ∠ EPG $，
所以 $ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA $。
（3）因为 $ FG $ 平分 $ ∠ PFC $，$ EG $ 平分 $ ∠ AEP $，
所以 $ ∠ GFC = \frac { 1 } { 2 } ∠ PFC $，$ ∠ GEA = \frac { 1 } { 2 } ∠ AEP $。
由（2）可得 $ ∠ G = ∠ GFC - ∠ GEA $。
因为 $ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA = α $，
所以 $ ∠ G = ∠ GFC - ∠ GEA = \frac { 1 } { 2 } ∠ PFC - \frac { 1 } { 2 } ∠ AEP = \frac { 1 } { 2 } α $。
解析
【分析】
这是典型的平行线拐点类问题，核心解题思路是通过过拐点作已知平行线的辅助线，将分散的角通过平行线的性质建立关联：
1. 第（1）问，已知AB//CD，点P在AB、CD之间，过点P作平行于AB的直线，利用平行公理推论得到该线也平行于CD，分别用内错角相等得到和∠BEP相等的角，用同旁内角互补算出和∠CFP互补的角，两个角相加就是∠EPF的度数。
2. 第（2）问，点P移动到AB上方，同样过P作AB的平行线，拆分出两个内错角，通过角的和差关系推导三个角的数量关系。
3. 第（3）问，直接迁移第（2）问得到的角差结论，结合角平分线的定义，将∠G也套用该差的关系，代入已知的∠EPF=α即可化简得到结果。
【解析】
（1）过点P作PG // AB，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠BEP = ∠EPG = 36°。
已知AB // CD，由平行公理推论可得GP // CD，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠FPG = 180° - ∠CFP = 180° - 152° = 28°，
因此∠EPF = ∠EPG + ∠FPG = 36° + 28° = 64°。
（2）∠EPF = ∠PFC - ∠PEA，理由如下：
过点P作PG // AB，
由两直线平行，内错角相等，得∠EPG = ∠PEA。
因为AB // CD，由平行公理推论得PG // CD，
由两直线平行，内错角相等，得∠PFC = ∠FPG。
结合角的和差关系∠EPF = ∠FPG - ∠EPG，代入上述两个等式即可得到∠EPF = ∠PFC - ∠PEA。
（3）已知FG平分∠PFC，EG平分∠PEA，
根据角平分线的定义，可得∠GFC = 1/2 ∠PFC，∠GEA = 1/2 ∠PEA。
由第（2）问的结论，同理可得∠G = ∠GFC - ∠GEA。
已知∠EPF = ∠PFC - ∠PEA = α，代入得：
∠G = 1/2 ∠PFC - 1/2 ∠PEA = 1/2 (∠PFC - ∠PEA) = 1/2 α。
【答案】
解：（1）如图 1，过点 $ P $ 作 $ PG // AB $，
则 $ ∠ BEP = ∠ EPG = 36 ^ { \circ } $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ GP // CD $。
所以 $ ∠ FPG = 180 ^ { \circ } - ∠ CFP = 28 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ EPF = ∠ EPG + ∠ FPG = 64 ^ { \circ } $。
第16题解答图
（2）$ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA $。
理由如下：如图 2，过点 $ P $ 作 $ PG // AB $，
则 $ ∠ EPG = ∠ PEA $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ PG // CD $。
所以 $ ∠ PFC = ∠ FPG $。
因为 $ ∠ EPF = ∠ FPG - ∠ EPG $，
所以 $ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA $。
（3）因为 $ FG $ 平分 $ ∠ PFC $，$ EG $ 平分 $ ∠ AEP $，
所以 $ ∠ GFC = \frac { 1 } { 2 } ∠ PFC $，$ ∠ GEA = \frac { 1 } { 2 } ∠ AEP $。
由（2）可得 $ ∠ G = ∠ GFC - ∠ GEA $。
因为 $ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA = α $，
所以 $ ∠ G = ∠ GFC - ∠ GEA = \frac { 1 } { 2 } ∠ PFC - \frac { 1 } { 2 } ∠ AEP = \frac { 1 } { 2 } α $。
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点模型的经典递进式题型，从基础角度计算到角的数量关系推导，再到结合角平分线的拓展应用，层层递进，重点考察学生对“过拐点作平行线”这一核心辅助线作法的掌握，同时引导学生学会迁移已推导的结论快速解决后续问题，适合巩固平行线相关的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
这是典型的平行线拐点类问题，核心解题思路是通过过拐点作已知平行线的辅助线，将分散的角通过平行线的性质建立关联：
1. 第（1）问，已知AB//CD，点P在AB、CD之间，过点P作平行于AB的直线，利用平行公理推论得到该线也平行于CD，分别用内错角相等得到和∠BEP相等的角，用同旁内角互补算出和∠CFP互补的角，两个角相加就是∠EPF的度数。
2. 第（2）问，点P移动到AB上方，同样过P作AB的平行线，拆分出两个内错角，通过角的和差关系推导三个角的数量关系。
3. 第（3）问，直接迁移第（2）问得到的角差结论，结合角平分线的定义，将∠G也套用该差的关系，代入已知的∠EPF=α即可化简得到结果。
【解析】
（1）过点P作PG // AB，
根据两直线平行，内错角相等，可得∠BEP = ∠EPG = 36°。
已知AB // CD，由平行公理推论可得GP // CD，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠FPG = 180° - ∠CFP = 180° - 152° = 28°，
因此∠EPF = ∠EPG + ∠FPG = 36° + 28° = 64°。
（2）∠EPF = ∠PFC - ∠PEA，理由如下：
过点P作PG // AB，
由两直线平行，内错角相等，得∠EPG = ∠PEA。
因为AB // CD，由平行公理推论得PG // CD，
由两直线平行，内错角相等，得∠PFC = ∠FPG。
结合角的和差关系∠EPF = ∠FPG - ∠EPG，代入上述两个等式即可得到∠EPF = ∠PFC - ∠PEA。
（3）已知FG平分∠PFC，EG平分∠PEA，
根据角平分线的定义，可得∠GFC = 1/2 ∠PFC，∠GEA = 1/2 ∠PEA。
由第（2）问的结论，同理可得∠G = ∠GFC - ∠GEA。
已知∠EPF = ∠PFC - ∠PEA = α，代入得：
∠G = 1/2 ∠PFC - 1/2 ∠PEA = 1/2 (∠PFC - ∠PEA) = 1/2 α。
【答案】
解：（1）如图 1，过点 $ P $ 作 $ PG // AB $，
则 $ ∠ BEP = ∠ EPG = 36 ^ { \circ } $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ GP // CD $。
所以 $ ∠ FPG = 180 ^ { \circ } - ∠ CFP = 28 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ EPF = ∠ EPG + ∠ FPG = 64 ^ { \circ } $。
第16题解答图（2）$ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA $。
理由如下：如图 2，过点 $ P $ 作 $ PG // AB $，
则 $ ∠ EPG = ∠ PEA $。
因为 $ AB // CD $，
所以 $ PG // CD $。
所以 $ ∠ PFC = ∠ FPG $。
因为 $ ∠ EPF = ∠ FPG - ∠ EPG $，
所以 $ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA $。
（3）因为 $ FG $ 平分 $ ∠ PFC $，$ EG $ 平分 $ ∠ AEP $，
所以 $ ∠ GFC = \frac { 1 } { 2 } ∠ PFC $，$ ∠ GEA = \frac { 1 } { 2 } ∠ AEP $。
由（2）可得 $ ∠ G = ∠ GFC - ∠ GEA $。
因为 $ ∠ EPF = ∠ PFC - ∠ PEA = α $，
所以 $ ∠ G = ∠ GFC - ∠ GEA = \frac { 1 } { 2 } ∠ PFC - \frac { 1 } { 2 } ∠ AEP = \frac { 1 } { 2 } α $。
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点模型的经典递进式题型，从基础角度计算到角的数量关系推导，再到结合角平分线的拓展应用，层层递进，重点考察学生对“过拐点作平行线”这一核心辅助线作法的掌握，同时引导学生学会迁移已推导的结论快速解决后续问题，适合巩固平行线相关的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
