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1.(株洲中考)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是 （
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
A
）A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
答案
A 解析:
∵正三角形一条边所对的圆心角的度数是360°÷3=120°,正方形一条边所对的圆心角的度数是360°÷4=90°,正五边形一条边所对的圆心角的度数是360°÷5=72°,正六边形一条边所对的圆心角的度数是360°÷6=60°,
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形,故选A.
∵正三角形一条边所对的圆心角的度数是360°÷3=120°,正方形一条边所对的圆心角的度数是360°÷4=90°,正五边形一条边所对的圆心角的度数是360°÷5=72°,正六边形一条边所对的圆心角的度数是360°÷6=60°,
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形,故选A.
解析
【分析】
解题思路：圆的周角为360°，圆内接正n边形的各边长度相等，因此每条边所对的圆心角也相等，等于周角360°除以边数n。接下来分别计算四个选项中正多边形一条边对应的圆心角，再比较大小，即可找到圆心角最大的图形。
【解析】
分别计算各选项正多边形一条边所对的圆心角：
选项A（正三角形）：边数为3，圆心角=360°÷3=120°；
选项B（正方形）：边数为4，圆心角=360°÷4=90°；
选项C（正五边形）：边数为5，圆心角=360°÷5=72°；
选项D（正六边形）：边数为6，圆心角=360°÷6=60°；
比较可知，120°最大，因此一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形。
【答案】A
【知识点】正多边形与圆；圆心角计算
【点评】本题考查圆内接正多边形的圆心角计算，核心是利用正多边形各边对应圆心角相等的性质，结合周角为360°的知识点求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
解题思路：圆的周角为360°，圆内接正n边形的各边长度相等，因此每条边所对的圆心角也相等，等于周角360°除以边数n。接下来分别计算四个选项中正多边形一条边对应的圆心角，再比较大小，即可找到圆心角最大的图形。
【解析】
分别计算各选项正多边形一条边所对的圆心角：
选项A（正三角形）：边数为3，圆心角=360°÷3=120°；
选项B（正方形）：边数为4，圆心角=360°÷4=90°；
选项C（正五边形）：边数为5，圆心角=360°÷5=72°；
选项D（正六边形）：边数为6，圆心角=360°÷6=60°；
比较可知，120°最大，因此一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形。
【答案】A
【知识点】正多边形与圆；圆心角计算
【点评】本题考查圆内接正多边形的圆心角计算，核心是利用正多边形各边对应圆心角相等的性质，结合周角为360°的知识点求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
2. (2025 · 宿迁中考改编) 如图, 正五边形
$ABCDE$ 内接于$\odot O$, 连接$AC$, 则$∠ ACD$的度
数为
（
A.$54°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$82°$
$ABCDE$ 内接于$\odot O$, 连接$AC$, 则$∠ ACD$的度
数为
（
C
）A.$54°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$82°$
答案
C 解析:
∵正五边形ABCDE内接于⊙O,
∴BA=BC,∠B=∠BCD = $\frac{(5-2)×180°}{5}$ = 108°,
∴ ∠ACB = ∠CAB = $\frac{180°-∠ B}{2}=36°$,
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=72°.故选C.
∵正五边形ABCDE内接于⊙O,
∴BA=BC,∠B=∠BCD = $\frac{(5-2)×180°}{5}$ = 108°,
∴ ∠ACB = ∠CAB = $\frac{180°-∠ B}{2}=36°$,
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=72°.故选C.
解析
【分析】
要计算∠ACD的度数，需先利用正五边形的性质求出其内角∠BCD的度数，再结合正五边形边长相等得到等腰三角形ABC，求出∠ACB的度数，最后通过角的差计算∠ACD。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴正五边形的每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且边长相等，即$BA=BC$，
∴$∠B=∠BCD=108°$。
在$△ ABC$中，$BA=BC$，故$△ ABC$为等腰三角形，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ACB=\frac{180°-∠B}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
因此$∠ACD=∠BCD - ∠ACB=108° - 36°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、等腰三角形性质、多边形内角和
【点评】
本题是正多边形内接圆的基础角度计算题，核心考查正多边形内角性质与等腰三角形的角度计算，解题思路清晰，属于常规几何题。
【难度系数】
0.6
要计算∠ACD的度数，需先利用正五边形的性质求出其内角∠BCD的度数，再结合正五边形边长相等得到等腰三角形ABC，求出∠ACB的度数，最后通过角的差计算∠ACD。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴正五边形的每个内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且边长相等，即$BA=BC$，
∴$∠B=∠BCD=108°$。
在$△ ABC$中，$BA=BC$，故$△ ABC$为等腰三角形，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ACB=\frac{180°-∠B}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
因此$∠ACD=∠BCD - ∠ACB=108° - 36°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、等腰三角形性质、多边形内角和
【点评】
本题是正多边形内接圆的基础角度计算题，核心考查正多边形内角性质与等腰三角形的角度计算，解题思路清晰，属于常规几何题。
【难度系数】
0.6
3. 正九边形的每一个外角是
40
°,每一个内角是140
°,该图形绕其中心至少旋转40
°才能和本身重合.答案
40 140 40 解析:
∵正九边形的外角和为360°,
∴每一个外角是360°÷9=40°,
∴每一个内角是180°-40°=140°.
∵该图形中心角度数为40°,
∴该图形绕其中心至少旋转40°才能和本身重合.
∵正九边形的外角和为360°,
∴每一个外角是360°÷9=40°,
∴每一个内角是180°-40°=140°.
∵该图形中心角度数为40°,
∴该图形绕其中心至少旋转40°才能和本身重合.
解析
【分析】
要解决正九边形的相关角度问题，需利用正多边形的核心性质：①任意多边形外角和恒为360°，正多边形每个外角相等；②正多边形的内角与相邻外角互补；③正多边形是旋转对称图形，绕中心旋转与自身重合的最小角度等于其中心角，且正n边形的中心角等于每个外角的度数。据此逐步计算即可。
【解析】
1. 计算正九边形的每个外角：
因为任意多边形的外角和为360°，正九边形的9个外角相等，所以每个外角的度数为 $ 360° ÷ 9 = 40° $。
2. 计算正九边形的每个内角：
正多边形的内角与相邻外角互补，即内角和为 $ 180° $，所以每个内角的度数为 $ 180° - 40° = 140° $。
3. 计算绕中心至少旋转的角度：
正多边形绕中心旋转与自身重合的最小角度等于其中心角，正九边形的中心角等于每个外角的度数，即 $ 40° $，所以至少旋转 $ 40° $ 才能和本身重合。
【答案】
40 140 40
【知识点】
正多边形外角和、正多边形内角与外角关系、旋转对称图形
【点评】
本题考查正多边形的基础性质，涉及外角和、内角与外角的互补关系、旋转对称图形的最小旋转角，属于教材基础题型，难度较低，学生掌握相关概念即可解答。
【难度系数】
0.8
要解决正九边形的相关角度问题，需利用正多边形的核心性质：①任意多边形外角和恒为360°，正多边形每个外角相等；②正多边形的内角与相邻外角互补；③正多边形是旋转对称图形，绕中心旋转与自身重合的最小角度等于其中心角，且正n边形的中心角等于每个外角的度数。据此逐步计算即可。
【解析】
1. 计算正九边形的每个外角：
因为任意多边形的外角和为360°，正九边形的9个外角相等，所以每个外角的度数为 $ 360° ÷ 9 = 40° $。
2. 计算正九边形的每个内角：
正多边形的内角与相邻外角互补，即内角和为 $ 180° $，所以每个内角的度数为 $ 180° - 40° = 140° $。
3. 计算绕中心至少旋转的角度：
正多边形绕中心旋转与自身重合的最小角度等于其中心角，正九边形的中心角等于每个外角的度数，即 $ 40° $，所以至少旋转 $ 40° $ 才能和本身重合。
【答案】
40 140 40
【知识点】
正多边形外角和、正多边形内角与外角关系、旋转对称图形
【点评】
本题考查正多边形的基础性质，涉及外角和、内角与外角的互补关系、旋转对称图形的最小旋转角，属于教材基础题型，难度较低，学生掌握相关概念即可解答。
【难度系数】
0.8
4. (1)一元硬币的直径约为 24 mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过
(2)(滨州中考改编)若正方形的外接圆半径为2,则这个正方形的边长为
12
mm.(2)(滨州中考改编)若正方形的外接圆半径为2,则这个正方形的边长为
2√2
,内切圆半径为√2
.答案
(1)12 解析:如图①,根据题意可知,外接圆的半径为12 mm,
∴OB=12 mm,∠BOD=30°,
∴ $BD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{mm})$,
∴BC=2×6=12(mm),
∴能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过12 mm.
(2)$2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ 解析:如图②所示,连接OA,OE,
∵AB是小圆的切线,
∴OE⊥AB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AE=OE,
∴△AOE是等腰直角三角形,
∴ $OE=\frac{\sqrt{2}}{2}OA=\sqrt{2}$,
∴AB=2AE=2OE=2√2.
解析
【分析】
第(1)问：一元硬币直径为24mm，其半径为12mm，要让正六边形被硬币完全覆盖，硬币的半径就是正六边形外接圆的半径。根据正六边形的性质，正六边形的外接圆半径等于其边长，因此最大边长等于硬币的半径。
第(2)问：正方形的外接圆半径为OA=2，连接OE，AB是内切圆的切线，故OE⊥AB；结合正方形的性质，AE=EB，且△AOE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出内切圆半径OE和边长AB。
【解析】
(1) 一元硬币直径为24mm，其半径为$24÷2=12\mathrm{mm}$。要完全覆盖正六边形，硬币的半径等于正六边形外接圆的半径。由正六边形的性质可知，正六边形的外接圆半径等于它的边长，因此能完全覆盖的正六边形最大边长为12mm。
(2) 设正方形ABCD的外接圆圆心为O，内切圆与AB切于点E，连接OA、OE。
因为AB是内切圆的切线，所以$OE⊥ AB$。
又因为四边形ABCD是正方形，所以$AE=EB$，且$△ AOE$是等腰直角三角形。
已知外接圆半径$OA=2$，在等腰直角$△ AOE$中，$OE=AE=OA×\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，故内切圆半径为$\sqrt{2}$；边长$AB=2AE=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)12 (2)$2\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质
【点评】
本题考查正多边形与圆的性质、正方形的外接圆与内切圆的计算，需掌握正六边形外接圆半径等于边长、正方形中内切圆半径与外接圆半径的关系，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.5
第(1)问：一元硬币直径为24mm，其半径为12mm，要让正六边形被硬币完全覆盖，硬币的半径就是正六边形外接圆的半径。根据正六边形的性质，正六边形的外接圆半径等于其边长，因此最大边长等于硬币的半径。
第(2)问：正方形的外接圆半径为OA=2，连接OE，AB是内切圆的切线，故OE⊥AB；结合正方形的性质，AE=EB，且△AOE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出内切圆半径OE和边长AB。
【解析】
(1) 一元硬币直径为24mm，其半径为$24÷2=12\mathrm{mm}$。要完全覆盖正六边形，硬币的半径等于正六边形外接圆的半径。由正六边形的性质可知，正六边形的外接圆半径等于它的边长，因此能完全覆盖的正六边形最大边长为12mm。
(2) 设正方形ABCD的外接圆圆心为O，内切圆与AB切于点E，连接OA、OE。
因为AB是内切圆的切线，所以$OE⊥ AB$。
又因为四边形ABCD是正方形，所以$AE=EB$，且$△ AOE$是等腰直角三角形。
已知外接圆半径$OA=2$，在等腰直角$△ AOE$中，$OE=AE=OA×\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，故内切圆半径为$\sqrt{2}$；边长$AB=2AE=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)12
(2)$2\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$【知识点】
正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质
【点评】
本题考查正多边形与圆的性质、正方形的外接圆与内切圆的计算，需掌握正六边形外接圆半径等于边长、正方形中内切圆半径与外接圆半径的关系，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.5
5. (2026·南京模拟)如图,在正多边形中,若
$∠ 1=27°$,则$∠ 2=$
$∠ 1=27°$,则$∠ 2=$
108
$°$.答案
108 解析:如图,
∵∠1所对的边有3条,∠3所对的边有5条,
∴ $∠3=\frac{5}{3}∠1=\frac{5}{3}×27°=45°$,
∴ ∠2 = 180°-∠1-∠3=108°.
解析
【分析】本题考查正多边形中角度的计算，解题思路是先根据正多边形中角与对应边数的比例关系求出∠3，再利用三角形内角和定理计算∠2。首先确定∠1对应边数为3，∠3对应边数为5，由此得出∠3与∠1的数量关系，再代入已知∠1的度数计算∠3，最后结合三角形内角和为180°求出∠2。
【解析】解：由题意可知，∠1所对的边有3条，∠3所对的边有5条，因此∠3 = $\frac{5}{3}$∠1。已知∠1=27°，则∠3 = $\frac{5}{3}$×27°=45°。根据三角形内角和为180°，可得∠2 = 180° - ∠1 - ∠3 = 180° -27° -45°=108°。
【答案】108
【知识点】正多边形的角、三角形内角和
【点评】本题结合正多边形的边数与对应角的关系，运用三角形内角和定理求解，核心是找到∠1和∠3的比例关系，属于中等难度的角度计算问题。
【难度系数】0.5
【解析】解：由题意可知，∠1所对的边有3条，∠3所对的边有5条，因此∠3 = $\frac{5}{3}$∠1。已知∠1=27°，则∠3 = $\frac{5}{3}$×27°=45°。根据三角形内角和为180°，可得∠2 = 180° - ∠1 - ∠3 = 180° -27° -45°=108°。
【答案】108
【知识点】正多边形的角、三角形内角和
【点评】本题结合正多边形的边数与对应角的关系，运用三角形内角和定理求解，核心是找到∠1和∠3的比例关系，属于中等难度的角度计算问题。
【难度系数】0.5
6. 教材变式 如图所示,已知$△ ABC$是$\odot O$的内接等腰三角形,顶角$∠ BAC=36°$,弦$BD$,$CE$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$.求证:五边形$AEBCD$是正五边形.
答案
∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.又
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°,即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$,
∴A,E,B,C,D是⊙O的五等分点,
∴BC=AD=CD=BE=AE,再由圆周角定理可得∠EAD=∠ADC=∠DCB=∠CBE=∠BEA,
∴五边形AEBCD是正五边形.
解析
【分析】要证明五边形AEBCD是正五边形，需利用圆内接正多边形的判定：在同圆中，各边所对的弧相等且各内角相等即可判定。首先根据等腰三角形内角和算出底角，结合角平分线得到相等的角，再用圆周角定理转化为相等的弧，进而得到各边相等，最后证明各内角相等，完成判定。
【解析】
1. 计算等腰△ABC的底角：
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°。
2. 利用角平分线得到相等的角：
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC÷2=36°，∠BCE=∠ACE=∠ACB÷2=36°，
即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°。
3. 根据圆周角定理推导相等的弧：
在⊙O中，同圆内相等的圆周角所对的弧相等，
∠BAC对应弧$\overset{\frown}{BC}$，∠ABD对应弧$\overset{\frown}{AD}$，∠CBD对应弧$\overset{\frown}{CD}$，∠BCE对应弧$\overset{\frown}{BE}$，∠ACE对应弧$\overset{\frown}{AE}$，
故$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$。
4. 证明五边形各边、内角相等：
由弧相等得弦相等，即BC=AD=CD=BE=AE；
各弧度数相等，每段弧为360°÷5=72°，五边形每个内角为对应弧圆周角，计算得每个内角均为108°，因此五边形AEBCD各边相等、各内角相等。
综上，五边形AEBCD是正五边形。
【答案】
五边形AEBCD是正五边形，证明如下：
∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°。
又
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°，即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE。
根据圆周角定理，同圆中相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$，
故A、E、B、C、D是⊙O的五等分点，可得BC=AD=CD=BE=AE，且各内角均为108°，
因此五边形AEBCD是正五边形。
【知识点】
圆周角定理，正多边形判定，等腰三角形性质
【点评】
本题为教材变式题，结合等腰三角形、角平分线与圆的核心定理，将角的相等关系转化为弧的相等关系，进而证明圆内接五边形为正五边形，逻辑清晰，是基础几何综合证明题，考查学生对圆与多边形知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
【解析】
1. 计算等腰△ABC的底角：
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°。
2. 利用角平分线得到相等的角：
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC÷2=36°，∠BCE=∠ACE=∠ACB÷2=36°，
即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°。
3. 根据圆周角定理推导相等的弧：
在⊙O中，同圆内相等的圆周角所对的弧相等，
∠BAC对应弧$\overset{\frown}{BC}$，∠ABD对应弧$\overset{\frown}{AD}$，∠CBD对应弧$\overset{\frown}{CD}$，∠BCE对应弧$\overset{\frown}{BE}$，∠ACE对应弧$\overset{\frown}{AE}$，
故$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$。
4. 证明五边形各边、内角相等：
由弧相等得弦相等，即BC=AD=CD=BE=AE；
各弧度数相等，每段弧为360°÷5=72°，五边形每个内角为对应弧圆周角，计算得每个内角均为108°，因此五边形AEBCD各边相等、各内角相等。
综上，五边形AEBCD是正五边形。
【答案】
五边形AEBCD是正五边形，证明如下：
∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°−36°)÷2=72°。
又
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°，即∠BAC=∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE。
根据圆周角定理，同圆中相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$，
故A、E、B、C、D是⊙O的五等分点，可得BC=AD=CD=BE=AE，且各内角均为108°，
因此五边形AEBCD是正五边形。
【知识点】
圆周角定理，正多边形判定，等腰三角形性质
【点评】
本题为教材变式题，结合等腰三角形、角平分线与圆的核心定理，将角的相等关系转化为弧的相等关系，进而证明圆内接五边形为正五边形，逻辑清晰，是基础几何综合证明题，考查学生对圆与多边形知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
7. (2025·徐州模拟)如图,若干个全等的正五边形围绕$\odot O$紧密排列一周,图中所示的是其中3个正五边形的位置,正五边形与$\odot O$的交点分别记作$A_1,A_2,···,A_n$,顺次连接$A_1A_2$,$A_2A_3,···,A_1A_n$,所得图形是 （
A.正五边形
B.正八边形
C.正十边形
D.正十二边形
C
）A.正五边形
B.正八边形
C.正十边形
D.正十二边形
答案
C 解析:如图所示,
∵∠OMN和∠ONM是正五边形的外角,
∴ $∠OMN=∠ONM=\frac{1}{5}×360°=72°$,
∴ ∠O = 180°-∠OMN-∠ONM = 180°-72°-72° = 36°.
∵360°÷36°=10,
∴顺次连接$A_1A_2$,$A_2A_3$,···,$A_1A_n$,所得图形是正十边形.故选C.
解析
【分析】要判断顺次连接各交点所得图形的形状，需先求出相邻交点对应的圆心角，再根据圆心角的数量确定图形的边数。首先利用正五边形的外角性质求出三角形OMN的两个底角，进而算出圆心角∠O，最后用360°除以该圆心角得到边数，即可判断图形类型。
【解析】设正五边形与⊙O的交点为M、N。
∵正五边形的外角和为360°，且各外角相等，
∴正五边形的每个外角为$\frac{360°}{5}=72°$，即∠OMN=∠ONM=72°。
在△OMN中，根据三角形内角和为180°，
可得∠O=180°−∠OMN−∠ONM=180°−72°−72°=36°。
由于整个圆周为360°，相邻两个交点对应的圆心角均为36°，
因此交点的数量为$\frac{360°}{36°}=10$，即顺次连接各交点所得图形是正十边形。
【答案】C
【知识点】正多边形外角和、圆心角计算、正多边形判定
【点评】本题结合正五边形的外角性质与圆的圆心角知识，通过计算圆心角的数量判断所得图形的边数，关键在于利用正多边形外角求出三角形内角，进而得到圆心角，考查学生对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】0.5
【解析】设正五边形与⊙O的交点为M、N。
∵正五边形的外角和为360°，且各外角相等，
∴正五边形的每个外角为$\frac{360°}{5}=72°$，即∠OMN=∠ONM=72°。
在△OMN中，根据三角形内角和为180°，
可得∠O=180°−∠OMN−∠ONM=180°−72°−72°=36°。
由于整个圆周为360°，相邻两个交点对应的圆心角均为36°，
因此交点的数量为$\frac{360°}{36°}=10$，即顺次连接各交点所得图形是正十边形。
【答案】C
【知识点】正多边形外角和、圆心角计算、正多边形判定
【点评】本题结合正五边形的外角性质与圆的圆心角知识，通过计算圆心角的数量判断所得图形的边数，关键在于利用正多边形外角求出三角形内角，进而得到圆心角，考查学生对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】0.5
8. 我们将正多边形外接圆的圆心到其一条边的距离称为边心距,若以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是（
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{8}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
D
）A.$\dfrac{\sqrt{3}}{8}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{8}$
答案
D 解析:由题意可求得所作三角形的三边长分别为$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵ $(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$,
∴该三角形是以$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$为直角边,$\frac{\sqrt{3}}{2}$为斜边的直角三角形,
∴该三角形的面积是$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}$.故选D.
∵ $(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2$,
∴该三角形是以$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$为直角边,$\frac{\sqrt{3}}{2}$为斜边的直角三角形,
∴该三角形的面积是$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}$.故选D.
解析
【分析】
要解决本题，需分三步思考：①明确边心距的定义，利用正多边形与外接圆的关系，分别计算半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距；②将这三个边心距作为三角形三边，通过勾股定理的逆定理判断该三角形的形状；③根据三角形形状计算其面积，最终选出正确选项。
【解析】
1. 计算三个正多边形的边心距：
已知外接圆半径$ R=1 $，边心距为外接圆圆心到边的距离，对于正$ n $边形，边心距$ r = R · \cos(\frac{π}{n}) $：
内接正三角形（$ n=3 $）：边心距$ r_3 = 1 · \cos(\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} $；
内接正方形（$ n=4 $）：边心距$ r_4 =1 · \cos(\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $；
内接正六边形（$ n=6 $）：边心距$ r_6 =1 · \cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $；
2. 判断三角形形状：
三角形三边为$ \frac{1}{2}、\frac{\sqrt{2}}{2}、\frac{\sqrt{3}}{2} $，验证勾股定理逆定理：
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}, \quad (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$
故该三角形是以$ \frac{1}{2}、\frac{\sqrt{2}}{2} $为直角边，$ \frac{\sqrt{3}}{2} $为斜边的直角三角形；
3. 计算三角形面积：
直角三角形面积公式为$ S = \frac{1}{2} × 直角边1 × 直角边2 $，代入得：
$S = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合正多边形外接圆的边心距计算与勾股定理逆定理，考查三角形面积的求解，属于初中几何基础综合题，需掌握正多边形边心距的计算方法及勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分三步思考：①明确边心距的定义，利用正多边形与外接圆的关系，分别计算半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距；②将这三个边心距作为三角形三边，通过勾股定理的逆定理判断该三角形的形状；③根据三角形形状计算其面积，最终选出正确选项。
【解析】
1. 计算三个正多边形的边心距：
已知外接圆半径$ R=1 $，边心距为外接圆圆心到边的距离，对于正$ n $边形，边心距$ r = R · \cos(\frac{π}{n}) $：
内接正三角形（$ n=3 $）：边心距$ r_3 = 1 · \cos(\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} $；
内接正方形（$ n=4 $）：边心距$ r_4 =1 · \cos(\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $；
内接正六边形（$ n=6 $）：边心距$ r_6 =1 · \cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $；
2. 判断三角形形状：
三角形三边为$ \frac{1}{2}、\frac{\sqrt{2}}{2}、\frac{\sqrt{3}}{2} $，验证勾股定理逆定理：
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}, \quad (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$
故该三角形是以$ \frac{1}{2}、\frac{\sqrt{2}}{2} $为直角边，$ \frac{\sqrt{3}}{2} $为斜边的直角三角形；
3. 计算三角形面积：
直角三角形面积公式为$ S = \frac{1}{2} × 直角边1 × 直角边2 $，代入得：
$S = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合正多边形外接圆的边心距计算与勾股定理逆定理，考查三角形面积的求解，属于初中几何基础综合题，需掌握正多边形边心距的计算方法及勾股定理逆定理的应用。
【难度系数】
0.5
