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1. 若$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}+50=6a+8b+10c$,则$△ ABC$是(
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
B
)A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
1. B 提示:将题中等式整理,得$(a^2-6a+9)+(b^2-8b+16)+(c^2-10c+25)=0$,即$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$,所以 $a=3,b=4,c=5$. 因为 $3^2+4^2=5^2$,所以$△ ABC$ 为直角三角形.
2. (2026 南京市玄武区期末)五根小木棒的长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列摆放正确的是 （
C
）答案
2. C
3. (2025 连云港市赣榆区期中)如果正整数
$a,b,c$ 满足等式 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么正整数
$a,b,c$ 叫作勾股数. 某同学将自己探究勾股
数的过程列成下表,观察表中每列数的规
律,可知 $x+y$ 的值为 （
A.47
B.62
C.79
D.98
$a,b,c$ 满足等式 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么正整数
$a,b,c$ 叫作勾股数. 某同学将自己探究勾股
数的过程列成下表,观察表中每列数的规
律,可知 $x+y$ 的值为 （
C
）A.47
B.62
C.79
D.98
答案
3. C
4. 如图是由边长相等的小正方形组成的网
格,则$∠ MDC - ∠ MAB = $
$A,B,C,D,M$ 均在网格线的交点处).
格,则$∠ MDC - ∠ MAB = $
45
$°$(点$A,B,C,D,M$ 均在网格线的交点处).
答案
4. 45 提示:如图,取格点 $E$,连接 $ME,DE$,则 $∠ MAB=∠ EDF$,所以$∠ MDC-∠ MAB=∠ MDC-∠ EDF=∠ MDE$. 设正方形网格中每个小正方形的边长为 1,则易知 $ME=MD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,$DE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$, 所以 $ME^2+MD^2=DE^2$, 所以 $△ EMD$ 是直角三角形. 又因为 $ME=MD$, 所以 $∠ MDE=45°$,即$∠ MDC-∠ MAB=45°$.
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6,AC=8,BC=$10,$P$为边$BC$上一动点,连接$AP,DE ⊥$$AP$,分别交$AB,AC$于点$D,E$,垂足为$M$,$N$为$DE$的中点.若四边形$ADPE$的面积为 18,则$AN$长的最大值为
$\frac{15}{4}$
.答案
5. $\frac{15}{4}$ 提示:易得 $AB^2+AC^2=BC^2$,所以$△ ABC$ 为直角三角形,且$∠ BAC=90°$. 因为 $N$ 为 $DE$ 的中点,所以 $AN=\frac{1}{2}DE$. 因为四边形 $ADPE$ 的面积为 18,$DE⊥ AP$,所以 $S_{\mathrm{四边形}ADPE}=S_{△ AEP}+S_{△ ADP}=\frac{1}{2}AP· EM+\frac{1}{2}AP· DM=\frac{1}{2}AP· DE=AP· AN$,即 $AP· AN=18$. 所以当 $AP$ 长取得最小值时,$AN$ 长取得最大值. 因为当 $AP⊥ BC$ 时,$AP$ 长取得最小值,最小值为 $\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,所以 $AN$ 长的最大值为 $18÷\frac{24}{5}=\frac{15}{4}$.
6. 如图, 在 $△ A B C$ 中, $A B=12, A C=16$,$B C=20$. 将 $△ A B C$ 沿射线 $B M$ 折叠, 使点$A$ 与边 $B C$ 上的点 $D$ 重合, $E$ 为射线 $B M$上的一动点. 当 $△ C D E$ 的周长最小时, $C E$的长为
10
.答案
6. 10 提示:设射线 $BM$ 交 $AC$ 于点 $F$. 因为 $12^2+16^2=400=20^2$,即 $AB^2+AC^2=BC^2$,所以$△ ABC$ 是直角三角形,且$∠ BAC=90°$. 连接 $AE$. 由折叠的性质可知,$BD=AB=12$,$AE=DE$,$AF=DF$,$∠ BDF=∠ BAF=90°$,所以 $CD=BC-BD=8$,$∠ CDF=90°$. 因为 $△ CDE$ 的周长为 $CD+DE+CE=CD+AE+CE≥ CD+AC$,所以当 $A,E,C$ 三点共线,即点 $E$ 与点 $F$ 重合时,$AE+CE$ 的值最小,最小值为 $AC$ 的长. 设 $CF=x$, 则 $DF=AF=16-x$. 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,由勾股定理,得 $CD^2=CF^2-DF^2$,即 $8^2=x^2-(16-x)^2$,解得 $x=10$. 所以当 $△ CDE$ 的周长最小时,$CE$ 的长为 10.
7. 如图，$P$ 是等边三角形 $ABC$ 内一点，且$PA=6$，$PB=8$，$PC=10$，将$△ PAC$绕点$A$ 逆时针旋转后，得到$△ P'AB$，连接$PP'$.
(1) 求$PP'$的长；
(2) 求$∠ APB$的度数.
(1) 求$PP'$的长；
(2) 求$∠ APB$的度数.
答案
7. 解:(1) 由旋转的性质,得 $AP'=AP=6$,$∠ P'AB=∠ PAC$,所以$△ P'AP$ 是等腰三角形. 因为 $△ ABC$ 是等边三角形,所以 $∠ BAC=60°$. 所以 $∠ PAC+∠ BAP=60°$. 所以 $∠ P'AP=∠ P'AB+∠ BAP=60°$. 所以$△ P'AP$ 是等边三角形,所以 $PP'=6$.
(2) 由旋转的性质,得 $P'B=PC=10$. 因为 $△ P'AP$ 是等边三角形,所以 $∠ APP'=60°$. 因为 $PP'^2+PB^2=6^2+8^2=100=P'B^2$,所以$△ BPP'$是直角三角形,且$∠ BPP'=90°$. 所以$∠ APB=∠ APP'+∠ BPP'=150°$.
(2) 由旋转的性质,得 $P'B=PC=10$. 因为 $△ P'AP$ 是等边三角形,所以 $∠ APP'=60°$. 因为 $PP'^2+PB^2=6^2+8^2=100=P'B^2$,所以$△ BPP'$是直角三角形,且$∠ BPP'=90°$. 所以$∠ APB=∠ APP'+∠ BPP'=150°$.
8. (2026 南京市鼓楼区期末)已知直角三角形的三边长分别是 $a,b,c$,其中 $c$ 为斜边长.
(1) 长分别为 $3a,3b,3c$ 的三条线段能否组成一个直角三角形? 判断并说明理由.
(2) 小明为了证明“长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段不能组成一个直角三角形”是真命题,给出了部分思考如下,请补全他的证明过程.
假设长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段能组成一个直角三角形,则 $(a^2)^2+(b^2)^2=(c^2)^2,\dots.$
(1) 长分别为 $3a,3b,3c$ 的三条线段能否组成一个直角三角形? 判断并说明理由.
(2) 小明为了证明“长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段不能组成一个直角三角形”是真命题,给出了部分思考如下,请补全他的证明过程.
假设长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段能组成一个直角三角形,则 $(a^2)^2+(b^2)^2=(c^2)^2,\dots.$
答案
8. 解:(1) 能. 理由:因为 $a,b,c$ 分别是直角三角形的三边长,$c$ 是斜边长,所以 $a^2+b^2=c^2$. 因为 $(3a)^2+(3b)^2=9(a^2+b^2)=9c^2$,$(3c)^2=9c^2$, 所以 $(3a)^2+(3b)^2=(3c)^2$. 所以长分别为 $3a,3b,3c$ 的三条线段能组成一个直角三角形.
(2) 假设长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段能组成一个直角三角形,则 $(a^2)^2+(b^2)^2=(c^2)^2$,即 $a^4+b^4=c^4$. 又因为 $a^2+b^2=c^2$,所以$(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=c^4$. 因为 $a＞0,b＞0$,所以 $2a^2b^2＞0$. 所以 $a^4+b^4＜a^4+2a^2b^2+b^4$,即 $a^4+b^4＜c^4$. 这与假设的 $a^4+b^4=c^4$ 矛盾,所以长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段不能组成一个直角三角形.
(2) 假设长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段能组成一个直角三角形,则 $(a^2)^2+(b^2)^2=(c^2)^2$,即 $a^4+b^4=c^4$. 又因为 $a^2+b^2=c^2$,所以$(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=c^4$. 因为 $a＞0,b＞0$,所以 $2a^2b^2＞0$. 所以 $a^4+b^4＜a^4+2a^2b^2+b^4$,即 $a^4+b^4＜c^4$. 这与假设的 $a^4+b^4=c^4$ 矛盾,所以长分别为 $a^2,b^2,c^2$ 的三条线段不能组成一个直角三角形.
